Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Đường tròn là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học Euclide, và có nhiều tính chất đặc biệt được nghiên cứu. Trong đó, tính chất đối xứng của đường tròn là một trong những tính chất quan trọng nhất, và nó được áp dụng rộng rãi trong các bài toán hình học và các lĩnh vực khác của toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về sự xác định của đường tròn và các tính chất đối xứng của nó.

1. Đường tròn

Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0 ), kí hiệu (O;R), là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R. 

2. Vị trí tương đối

Với đường tròn (O;R) và điểm M

Nếu M nằm trên đường tròn (O; R) thì OM = R.

Nếu M nằm trong đường tròn (O; R) thì OM < R.

Nếu M nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OM > R.

3. Cách xác định đường tròn

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó

Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.

Trong tam giác thường:

• Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó
• Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó

Định lí: Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.

4. Tính chất đối xứng của đường tròn

Tâm đối xứng

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó

Nhận xét: Đường tròn có duy nhất một tâm đối xứng

Trục đối xứng

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

Nhận xét: Đường tròn có vô số trục đối xứng

5. Bài tập

Bài 1. Nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn	(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác
(2) Nếu tam giác có góc vuông	(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác
(3) Nếu tam giác có góc tù	(6) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất

Lời giải

Nối (1) với (5): Vì trong tam giác nhọn, giao của ba đường trung trực nằm bên trong tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên trong tam giác.

Nối (2) với (6): Vì trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó. Tức là trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác.

Nối (3) với (4): Vì trong tam giác tù, giao của ba đường trung trực nằm bên ngoài tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên ngoài tam giác.

Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm A(1; -1), B(-√2 ; √2 ) và C(1; 2) đối với đường tròn (O; 2)

Lời giải

Gọi R là bán kính của đường tròn (O; 2). Ta có: R = 2

OA² = 1² + 1² = 2 ⇒ OA = √2 < 2

Vì OA < R nên điểm A nằm trong đường tròn (O; 2)

OB² = (√2 )² + (√2 )² = 2 + 2 = 4 ⇒ OB = 2

Vì OB = R nên điểm B thuộc đường tròn (O; 2)

OC² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5 ⇒ OC = √5 > 2

Bài 3. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?

a. Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung
b. Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt
c. Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy.

Lời giải

a. Đúng
b. Sai vì hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau
c. Sai vì tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền, tam giác tù giao điểm của ba đường trung trực nằm ngoài tam giác.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có \(\widehat C\;+\;\widehat D\;=\;90^\circ\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường tròn

Lời giải

Gọi \(I=DA\;\cap\;CB\). Theo giả thiết \(\widehat C+\widehat D=90^\circ\Rightarrow\widehat{DIC}\;=\;90^\circ\)
Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với AD)
Và MN = PQ (=\(\frac12\)AD)
Suy ra MNPQ là hình bình hành
Lại có MN // AD, MQ // BC nên \(\widehat{NMQ}=\widehat{DIC}=90^\circ\)(góc có cạnh tương ứng song song)
Do đó MNPQ là hình chữ nhật. Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc đường tròn đường kính NQ