Trong chương trình toán hình học, định lý talet đảo và hệ quả giữ vai trò như một chiếc chìa khóa mở ra nhiều cách giải bài đầy sáng tạo cho các dạng toán liên quan đến đường thẳng nằm song song và tỷ lệ. Vậy làm sao để áp dụng kiến thức này trong quá trình làm bài? Hãy cùng khám phá phương pháp giải toán hiệu quả bằng định lý talet đảo qua bài viết sau nhé!
1. Lý thuyết trọng điểm
Định lý talet đảo và hệ quả của nó giữ vai trò vô cùng quan trọng trong việc chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ, giúp thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố trong một hình tam giác hay giữa hai đường thẳng cùng nằm song song. Tuy nhiên, trước khi tìm hiểu từng dạng bài tập, bạn cần hiểu rõ định nghĩa, nội dung cũng như hệ quả trực tiếp của định lý này.
1.1. Định lý talet đảo
Nội dung định lý: Nếu có một đường thẳng cắt cả hai cạnh của một hình tam giác và tạo ra những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ, thì đường thẳng đó sẽ nằm song song với cạnh còn lại của hình tam giác.
Cho một hình \[\triangle ABC\], có điểm \[\textit{D}\] thuộc cạnh \[\textit{AB}\] và điểm \[\textit{E}\] thuộc cạnh \[\textit{AC}\]. Nếu:
\[\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow DE\parallel BC\]
Trong khi định lý talet thường được dùng để thiết lập nên các tỉ lệ giữa các đoạn thẳng dựa vào giả thiết hai đường thẳng song song, thì định lý Talet đảo lại phát huy tác dụng theo chiều ngược lại. Theo đó, nhờ việc xác định tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên cả hai cạnh của hình tam giác, bạn có thể suy ra được mối quan hệ song song giữa các đường thẳng. Điều này rất hữu ích trong các bài toán yêu cầu chứng minh hình học.
1.2. Hệ quả định lý talet
Khi một đường thẳng cắt cả hai cạnh của một tam giác, đồng thời song song với cạnh thứ ba, thì tam giác nhỏ được hình thành chắc chắn sẽ sở hữu các cạnh tương ứng tỉ lệ với các cạnh của hình tam giác ban đầu. Hay nói cách khác, đường thẳng cùng nằm song song với một cạnh của hình tam giác sẽ chia hai cạnh còn lại thành những đoạn thẳng có độ dài tỉ lệ với nhau.
Cho một hình \[\triangle ABC\], có điểm \[\textit{D}\] thuộc cạnh \[\textit{AB}\] và điểm \[\textit{E}\] thuộc cạnh \[\textit{AC}\]. Nếu:
\[DE\parallel BC\Rightarrow\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{BC}\]
Theo đó, hệ quả này thường được dùng để:
- Chứng minh tính song song của cả hai đoạn thẳng trong những bài toán hình học phẳng.
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng trong một vài tình huống đặc biệt.
2. Các dạng bài phổ biến về định lý talet và hệ quả
2.1. Tính độ dài đoạn thẳng/ chia đoạn thẳng thành nhiều phần bằng nhau
Trong các bài toán hình học liên quan đến hình tam giác và các đường thẳng cắt nhau, các em học sinh thường gặp yêu cầu tính độ dài một đoạn thẳng nào đó hoặc chia đoạn thẳng thành những phần bằng nhau. Để giải nhanh và chuẩn xác dạng bài thế này, bạn cần phải biết cách vận dụng định lý talet đảo và những hệ quả thực tiễn của nó một cách linh hoạt.
Trường hợp 1: Tính độ dài đoạn thẳng dựa vào tỉ lệ
Khi đề bài cho tam giác và biết một đường thẳng cắt hai cạnh nào đó của tam giác, rồi yêu cầu tìm độ dài một đoạn, bạn có thể thể thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Quan sát xem đường thẳng được nói đến có cắt hai cạnh hay không. Nếu có, bạn nên đánh dấu các đoạn thẳng liên quan, rồi kiểm tra xem có giả thiết nào cho biết đường thẳng đó nằm song song với cạnh còn lại không.
- Bước 2: Nếu có, hãy áp dụng ngay định lý Talet hoặc hệ quả để thiết lập một tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tương ứng trên cả hai cạnh bị cắt.
