Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai là một trong những kỹ năng cơ bản trong học toán. Bằng cách áp dụng các quy tắc và công thức tương ứng, ta có thể chuyển biểu thức chứa căn bậc hai thành dạng gọn nhất có thể, giúp cho việc tính toán và giải quyết các bài toán liên quan đến biểu thức đó dễ dàng hơn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các quy tắc và phương pháp rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai thông qua một số ví dụ cụ thể. Hãy cùng khám phá nhé!

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Lý thuyết cần nhớ

Dưới đây là các lý thuyết cần nhớ về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:

• Phương pháp chung để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai là tìm thêm các thừa số nguyên tố chung và đưa chúng ra khỏi dấu căn.

• Khi cộng hoặc trừ hai căn bậc hai với nhau, ta chỉ cộng hoặc trừ các hệ số và không rút gọn mẫu số.

• Khi nhân hai căn bậc hai với nhau, ta sử dụng công thức: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

• Khi chia hai căn bậc hai cho nhau, ta sử dụng công thức: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\), với điều kiện \(b \neq 0\)

• Khi nhân một số với một căn bậc hai, ta có thể đưa hệ số vào trong dấu căn bằng cách sử dụng công thức:

\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}\)

• Khi chia một căn bậc hai cho một số, ta có thể đưa số chia vào trong dấu căn bằng cách sử dụng công thức:

\(\frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{1}{b}\sqrt{a}\)

• Khi rút gọn biểu thức chứa hai căn bậc hai cùng mẫu, ta sử dụng công thức:

\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{b}{c}}\)

• Khi rút gọn biểu thức chứa hai căn bậc hai khác mẫu, ta sử dụng công thức:

​​​​​​​\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{c}+\sqrt{d}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(c-d)}\)

• Khi rút gọn biểu thức chứa ba căn bậc hai khác mẫu, ta sử dụng công thức:

​​​​​​​\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{d}+\sqrt{e}+\sqrt{f}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{d}-\sqrt{e}+\sqrt{f})}{(d-e+f-g+h-i)}\)

Ví dụ:

Dưới đây là một số ví dụ về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:

a) Rút gọn biểu thức: \(\frac{4\sqrt{3}}{6}\)

Ta có thể rút gọn biểu thức trên bằng cách chia cho 2 ở cả tử và mẫu, ta được:

\(\frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

b) Rút gọn biểu thức: \(3\sqrt{5} + 2\sqrt{20}\)

Ta có thể rút gọn biểu thức trên bằng cách phân tích \(20 = 4 \cdot 5\), ta được:

\(3\sqrt{5} + 2\sqrt{20} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{4 \cdot 5} = 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 7\sqrt{5}\)

c) Rút gọn biểu thức: \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Ta có thể rút gọn biểu thức trên bằng cách nhân tử và mẫu với \(\sqrt{3}\), ta được:

\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{3} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{3} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}\)

Luyện tập

Dưới đây là một số bài tập luyện tập rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:

a) Rút gọn biểu thức: \(3\sqrt{2} + 2\sqrt{8}\)

b) Rút gọn biểu thức: \(\frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

c) Rút gọn biểu thức: \(\sqrt{75} + \sqrt{27}\)

d) Rút gọn biểu thức: \(\sqrt{48} - \sqrt{12}\)

e) Rút gọn biểu thức: \(5\sqrt{3} - 3\sqrt{12}\)

Bài giải:

a) Để rút gọn biểu thức trên, ta thay \(\sqrt{8}\) bằng \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}\) và thực hiện phép tính, ta được:

\(3\sqrt{2} + 2\sqrt{8} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{4}\cdot\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\)

b) Để rút gọn biểu thức trên, ta nhân tử và mẫu của phân số với \(\sqrt{5}\), ta được:

\(\frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{15} + \sqrt{3})\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{75} + \sqrt{15}}{5}\)

c) Để rút gọn biểu thức trên, ta phân tích \(\sqrt{75}\) và \(\sqrt{27}\) thành tích của căn bậc hai và một số nguyên, ta được:

\(\sqrt{75} + \sqrt{27} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{3} + \sqrt{9}\cdot\sqrt{3} = 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)

d) Để rút gọn biểu thức trên, ta phân tích \(\sqrt{48}\) và \(\sqrt{12}\) thành tích của căn bậc hai và một số nguyên, ta được:

\(\sqrt{48} - \sqrt{12} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)