Đa giác. Đa giác đều

Trong toán học, đa giác là một hình học được hình thành bởi nhiều đoạn thẳng được nối lại với nhau để tạo thành một hình dạng đa giác. Một đa giác được gọi là đa giác đều nếu tất cả các cạnh và góc của nó đều có độ dài và độ lớn bằng nhau. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các tính chất và đặc điểm của đa giác và đa giác đều, cũng như một số ví dụ về các loại đa giác khác nhau.

1. Khái niệm đa giác

Trong hình học phẳng, đa giác là một đường gấp khúc phẳng khép kín, nghĩa là gồm những đoạn thẳng nối tiếp nhau (mỗi điểm nối là đầu mút của vừa đúng hai đoạn thẳng) cùng nằm trên một mặt phẳng và khép kín (điểm nối đầu trùng với điểm nối cuối). Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường đa giác được gọi là hình đa giác.

Đa giác chia làm hai loại cơ bản là đa giác lồi và đa giác lõm. Hầu hết các hình học được gọi là đa giác mà các bạn đang học trong chương trình phổ thông hiện nay đều là đa giác lồi. Vì vậy khi nhắc đến đa giác trong hình học, ta quy ước đó là đa giác lồi

Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Một số thuật ngữ quan trọng liên quan đến đa giác là đỉnh, cạnh và đường chéo. Các cạnh của đa giác gọi là cạnh, giao điểm của hai cạnh của đa giác gọi là đỉnh, đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của đa giác gọi là đường chéo.

2. Một số loại đa giác thường gặp

Một đa giác có ít nhất 3 cạnh và góc. Đa giác có thể được phân loại dựa trên số cạnh và góc. 

Dưới đây là một số loại đa giác

3. Khái niệm đa giác đều

Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Tam giác đều, tứ giác đều (hình vuông), ngũ giác đều, lục giác đều, …, là những đa giác rất thường gặp trong Toán học cũng như trong thực tế.

4. Một số công thức tính toán dùng trong đa giác

Đa giác n đỉnh (n \(\geq\) 3) được gọi là hình n-cạnh 

a) Góc trong đa giác Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng \((n\;-\;2)\;.\;180^\circ\) Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng \(\frac{(n\;-\;2)\;.\;180^\circ}n\) Góc ở tâm của n giác được tính theo công thức \(\frac{360}n\) b) Số đường chéo của đa giác n cạnh Số các đường chéo của đa giác lồi n cạnh bằng \(\frac{n(n\;-\;3)}2\)

4. Bài tập ví dụ

Bài 1. Hãy nêu cách nhận biết một đa giác lồi.

Lời giải

Lục giác lồi ABCDEF

Cách nhận biết một đa giác lồi:

Lần lượt xét các nửa mặt phẳng bờ là cạnh của đa giác, nếu đa giác luôn nằm hoàn toàn trong một nửa mặt phẳng thì đa giác là đa giác lồi.

Nếu có 1 cạnh mà đa giác nằm trên cả hai nửa mặt phẳng mà đường thẳng chứa cạnh là bờ thì đa giác không phải đa giác lồi.

Bài 2. Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tất cả các cạnh bằng nhau.

b) Có tất cả các góc bằng nhau.

Lời giải

a) Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau nhưng các góc có thể không bằng nhau nên hình thoi không buộc phải là đa giác đều.

b) Hình chữ nhật có tất cả các góc bằng nhau nhưng các cạnh có thể không bằng nhau nên hình chữ nhật không buộc phải là đa giác đều.

Bài 3. Cho đa giác đều có 14 cạnh. Tính :

a) Tổng số đo góc của đa giác đó

b) Số đo một góc của đa giác

c) Số đường chéo của đa giác.

Lời giải

a) Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là ( n - 2 ).180⁰.

Tổng số đo của đa giác 14 cạnh là ( 14 - 2 ).180⁰ = 2160⁰.

b) Số đo một góc của đa giác đều n cạnh là \(\frac{(n\;-\;2).180^\circ}n\)

Số đo một góc của đa giác 14 cạnh là \(\frac{(14\;-2).180^\circ}{14}\approx154,28^\circ\)

c) Số đường chéo của đa giác n cạnh là \(\frac{n(n\;-\;3)}2.(n\in N,\;n\geq3)\)

Số đường chéo của đa giác 14 cạnh là \(\frac{14(14\;-\;3)}2=77\) đường chéo