Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Hình tròn là một trong những hình học cơ bản nhất và được áp dụng rộng rãi trong toán học và các lĩnh vực khác. Diện tích của hình tròn là một trong những đại lượng quan trọng được tính toán từ đường kính hoặc bán kính của nó. Ngoài ra, khi chúng ta cắt một hình tròn bằng một mặt phẳng đi qua tâm, chúng ta thu được một hình quạt tròn. Diện tích của hình quạt tròn cũng là một đại lượng quan trọng được tính toán trong toán học và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Bài viết này sẽ giới thiệu về cách tính diện tích hình tròn và hình quạt tròn cũng như tính chất của chúng.

1. Hình tròn, hình quạt tròn là gì?

Hình tròn là tập hợp tất cả những điểm nằm bên trong và bên trên đường tròn hay nó là tập hợp những điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Một nửa hình tròn được gọi là hình bán nguyệt.

Hình quạt tròn là phần của hình tròn được giới hạn bởi hai bán kính và cung tròn chắn bởi hai bán kính này.

2. Diện tích hình tròn

Diện tích của hình tròn được biết đến là phần diện tích nằm phía trong đường tròn, chúng tỷ lệ thuận cùng với bình phương bán kính của nó.

Muốn tính tính diện tích hình tròn ta lấy bình phương bán kính nhân với Pi.

\(S=r^2\times\mathrm\pi\)

Hay diện tích hình tròn cũng được tính theo công thức là bình phương đường kính nhân với Pi rồi chia cho 4.

\(S=\frac{d^2\times\mathrm\pi}4\)

Trong đó

S là diện hình tròn
r là bán kính hình tròn
d là đường kính hình tròn
π là số pi có giá trị sấp sỉ 3.14

3. Diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn S chắn bởi hai bán kính tạo thành một góc \(\theta\), trong một hình tròn bán kính R được tính bằng công thức sau:

\(S=\mathrm\pi.\mathrm R^2.\frac{\mathrm\theta}{2\mathrm\pi}=\mathrm R^2.(\frac{\mathrm\theta}2)=\frac12\mathrm R^2.\mathrm\theta\)

Ngoài ra, diện tích của hình quạt tròn S chắn bởi hai bán kính tạo thành một góc n^o, trong một hình tròn bán kính R được tính bằng công thức sau

\(S=\frac{\mathrm{πR}^2\mathrm n}{360}\) hay \(S=\frac{l.R}2\)

Với l là độ dài cung n^o của hình quạt tròn

4. Chu vi hình quạt tròn

Chu vi hình quạt tròn được tính theo công thức:

\(C\;=\;2R\;+\;l\)

Trong đó

C là chu vi hình quạt
R là bán kính đường tròn tâm O
l là độ dài cung tròn

5. Bài tập

Bài 1. Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4cm.

Lời giải
Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4cm thì có R=2cm.
Vậy diện tích hình tròn là: S = π . 22 = 4.π (cm²)

Bài 2. Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 36^o

Diện tích hình quạt tròn là: \(S=\frac{\mathrm\pi\times6^2\times36}{360}=3,6\mathrm\pi(\mathrm{cm}^2)\)

Bài 3. Một hình tròn có diện tích S = 144π (cm2) . Bán kính của hình tròn đó là:
A. 15 (cm)
B. 16 (cm)
C. 12 (cm)
D. 14 (cm)
Lời giải:
Diện tích S = π.R² = 144.π ⇔ R² = 144 ⇔ R = 12 (cm)

Bài 4. Cho đường tròn (O, 10 cm) , đường kính AB. Điểm M ∈ (O) sao cho \(\widehat{BAM}\) = 45^o. Tính diện tích hình quạt AOM

Lời giải
Xét đường tròn O có
OA = OM
\(\widehat{MAO}\) = 45^o
⇒ \(\widehat{MOA}\) = 90^o
Vậy diện tích hình quạt AOM là
\(S=\frac{\mathrm{πR}^2\mathrm n}{360}=\frac{\mathrm\pi.10^2.90}{360}=25\mathrm\pi\;(\mathrm{cm}^2)\)

Bài 5. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):

Bán kính đường tròn (R)	Độ dài đường tròn (C)	Diện tích hình tròn (S)	Số đo của cung tròn (n^o)	Diện tích hình quạt tròn cung n^o
	13,2 cm		47,5^o
2,5 cm				12,5 cm²
		37,80 cm²		10,6 cm²

Lời giải
Sử dụng công thức tính
Sử dụng các công thức tính:
C=2.π.R
Diện tích hình tròn: S=π.R²
Diện tích hình quạt tròn là: \(S=\frac{\pi.R^2.n^\circ}{360^\circ}\)
Ta điền được kết quả vào bảng như sau:

Bán kính đường tròn (R)	Độ dài đường tròn (C)	Diện tích hình tròn (S)	Số đo của cung tròn (n^o)	Diện tích hình quạt tròn cung n^o
2,1 cm	13,2 cm	13,8 cm²	47,5^o	1,83 cm²
2,5 cm	15,7 cm	19,6 cm²	229,3^o	12,5 cm²
3,5 cm	22 cm	37,80 cm²	99,2^o	10,6 cm²