Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Định lí Ta-lét là một trong những định lí quan trọng trong hình học phẳng. Nó có thể được sử dụng để tìm độ dài cạnh, tìm góc, xác định tính đồng dạng của hai tam giác, và nhiều hơn nữa. Sau khi học xong bài ''Định lí Ta-lét trong tam giác''. Hãy cùng OLIM tìm hiểu tiếp xem định lí Ta - lét đảo là gì và hệ quả của định lí Ta-lét như thế nào. Nếu bạn muốn nắm vững kiến thức này, hãy cùng đến với bài học về "Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét" dưới đây!

1. Định lí Ta-lét trong tam giác

Định lí Ta - lét: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm trên hai cạnh của một tam giác và là song song với cạnh thứ ba, thì đường thẳng đó sẽ chia các cạnh đó thành các đoạn thẳng có tỉ lệ tương ứng với độ dài của các cạnh đó.

Cụ thể hơn, nếu tam giác ABC và d cắt AB tại D, cắt AC tại E, song song với BC, như vậy theo Ta - lét, ta có thể kết luận rằng:

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\\\) và \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\\) và \(\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}\\\)

2. Định lí đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Δ ABC có \(\frac{AB'}{BB'}=\frac{AC'}{CC'}\) ⇒ B'C' //BC

3. Hệ quả của định lí Ta-lét

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

Δ ABC, B'C' // BC ⇒ \(\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\)

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong Δ ABC có AB = 8cm và DE//BC. Lấy trên cạnh AB điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = 2cm, AE = 3cm. Tính độ dài cạnh AC.

Áp dụng hệ quả trên ta có: Δ ABC, DE // BC, D thuộc AB, E thuộc AC

=> \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)

Khi đó ta có: \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\Leftrightarrow\frac28=\frac3{AC}\Rightarrow AC=\frac{3\;.\;8}2=12\;cm\)

4. Bài tập vận dụng

Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.A', B', C' là trung điểm của BC, CA , AB. Phát biểu nào sau đây sai.

A.GA và GN tỉ lệ với GA' và GB'

B. GA và GA' tỉ lệ với AC và B'C

C. GB' và GC' tỉ lệ với GB và GA

D. Đường cao AH của tam giác ABC và đường cao GD của tam giác GBC tỉ lệ với AA'và GA'.

Chọn đáp án D

Bài 2. Cho M và N là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh AB và AC của tam giác ABC. Biết MN=6cm, AM=3cm, MB=5cm, AC=16cm, Cn=10cm. Độ dài của cạnh là:

A. BC=10cm

B. BC=9cm

C. BC=16cm

D. Một kết quả khác

Chọn đáp án A

Bài 3: Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB, AC. Biết AM=2cm, MB=5cm, AN=3,2cm, NC=8cm, BC=14cm. Độ dài đoạn thẳng MN là:

A. MN=5,6cm

B. MN=4cm

C. MN=8cm

D. MN=5,2cm

Chọn đáp án D

Bài 4. Tính x trong hình vẽ bên

A. x=4,5

B. x=3

C. x=2

D. Cả 3 câu trên đều sai

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có diện tích 48cm2 , AB = 4cm, CD = 8cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác COD.

A. \(\frac{64}3\) cm²

B. 15cm²

C. 16cm²

D. 32cm²

Chọn đáp án A

Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 5, CD =15 và AD = 10. Hai cạnh bên kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh rằng Δ OAB cân

Lời giải

Xét Δ ODC có AB // CD

Suy ra \(\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DC}=\frac5{15}=\frac13\)

Đặt OA = x ta có \(\frac x{x\;+\;10}=\frac13\Rightarrow x=5\)

Vậy OA = AB do đó Δ OAB cân tại A

Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của AM với BD và gọi F là giao điểm của BM với AC. Chứng minh rằng EF // AB

Lời giải

Vì AB //CD nên \(\frac{EM}{EA}=\frac{DM}{AB}(1)\\\frac{FM}{FB}=\frac{MC}{AB}(2)\)

Vì MD = MC nên từ (1) và (2)

Suy ra \(\frac{EM}{EA}=\frac{FM}{FB}\)

Do đó EF // AB (định lí Ta-lét đảo)