Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Đường tròn là một trong những hình học cơ bản được sử dụng rộng rãi trong toán học và các ngành kỹ thuật khác. Trong quá trình học tập và thực hành, việc nhận biết tiếp tuyến của đường tròn là một trong những khái niệm quan trọng cần được nắm vững. Bài viết này sẽ giới thiệu đến bạn các dấu hiệu để nhận biết tiếp tuyến của đường tròn một cách dễ dàng.

1. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Nếu như một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó sẽ vuông góc với bán kính mà nó đi qua tiếp điểm.

d là tiếp tuyến của (O) thì d vuông góc với OA (A là tiếp điểm)

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Ngoài ra, nhắc lại một số dấu hiệu đã biết:

• Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
• Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán  kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

3. Bài tập về dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải

Ta có: AB² + AC² = 3² + 4² = 25

BC² = 5² = 25

Nên AB² + AC² = BC²

=> tam giác ABC vuông tại A hay AC ⊥ BA.

Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và vuông góc với bán kính BA đi qua điểm A nên AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 2. Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.

Lời giải

a)

Gọi H là giao điểm của OC và AB

Xét đường tròn (O) có

OH ⊥ AB tại H mà OH là 1 phần của đường kính và AB là dây của đường tròn

Do đó, H là trung điểm của AB (do đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

\(HA=HB=\frac12AB\)

Mà ta lại có: OC ⊥ AB tại H, do đó, OC là đường trung trực của AB

=> CB = CA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác CBO và tam giác CAO có:

CO chung

CA = CB (chứng minh trên)

OB = OA = R (do B, A nằm trên đường tròn (O))

Do đó, tam giác CBO và tam giác CAO bằng nhau theo trường hợp cạnh cạnh cạnh.

\(\Rightarrow\widehat{CBO}\;=\;\widehat{CAO}\)

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên có:

\(AC\perp OA\Rightarrow\widehat{CAO}=90^\circ\Rightarrow\widehat{CBO}=\widehat{CAO}=90^\circ\)

Tức là CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

Do đó, CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

b)

Ta có: OA = OB = R = 15cm

\(HA=\frac{AB}2=\frac{24}2=12\) (chứng minh phần a)

Xét tam giác HOA vuông tại H (do OC ⊥ AB tại H)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

OA² = OH² + HA²

=> OH² = OA² - HA² = 15² - 12² = 81

\(\Rightarrow OH=\sqrt{81}=9\;cm\)

Xét tam giác BOC vuông tại B (do CB vuông góc với OB tại B – chứng minh phần a) có đường cao BH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(OB^2=OC.OH\Rightarrow OC=\frac{OB^2}{OH}=\frac{15^2}9=25\;cm\)

Bài 3. Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.

Lời giải

Cách dựng:

• Dựng đường trung trực m của đoạn thẳng AB.
• Từ A dựng một đường thẳng vuông góc với d cắt đường thẳng m tại O.
• Dựng đường tròn (O; OA). Đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh:

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB (tính chất của đường trung trực)

Do đó, đường tròn (O; OA) đi qua A và B.

Đường thẳng d ⊥ OA tại A nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.