Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng và đường tròn là hai khái niệm cơ bản trong hình học euclide. Vị trí tương đối giữa chúng cũng là một chủ đề quan trọng được nghiên cứu trong toán học và có nhiều ứng dụng thực tế. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn và các tính chất liên quan đến chúng.

1. Khái niệm đường thẳng, đường tròn

Đường thẳng

Đường thẳng là một khái niệm không được định nghĩa, là một cơ sở đầu tiên để xây dựng các khái niệm toán học khác. Đường thẳng có đặc điểm là không có chiều rộng và không cong tại mọi điểm. Một đường thẳng được xem là một đường dài, mỏng, thẳng và chỉ có một đường duy nhất đi qua hai điểm bất kì.

Đường tròn

Đường tròn là tập hợp của tất cả các điểm trên cùng một mặt phẳng và cách đều tâm (điểm cho trước) một khoảng cách nhất định. Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là (O;R).

2. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Đây là dạng đầu tiên của ba vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn. Khi một đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Khi đó, đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung và khoảng cách OH < R

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại một điểm

Khi một đường thẳng Δ chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O), ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O)

Như vậy nếu Δ là tiếp tuyến của (O) thì Δ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Ta có OH = R

Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

c) Đường thẳng và đường tròn không tiếp xúc với nhau

Khi một đường thẳng Δ và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng Δ và đường tròn (O) không giao nhau.

Khi đó OH > R

3. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn	Số điểm chung	Hệ thức d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	2	d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau	1	d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	0	d > R

4. Bài tập vận dụng

Bài 1. Xét hệ thức giữa d và R ta có bảng sau:

R	d	Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
5cm	3 cm	...
6cm	...	tiếp xúc nhau
4cm	7cm	...

Lời giải

R	d	Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
5cm	3 cm	cắt nhau (d < R)
6cm	6cm	tiếp xúc nhau (d = R)
4cm	7cm	không giao nhau (d > R)

Bài 2. Cho đường thẳng a và có một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm.

a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O)? Vì sao?

b) Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC.

Lời giải

a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 2 điểm phân biệt, vì khoảng cách d < R

b) Xét tam giác OHC vuông tại H có:

\(HC=\sqrt{OC^2\;-\;OH^2}=\sqrt{5^2\;-\;3^2}=4cm\\\Rightarrow BC\;=\;2HC\;=\;8cm\)

Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 3) và các trục tọa độ.

Lời giải

Kẻ AH ⊥ Ox, AK ⊥ Oy.

Vì AH = 4 > R = 3 nên đường tròn tâm (A) và trục hoành không giao nhau.

Vì AK = 3 = R nên đường tròn (A) và trục tung tiếp xúc nhau.

Bài 4. Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB

Lời giải

Theo định lí Pitago trong tam giác vuông AOB có:
\(AB=\sqrt{AO^2\;-\;BO^2}=\sqrt{64}=8cm\)