7 Hằng đẳng thức đáng nhớ được xem là kiến thức quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong phần đại số. Chúng sẽ giúp bạn đơn giản hóa biểu thức, chứng minh toán học và giải các phương trình một cách hiệu quả nhất. Bài viết sau đây sẽ giới thiệu toàn bộ công thức và cách áp dụng đúng vào các dạng bài tập phổ biến, hãy theo dõi thật cẩn thận nhé!
1. 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ
Sau đây là các công thức quan trọng mà bạn cần ghi nhớ:
- Bình phương của một tổng: \[(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\]
- Bình phương của một hiệu: \[(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}\]
- Hiệu hai bình phương: \[A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\]
- Lập phương trình của một tổng: \[(A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}\]
- Lập phương trình của một hiệu: \[(A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}\]
- Tổng hai lập phương: \[A^{3}+B^{3}=(A+B)(A^{2}-AB+B^{2})\]
- Hiệu hai lập phương: \[A^{3}-B^{3}=(A-B)(A^{2}+AB+B^{2})\]
Ngoài ra, chúng ta còn có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức vừa nêu trên. Chúng thường được sử dụng để biến đổi, chứng minh bất đẳng thức, hằng đẳng thức,… Cụ thể là:
- Tổng hai bình phương: \[A^{2}+B^{2}=(A+B)^{2}-2AB\]
- Tổng hai lập phương: \[A^{3}+B^{3}=(A+B)^{3}-3AB(A+B)\]
- Bình phương của tổng 3 số hạng:
\[(A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2(AB+BC+CA)\]
- Lập phương của tổng 3 số hạng:
\[(A+B+C)^{3}=A^{3}+B^{3}+C^{3}+3(A+B)(B+C)(C+A)\]
2. Một số dạng bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
2.1. Biến đổi biểu thức
Đối với dạng bài tập này, bạn cần phải sử dụng 7 hằng đẳng thức và 4 bất đẳng thức ở nội dung phần 1 để thực hiện biến đổi các biểu thức.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
- a) \[(-3x+2y)^{2}\]
- b) \[(-x-xy)^{2}\]
- c) \[2x^{3}-6x^{2}+6x-2\]
Lời giải:
- a) Áp dụng ngay hằng đẳng thức ta có:
\[(-3x+2y)^{2}=(-3x)^{2}+2(-3x)(2y)+(2y)^{2}=9x^{2}-12xy+4y^{2}\]
- b) Áp dụng ngay hằng đẳng thức ta có:
\[(-x-xy)^{2}=(-x)^{2}-2(-x)(xy)+(xy)^{2}=x^{2}+2x^{2}y+x^{2}y^{2}\]
- c) Ta có: \[2x^{3}-6x^{2}+6x-2=2(x^{3}-3x^{2}+3x-1)\]
Áp dụng ngay bất đẳng thức ta được: \[2(x^{3}-3x^{2}+3x-1)=2(x-1)^{3}\]
2.2. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ – Tính đúng giá trị biểu thức
Thực tế, chúng ta có khá nhiều cách để giải được dạng bài tập này, nhưng phương pháp cơ bản vẫn sẽ bao gồm cả 3 bước sau:
- Bước 1: Biến đổi biểu thức đề bài về với dạng phù hợp nhất để dễ dàng tính toán.
- Bước 2: Vận dụng cả 7 hằng đẳng thức/ bất đẳng thức để chuyển biểu thức về dạng có liên quan đến giá trị đã biết từ đề bài.
- Bước 3: Thay giá trị vào biểu thức mà bạn đã biến đổi ở bước 2 để tìm kết quả chuẩn xác.
Ví dụ: Cho x + y = 1. Hãy tính nhanh giá trị của biểu thức sau: \[A=x^{3}+3xy+y^{3}\]
Lời giải:
Áp dụng ngay hằng đẳng thức của bậc 3, ta sẽ được:
\[A=x^{3}+3xy+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3xy\]
\[=(x+y)((x+y)^{2}-3xy)+3xy\]
Thay \[x+y=1\] vào A ta được:
\[A=(x+y)((x+y)^{2}-3xy)+3xy=1(1^{2}-3xy)+3xy=1-3xy+3xy=1\]
Vậy A = 1
2.3. Tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất
Khi nhắc đến các dạng bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, nhiều người sẽ nghĩ ngay đến bài tìm kiếm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Theo đó, phương pháp giải bài tập này cụ thể như sau:
- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x), bạn cần áp dụng bất đẳng thức và biến đổi về dạng: \[(Q(x)-m)^{2}\leq 0\] (với m là hằng số) => GTLN của A(x) bằng với m.
- Trong khi đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x), bạn sẽ phải áp dụng bất đẳng thức và biến đổi nó về dạng: \[(Q(x)+n)^{2}\geq 0\] (với n là hằng số) => GTNN của A(x) bằng với n.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của 2 biểu thức:
- a) \[A=-x^{2}-2x+5\]
- b) \[B=9x-3x^{2}+4\]
Lời giải:
- a) Ta có: \[A=-x^{2}-2x+5=x^{2}-2x-1+6=6-(x+1)^{2}\leq 6\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A sẽ là 6 khi \[x+1=0\Leftrightarrow x=-1\]
- b) Ta có:
\[B=9x-3x^{2}+4=3(-\frac{9}{4}+2.\frac{3}{2}x-x^{2})+\frac{27}{4}+4=\frac{43}{4}-3(\frac{3}{2}-x)^{2}\leq\frac{43}{4}\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B sẽ là \[\frac{43}{4}\] khi \[\frac{3}{2}-x=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\]
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[A=(x^{2}-x+1)^{2}\]
Lời giải:
Ta có:
\[A=x^{2}-x+1=x^{2}-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}\]
Do \[x^{2}-x+1 \] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{3}{4}\] => Giá trị nhỏ nhất của \[A=(\frac{3}{4})^{2}\] khi và chỉ khi \[x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\]
3. Bài tập vận dụng về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 1: Thực hiện phép tính:
- a) \[x^{2}-4y^{2}\]
- b) \[(x+y)^{2}-(2-y)^{2}\]
Bài 2: Cho x – y = 4 và xy = 5. Hãy tính ngay biểu thức \[B=x^{3}-y^{3}+(x-y)^{2}\]
Lời giải:
Bài 1:
- a) \[x^{2}-4y^{2}=x^{2}-(2y)^{2}=(x-2y)(x+2y)\]
- b) \[(x+y)^{2}-(2-y)^{2}=((x+y)-(2-y))((x+y)+(2-y))=(x+2y-2)(x+2)\]
Bài 2:
Áp dụng hằng đẳng thức, ta sẽ được:
\[B=x^{3}-y^{3}+(x-y)^{2}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+(x-y)^{2}=(x-y)((x-y)^{2}+3xy)+(x-y)^{2}\]
Thay x – y = 4, xy = 5 vào B ta sẽ được:
\[B=(x-y)((x-y)^{2}+3xy)+(x-y)^{2}=4(4^{2}+3.5)+16=140\]
Vậy B = 140
Bài viết trên đây là tổng hợp các kiến thức và dạng bài tập liên quan đến 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã nắm vững được các công thức quan trọng và áp dụng tốt trong việc giải bài toán nhé!
