Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Trong hình học, dây của đường tròn là một trong những đại lượng quan trọng để miêu tả đường tròn. Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến dây cũng là một đại lượng quan trọng, và nó có mối liên hệ đặc biệt với dây. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây của đường tròn, cũng như ứng dụng của nó trong giải các bài toán hình học.

1. Lý thuyết liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lý 1: Trong một đường tròn:  a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Ví dụ:

Xét đường tròn (O;R):

• Nếu AB = CD thì OH = OK.
• Nếu OH = OK thì AB = CD.

Định lý 2. Trong hai dây của một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Ví dụ:

Xét đường tròn (O;R):

• Nếu AB > CD thì OH < OK.
• Nếu OH < OK thì AB > CD.

2. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hình dưới đây trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.
Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK

b) ME và MF

c) MH và MK.

Lời giải

a) Trong đường tròn nhỏ:

AB > CD => OH < OK (định lí 3)

b) Trong đường tròn lớn:

OH < OK => ME > MF (định lí 3)

c) Trong đường tròn lớn:

ME > MF => MH > MK

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây CD, vẽ hai dây AD và BC song song với nhau. Chứng minh:

a) AC = BD;

b) CD là đường kính của (O).

Lời giải

a) Gọi E là trung điểm của AD; G là trung điểm của BC

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}OE\perp AD\\OG\perp BC\end{array}\right.(tính\;chất)\)

Mà AD // BC nên O, E, G thẳng hàng

Xét \(\bigtriangleup AOE=\bigtriangleup BOG\) có
OA = OB  (bán kính)
Góc AOE bằng góc BOG (hai góc đối đỉnh)

Do đó \(\bigtriangleup AOE=\bigtriangleup BOG\) (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AE = BG mà E là trung điểm của AD, G là trung điểm của BC
⇒AD = BC.

Xét tứ giác ADBC có:

AD = BC (chứng minh trên)
AD // BC (giả thuyết)

Do đó tứ giác ADBC là hình bình hành

⇒AC = BC (tính chất).

b) Vì ADBC là hình bình hành nên hai đường chéo B và CD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà O là trung điểm AB nên O cũng là trung điểm của CD
⇒O, C, D thẳng hàng
⇒CD là đường kính của đường tròn (O).

Bài 3. Trong đường tròn (O) kẻ hai bán kính OA và OB tuỳ ý và một dây MN vuông góc với phân giác Ox của góc AOB và cắt OA ở F và OB ở G. Chứng minh rằng MF = NG và FA = GB

Lời giải

Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm ta có: HM = HN

Xét tam giác OFG có OH là phân giác đồng thời là trung tuyến nên tam giác OFG cân
⇒HF = HG; OF = OG

Mà MH = MF + FH
NH = NG + GH
⇒ MF = NG

Mặt khác ta có OA = OB mà OF = OG => FA = GB

Bài 4. Cho đường tròn (O) và dây CD, Từ O kẻ OM vuông góc với CD cắt đường tròn tại H. Biết CD = 16cm, MH = 4cm. Tính bán kính (O)

Lời giải

Vì OM vuông góc với CD\(\Rightarrow CM=CN=\frac{CD}2=\frac{16}2=8\) (cm) (Đường kính vuông góc với dây)

OH = OC = R =>R² = (R - 4)² + 8²

=> R = 10cm