- Bước 3: Dựa vào các đoạn đã cho, bạn cần thay vào tỉ lệ rồi tiến hành giải phương trình để tìm ra đoạn chưa biết.
Trường hợp 2: Chia đoạn thẳng thành các phần bằng nhau
Trong chuyên đề về định lý talet đảo và hệ quả, nếu bài toán cần bạn là chia một đoạn thẳng nào đó thành các phần bằng nhau mà không đo trực tiếp, bạn có thể làm đúng theo hướng dẫn sau:
- Bước 1: Từ một điểm đầu của đoạn thẳng, bạn hãy vẽ thêm đường thẳng xiên sao cho dễ thao tác (hoặc đã cho sẵn trong đề).
- Bước 2: Chia đường thẳng mà bạn vừa vẽ thành các đoạn bằng nhau theo yêu cầu (ví dụ cần chia đoạn \[\textit{AB}\] thành 3 phần bằng nhau thì chia đoạn phụ này làm 3 đoạn bằng nhau).
- Bước 3: Từ đó, dùng thước kẻ vẽ các đường thẳng song song đi qua các điểm đã chia để cắt đoạn thẳng ban đầu.
- Bước 4: Áp dụng tính chất của đường thẳng song song cách đều để suy ra đoạn thẳng ban đầu đã được chia thành các đoạn bằng nhau tương ứng.
Ví dụ 1: Tính x trong hình sau:
Lời giải:
Áp dụng ngay định lý talet cho \[DE\parallel BC\], ta được:
\[\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}\Leftrightarrow\frac{x}{8}=\frac{28,5}{9,5}\Rightarrow x=\frac{8\times 28,5}{9,5}=\frac{456}{19}\approx 31,58\]
Ví dụ 2: Hãy chia đoạn \[\textit{AB}\] cho trước làm 5 đoạn bằng nhau. Nêu rõ cách làm.
Lời giải:
Ta dùng đến tính chất của đường thẳng song song cách đều.
Đầu tiên, kẻ tia \[\textit{Ax}\], trên đó lần lượt đặt các đoạn thẳng bằng nhau:
\[CD=DE=EF=FG=GH\]
Nối \[\textit{GB}\], rồi từ điểm \[\textit{C}\], \[\textit{D}\], \[\textit{E}\], \[\textit{F}\] kẻ các đường thẳng nằm song song cùng \[\textit{GB}\], chúng cắt \[\textit{AB}\] lượt lượt tại điểm \[\textit{I}\], \[\textit{K}\], \[\textit{L}\], \[\textit{M}\].
Như vậy, \[\textit{OI}\], \[\textit{DK}\], \[\textit{EL}\], \[\textit{EM}\], \[\textit{GB}\] chính là 5 đường thẳng song song cách đều và chúng chắn trên đường thẳng \[\textit{AB}\] những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau:
\[AI=IK=KL=LM=MB\]
2.2. Chứng minh các hệ thức hình học bằng định lý talet đảo và hệ quả
Đối với dạng bài này, mục tiêu của chúng ta là thiết lập và chứng minh đẳng thức giữa các đoạn thẳng nằm trong một hình học cụ thể, thường là tam giác. Để thực hiện được điều đó, bạn cần phải sử dụng đến các yếu tố song song và tỉ lệ.
Theo đó, phương pháp giải chi tiết là:
- Bước 1: Xác định những đường thẳng nằm song song trong hình, đặc biệt là các đường thẳng cắt hai cạnh của hình tam giác và đồng thời song song với cạnh thứ ba.
- Bước 2: Vận dụng hệ quả của định lý talet để thiết lập nên các tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng đã bị chia.
- Bước 3: Áp dụng ngay các tính chất của tỉ lệ thức như: cộng/ trừ theo vế, nhân chéo hay nhân hai vế với cùng một biểu thức nào đó để biến đổi, từ đó mà suy ra hệ thức cần chứng minh.
- Bước 4: So sánh hoặc rút gọn các biểu thức đã thu được để hoàn thành quá trình chứng minh.
