Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Trong hình học, Hai tam giác đồng dạng là một khái niệm quan trọng và được sử dụng rộng rãi. Để giúp các em hiểu rõ hơn về chủ đề này bài học dưới đây sẽ trả lời các câu hỏi như: Hai tam giác đồng dạng là gì? Các tính chất và định lí của tam giác đồng dạng như thế nào? Bằng cách học và hiểu rõ những nội dung này, các em sẽ có khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến các tam giác một cách nhanh chóng và chính xác hơn. 

1. Khái niệm tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương đồng và tỉ lệ các cạnh tương đương. Nói cách khác, hai tam giác đồng dạng có cùng hình dáng nhưng có kích thước khác nhau. 

Tam giác ABC được gọi là đồng dạng với tam giác A'B'C' khi:

\(\left\{\begin{array}{l}\widehat A=\widehat{A'},\;\widehat B=\widehat{B'},\;\widehat C=\widehat{C'}\\\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\end{array}\right.\)

Kí hiệu: \(Δ ABC ∼ Δ A'B'C'\)

Lưu ý: Tỉ số các cạnh tương ứng \(\frac{A'C'}{AC}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=k\) được gọi là tỉ số đồng dạng

2. Định lí

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Lưu ý: Định lí cũng đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.

3. Tính chất hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng có một số tính chất như sau:

• Mỗi tam giác đều đồng dạng với chính tam giác đó
• Nếu △ABC ∼ △A’B’C’ thì ngược lại, △A’B’C’ ∼ △ABC
• Trong trường hợp 2 tam giác đều cùng đồng dạng với một tam giác bất kỳ thì 2 tam giác đều này cũng sẽ đồng dạng với nhau. Ví dụ: △ABC ∼ △A’B’C’, mặt khác △A”B”C” ∼ △A’B’C’ thì suy ra △ABC ∼ △A”B”C”
• Ngoài ra, nếu hai tam giác bất kỳ bằng nhau thì sẽ đồng dạng với nhau. Nhưng hai tam giác đồng dạng với nhau thì không phải lúc nào cũng sẽ bằng nhau

4. Bài tập

Bài 1. Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' như hình vẽ. Tính tỉ số đồng dạng?

Lời giải

Ta có Δ ABC ∼ Δ A'B'C'. Khi đó tỉ số đồng dạng là

\(\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac24=\frac{2,5}5=\frac36=\frac12\)

Bài 2. Cho Δ ABC có AB = 15,3cm, BC = 21,3cm, AC = 31,2cm. Tính độ dài các cạnh của Δ A'B'C' (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) biết Δ A'B'C' đồng dạng với Δ ABC và: 

a) A'B' lớn hơn cạnh AB là 10,8cm;

b) A'B' bé hơn cạnh AB là 5,4cm.

Lời giải

a)

Ta có Δ ABC ∼ Δ A'B'C' nên:

\(\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\)

Ta có: A'B' = AB + 10,8 = 26,1 cm

\(\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{26,1}{15,3}\)

⇒ \(A'C'=\frac{26,1}{15,3}.AC=\frac{26,1}{15,3}.\;31,2\approx53,22\;cm\)

\(B'C'=\frac{26,1}{15,3}.BC=\frac{26,1}{15,3}.\;21,3\approx36,34\;cm\)

b) 

Ta có: A'B' = AB - 5,4 = 9,9 cm

\(\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{9,9}{15,3}\\\Rightarrow A'C'=\frac{9,9}{15,3}.AC=\frac{9,9}{15,3}.31,2\approx20,19\;cm\)

Bài 3. Δ  A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng k=\(\frac25\)

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 30cm, tính chu vi của mỗi tam giác.

Lời giải

a) Vì Δ ABC ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng k=\(\frac25\)

nên \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{2}{5}\)

Chu vi tam giác ABC là: c = AB + BC + AC

Chu vi tam giác A'B'C' là: c' = A'B' + B'C' + A'C' = \(\frac25(AB\;+\;BC\;+\;AC)\)

\(\frac c{c'}=\frac{AB+BC+AC}{{\displaystyle\frac25}(AB+BC+AC)}=\frac52\)

b) Theo bài ta có

c - c' = 30

\(\frac c{c'}=\frac52\)

Suy ra c = 50cm, c' = 20 cm

Vậy chu vi của hai tam giác lần lượt là 50 cm và 20 cm