Ba trường hợp tam giác đồng dạng

Trong toán học, khái niệm tam giác đồng dạng là khái niệm quan trọng được sử dụng rộng rãi trong lượng giác và hình học. Ba trường hợp tam giác đồng dạng cơ bản bao gồm: tam giác đồng dạng qua tỉ lệ, tam giác đồng dạng cùng góc và tam giác đồng dạng cùng một cặp góc. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các trường hợp tam giác đồng dạng và cách sử dụng chúng để giải các bài toán hình học.

1. Hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương đồng và tỉ lệ các cạnh tương đương. Nói cách khác, hai tam giác đồng dạng có cùng hình dáng nhưng có kích thước khác nhau.

Cụ thể, nếu có hai tam giác ABC và A'B'C' thỏa mãn:

• Góc A bằng góc A'.
• Góc B bằng góc B'.
• Góc C bằng góc C'.
• Tỉ lệ độ dài các cạnh của tam giác ABC đồng dạng với tỉ lệ độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Thì ta có thể ký hiệu hai tam giác này là ABC ~ A'B'C'.

2. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh

Đối với trường hợp tỉ lệ cạnh – cạnh – cạnh (viết tắt là c.c.c) thì ta có phát biểu sau đây:

Nếu ba cạnh của một tam giác bất kỳ tỉ lệ với ba cạnh của một tam giác khác thì hai tam giác này được gọi là đồng dạng với nhau, theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Nếu ABC và  A'B'C' có \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\)

thì △ABC ∼ △A’B’C’ (c.c.c)

b) Trường hợp cạnh - góc - cạnh

Trường hợp cạnh – góc – cạnh (chỉ xét một góc và hai cạnh kề của góc đó) thì ta có phát biểu như dưới đây:

Nếu hai cạnh của một tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác khác, và hai góc được tạo bởi hai cặp cạnh này bằng nhau thì hai tam giác đó được gọi là đồng dạng với nhau, theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Nếu ABC và  A'B'C' có \(\widehat A=\widehat{A'}\) và \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)

thì △ABC ∼ △A’B’C’ (c.g.c)

c) Trường hợp góc - góc

Một trường hợp khác của tam giác đồng dạng mà ta cũng cần ghi nhớ, đó là trường hợp góc – góc (hay còn gọi là g.g). Đối với trường hợp này, ta có phát biểu như sau:

Nếu hai góc của một tam giác bất kỳ lần lượt bằng hai góc của một tam giác khác thì ta nói, hai tam giác này đồng dạng với nhau, theo trường hợp góc – góc.

Nếu ABC và  A'B'C' có \(\widehat A=\widehat{A'}\) và \(\widehat B=\widehat{B'}\)

thì △ABC ∼ △A’B’C’ (g.g)

3. Tính chất hai tam giác đồng dạng

• Mỗi tam giác đều đồng dạng với chính tam giác đó
• Nếu △ABC ∼ △A’B’C’ thì ngược lại, △A’B’C’ ∼ △ABC
• Trong trường hợp 2 tam giác đều cùng đồng dạng với một tam giác bất kỳ thì 2 tam giác đều này cũng sẽ đồng dạng với nhau. Ví dụ: △ABC ∼ △A’B’C’, mặt khác △A”B”C” ∼ △A’B’C’ thì suy ra △ABC ∼ △A”B”C”
• Ngoài ra, nếu hai tam giác bất kỳ bằng nhau thì sẽ đồng dạng với nhau. Nhưng hai tam giác đồng dạng với nhau thì không phải lúc nào cũng sẽ bằng nhau

4. Bài tập ví dụ

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AB = 8cm, BC = 3cm, CD = 2cm, AD = 6 cm và BD = 4 cm. Chứng minh

a) △ABD ∼ △BDC

b) ABCD là hình thang

a) Xét △ABD ∼ △BDC ta có:

\(\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{BC}=2\)

⇒ △ABD ∼ △BDC (c.c.c)

b) Từ câu a suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\Rightarrow AB\;//\;DC\)

=> ABCD là hình thang

Bài 2. Cho \(\widehat{xOy}\) và Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\). Trên các tia Ox, Oz, Oy lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = 1 cm, OB = 2 cm và OC = 4 cm

a) Chứng minh \(\widehat{OAB}=\widehat{OBC}\)

b) Biết AB = 1,5 cm, tính độ dài BC

Lời giải

a) Vì Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) nên \(\widehat{AOB}=\widehat{BOC}\)

Xét △OAB và △OBC có

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}=\frac12\\\widehat{AOB}=\widehat{BOC}\end{array}\right.\)

=> △OAB ∼ △OBC (c.g.c) suy ra \(\widehat{OAB}=\widehat{OBC}\)

b) Từ câu a ta có \(\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{OA}=2\Rightarrow BC=3cm\)

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC

a) Chứng minh △BDM ∼ △BCA và △CDN ∼ △CBA

b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm và DB = 3cm. Tính độ dài BM

c) Chứng minh BM. CN = DM. DN

Lời giải

a)

Ta có MD // AC vì MD, AC cùng vuông góc với AB

         DN // AB vì DN, AB cùng vuông với AC

Nên suy ra △BDM ∼ △BCA và △CDN ∼ △CBA

b) Theo định lí Py-ta-go ta có:

BC² = AB² + AC² = 25 nên BC = 5cm

Theo câu a ta có △BDM ∼ △BCA

Suy ra

\(\frac{BM}{BA}=\frac{BD}{BC}\Leftrightarrow BM=\frac{BD}{BC}.BA=\frac35.3=\frac95\approx1,8\)

c) Theo câu a ta có △CND ∼ △CBA và △BDM ∼ △BCA. Suy ra △CDN ∼ △DBM (tính chất). Từ đó ta có:

\(\frac{BM}{DN}=\frac{DM}{CN}\) hay BM. CN = DM. DN