Ví dụ: Cho một hình thang \[\textit{ABCD}\] (với \[AB\parallel CD\]), có điểm \[\textit{O}\] là giao điểm của hai đường chéo. Có một đường thẳng đi qua \[\textit{O}\] song song với hai đáy và cắt \[\textit{AD}\], \[\textit{BC}\] lần lượt tại điểm \[\textit{E}\] và \[\textit{F}\]. Chứng minh: \[OE=OF\]
Lời giải:
Áp dụng ngay hệ quả định lý talet cho \[EO\parallel DC,OF\parallel DC,AB\parallel DC\], ta sẽ được:
\[\left\{\begin{matrix}\frac{EO}{DC}=\frac{AO}{AC}\\\frac{OF}{DC}=\frac{BO}{BD}\\\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD}\end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{EO}{DC}=\frac{OF}{DC}\Rightarrow EO=OF\]
2.3. Chứng minh hai đường thẳng là song song
Đây cũng là một dạng bài toán phổ biến khi làm việc với tam giác và các đoạn thẳng cắt nhau. Theo đó, bạn có thể giải quyết nhanh chóng bài tập này bằng cách dùng đến định lý talet đảo và hệ quả. Các bước giải cụ thể như sau:
- Bước 1: Quan sát hình vẽ đã cho để nhận biết những đoạn thẳng có thể liên quan đến hình tam giác và được chia thành các phần.
- Bước 2: Với giả thiết đã cho, bạn hãy thiết lập nhanh tỉ lệ giữa các cặp đoạn thẳng tương ứng.
- Bước 3: Kiểm tra xem những tỉ lệ đó có bằng nhau hay không. Nếu tìm thấy hai cặp đoạn thẳng sở hữu tỉ lệ tương ứng bằng nhau, bạn có thể dùng định lý talet đảo để suy ra rằng hai đường thẳng đang xét nằm song song.
Ví dụ: Trên đường chéo \[\textit{AC}\] của hình bình hành \[\textit{ABCD}\] lấy thêm một điểm \[\textit{I}\]. Qua \[\textit{I}\], kẻ hai đường thẳng bất kỳ sao cho đường thẳng đầu tiên cắt \[\textit{AB}\], \[\textit{CD}\] lần lượt tại điểm \[\textit{E}\] và \[\textit{F}\]. Trong khi đường thẳng thứ hai cắt \[\textit{AD}\], \[\textit{BC}\] tại \[\textit{G}\] và \[\textit{H}\]. Hãy chứng minh: \[GE\parallel FH\]
Lời giải:
Vì tứ giác \[\textit{ABCD}\] là hình bình hành nên \[AB\parallel CD,AD\parallel BC\] \[\Rightarrow AE\parallel FC,AG\parallel HC\].
Áp dụng ngay hệ quả định lý talet cho \[AE\parallel FC,AG\parallel HC\], ta được:
\[\left\{\begin{matrix}\frac{EI}{IF}=\frac{AI}{IC}\\\frac{GI}{IH}=\frac{AI}{IC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{EI}{IF}=\frac{GI}{IH}\]
Điều này chứng tỏ đường thẳng \[\textit{EG}\] đã cắt cạnh \[\textit{IF}\], \[\textit{IH}\] của hình \[\triangle IHF\] và định ra trên 2 cạnh này các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ \[\Rightarrow EF\parallel HF\] (theo định lý talet đảo).
2.4. CM hệ thức hay tính tỷ số đoạn thẳng qua đường phụ song song
Ngoài những dạng bài được nêu trên, chứng minh hệ thức hay tìm tỷ số đoạn thẳng cũng là một dạng bài phổ biến thuộc chuyên đề định lý talet đảo và hệ quả. Theo đó, các bước giải bài là:
- Bước 1: Dựa vào yêu cầu của đề bài, bạn hãy xác định một đoạn thẳng cần biết hay cần chứng minh hệ thức liên quan. Sau đó, vẽ thêm một đường thẳng đi qua điểm đã cho, đồng thời nằm song song với một cạnh thích hợp trong hình tam giác hoặc tứ giác.
- Bước 2: Khi đã có đường phụ song song, bạn cần sử dụng hệ quả của định lý talet để thiết lập nên mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng vừa được tạo ra.
- Bước 3: Lập tỉ lệ thức chính xác giữa các đoạn thẳng tương ứng, sau đó tiến hành biến đổi đại số các hệ thức đó để đưa ra kết luận cần chứng minh hoặc tìm được giá trị mong muốn.
