Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Trong toán học, hằng đẳng thức là những công thức toán học quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Các hằng đẳng thức đáng nhớ là những công thức mà bất kỳ ai học toán đều nên biết để giải quyết các bài toán phức tạp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ nhất trong toán học, bao gồm cả hằng đẳng thức Pythagoras, định luật số đối xứng, và các hằng đẳng thức trong lượng giác và đại số.

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức bảy hàng đẳng thức đáng nhớ:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bằng với bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

(a + b)²  = a² + 2ab + b²

Trong đó a và b là hai số thực bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của bình phương và phép nhân đôi:

(a + b)² = (a + b) × (a + b)

= a × (a + b) + b × (a + b)

= a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b²

Do đó, bình phương của một tổng a + b bằng a² + 2ab + b².

Ví dụ:

(x + 5)²

= x² + 2x5 + 5²

= x² + 10x + 25

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

(a – b)² = a² + 2ab + b²

Trong đó a và b là hai số thực bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của bình phương và phép nhân đôi:

(a - b)² = (a - b) × (a - b)

= a × (a - b) - b × (a - b)

= a² - ab - ab + b²

= a² - 2ab + b²

Do đó, bình phương của một hiệu a - b bằng a² - 2ab + b².

Ví dụ:

(x – 3)²

= x² + 2x3 + 3²

= x² – 6x + 9

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu của hai bình phương của hai số sẽ bằng hiệu của hai số đó nhân với tổng của hai số đó.

a² – b²  = (a + b)(a – b)

Trong đó a và b là hai số thực bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của bình phương và phép nhân đôi:

a² - b² = (a + b) × (a - b)

= a × (a - b) + b × (a - b)

= a² - ab + ab - b²

= a² - b²

Do đó, hiệu của hai bình phương a² - b² bằng tích của hai số a + b và a - b.

Ví dụ:

x² – 5²= (x – 5)(x + 5)

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng của hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +b³

Trong đó a và b là hai số thực bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép nhân đôi và phép nhân tam giác:

(a + b)³ = (a + b) × (a + b) × (a + b)

= (a × a × a) + (a × a × b) + (a × b × a) + (a × b × b) + (b × a × a) + (b × a × b) + (b × b × a) + (b × b × b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Do đó, lập phương của một tổng a + b bằng a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Ví dụ:

(x + 4)³

= x³ + 3x²4 + 3x4² + 4³

= x³ + 12x² + 48x + 64

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu của hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi sau

đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

(a – b)³  = a³ – 3a²b + 3ab² –b³

Trong đó a và b là hai số thực bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép nhân đôi và phép nhân tam giác:

(a - b)³ = (a - b) × (a - b) × (a - b)

= (a × a × a) - (a × a × b) - (a × b × a) + (a × b × b) - (b × a × a) + (b × a × b) + (b × b × a) - (b × b × b)

= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Do đó, lập phương của một hiệu a - b bằng a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Ví dụ:

(x – 1)³

= x³ – 3x²1 + 3x1² – 1³

= x³ – 3x² + 3x – 1

6. Tổng hai lập phương

Tổng của hai lập phương của hai số sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

a³ + b³  = (a + b)(a² – ab + b²)

Trong đó a và b là hai số thực bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của lập phương và phép nhân đôi:

a³ + b³ = (a + b) × (a² - ab + b²)

= a³ + a²b - a²b - ab² + ab² + b³

= a³ + b³

Do đó, tổng hai lập phương a³ + b³ bằng tích của hai số a + b và a² - ab + b².

Ví dụ:

x³ + 27

= x³ + 3³

= (x + 3)(x² – 3x + 9)

7. Hiệu hai lập phương

Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

a³ – b³   = (a – b)(a² + ab +b²)

Trong đó a và b là hai số thực bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của lập phương và phép nhân đôi:

a³ - b³ = (a - b) × (a² + ab + b²)

= a³ - a²b + ab² - ab² + b²a - b³

= a³ - b³

Do đó, hiệu hai lập phương a³ - b³ bằng tích của hai số a - b và a² + ab + b².

Ví dụ:

x³ – 27

= x³ – 3³

= (x – 3)(x² + 3x + 9)