Ví dụ: Cho một hình \[\triangle ABC\], ta lấy \[D\in AB,E\in AC\], sao cho \[BD=CE\]. Ta gọi \[\textit{IH}\] là giao điểm của \[\textit{DE}\] và \[\textit{BC}\]. Chứng minh rằng: \[\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}\].
Lời giải:
Ta đặt đoạn \[BD=CE=a\]
Kẻ đường thẳng \[DH\parallel AC \] thì \[DH\parallel EC \]
Áp dụng hệ quả định lý talet cho \[DH\parallel EC,DH\parallel AC\], ta được:
\[\frac{KE}{KD}=\frac{EC}{DH}=\frac{a}{DH}\] (1)
\[\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{a}{BA}\Rightarrow\frac{a}{DH}=\frac{AB}{AC}\] (2)
Từ (1) và (2), suy ra \[\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}\]
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho hình thang \[\textit{ABCD}\] (có \[AB\parallel CD\]). Một đường thẳng đi qua điểm \[\textit{O}\] của hai đường chéo và nằm song song với cả hai đáy, cắt \[\textit{BC}\] ngay tại điểm \[\textit{I}\]. Hãy chứng minh: \[\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OI}\]
Lời giải:
Áp dụng ngay hệ quả định lý talet cho \[OI\parallel AB,OI\parallel DC\], ta được:
\[\frac{OI}{AB}=\frac{CI}{CB}\] (1); \[\frac{OI}{DC}=\frac{BI}{BC}\] (2)
Ta cộng cả hai vế các đẳng thức (1) và (2), thì được:
\[\frac{OI}{AB}+\frac{OI}{CD}=\frac{BI+IC}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OI}\]
Bài tập 2: Cho hình thức giác \[\textit{ABCD}\], có đường thẳng đi qua \[\textit{A}\] và nằm song song với \[\textit{BC}\], cắt \[\textit{BD}\] ngay tại điểm \[\textit{E}\]. Lại có một đường thẳng đi qua \[\textit{B}\] và song song với \[\textit{AD}\], cắt \[\textit{AC}\] tại điểm \[\textit{G}\]. Hãy chứng minh \[EG\parallel CD\].
Lời giải:
Áp dụng hệ quả định lý Talet cho \[AE\parallel BC,BG\parallel AD\], ta được:
\[\frac{OE}{OB}=\frac{OA}{OC}\] (1); \[\frac{OB}{OD}=\frac{OG}{OA}\] (2)
Ta nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2), thì được:
\[\frac{OE}{OB}.\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}.\frac{OG}{OA}\Rightarrow\frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OC}\]
Điều này cho ta thấy rằng đường thẳng \[\textit{EG}\] cắt hai cạnh \[\textit{OD}\], \[\textit{OC}\] của hình \[\triangle OCD\] và định ra trên hai cạnh này các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ \[\Rightarrow EG\parallel DC\] (theo định lý talet đảo và hệ quả)
Bài tập 3: Cho hình \[\triangle ABC\], trên cạnh \[\textit{AB}\], lấy điểm \[\textit{D}\] sao cho đoạn \[AB=8cm,DB=4cm\]. Hãy tính tỷ số khoảng cách từ hai điểm \[\textit{D}\] và \[\textit{B}\] đến cạnh \[\textit{AC}\].
Lời giải:
Kẻ 2 đường thẳng \[\textit{DH}\] và \[\textit{BK}\] cùng nằm vuông góc với \[\textit{AC}\] thì \[DH\parallel BK\] và \[\textit{DH}\], \[\textit{BK}\] cũng lần lượt là khoảng cách từ điểm \[\textit{D}\] và \[\textit{B}\] đến cạnh \[\textit{AC}\].
Khi đó, ta áp dụng hệ quả định lý talet cho \[DH\parallel BK\] thì sẽ thu được:
\[\frac{DH}{BK}=\frac{AD}{AB}\] hay \[\frac{DH}{BK}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\]
Bài viết trên đây đã nêu rõ nội dung định lý talet đảo và hệ quả, đồng thời giới thiệu một vài dạng bài tập thường gặp. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã ghi nhớ toàn bộ kiến thức trọng điểm của chuyên đề này và tự tin giải các bài tập liên quan nhé!