Độ dài đường tròn, cung tròn

Trong hình học, đường tròn là một trong những khái niệm cơ bản nhất và được áp dụng rộng rãi trong toán học và các lĩnh vực khác. Một trong những đại lượng liên quan đến đường tròn là độ dài đường tròn và cung tròn. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của độ dài đường tròn và cung tròn là rất cần thiết trong toán học và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về độ dài đường tròn và cung tròn, cũng như tính chất và cách tính toán các đại lượng này.

1. Độ dài đường tròn

Đường tròn là gì?

• Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.
• Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R)
• Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi “đường tròn” ranh giới của hình, “hình tròn” bao gồm cả ranh giới và phần bên trong.

Công thức tính độ dài đường tròn?

Độ dài đường tròn hay còn được gọi là chu vi đường tròn được kí hiệu là C.

Muốn tính độ dài đường tròn ta lấy đường kính nhân với số pi (hoặc lấy bán kính nhân 2 rồi nhân với pi)

Công thức

\(C=\mathrm\pi.\mathrm d\) hoặc \(C=2.\mathrm\pi.\mathrm r\)

Trong đó:

• C là độ dài đường tròn.
• r là bán kính đường tròn.
• d là đường kính của đường tròn

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), bán kính r = 5cm. Tính độ dài của đường tròn?

Độ dài đường tròn là:
C = 2.π.r = 2.π.5 = 10π (cm)

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính d = 9cm. Tính.độ dài đường tròn?

Độ dài đường tròn là:
C = π.d = 9π (cm)

2. Độ dài cung tròn

Đường tròn thực chất là một cung tròn khép kín có số đo bằng 360^o có độ dài bằng \(C=2\mathrm{πR}\)
Do đó, mỗi 1^o có độ dài bằng \(\frac{2.\mathrm\pi.\mathrm R.1}{360}\)
Suy ra cung tròn n^o có độ dài bằng: \(\frac{2.\mathrm\pi.\mathrm R.1}{360}=\frac{\mathrm\pi.\mathrm R.\mathrm n}{180}\).

Như vậy, độ dài cung tròn n^o được tính theo công thức sau:

\(l=\frac{\mathrm\pi.\mathrm R.\mathrm n}{180}\)

Trong đó: 

• l là độ dài cung tròn n°.
• R là bán kính đường tròn.
• n là số đo độ của góc ở tâm.

Ví dụ: Cho đường tròn tâm O có chu vi 36π cm. Tính độ dài cung có số đo 90^o?

Chu vi đường tròn là \(C=2\mathrm\pi.\mathrm R=36\mathrm\pi\)
Suy ra R = 18cm

Độ dài cung tròn có số đo 90^o là
\(\mathrm l=\frac{\mathrm\pi.18.90}{180}=9\mathrm\pi\) cm

3. Bài tập

Bài 1. Số đo n^o của cung tròn có độ dài 30,8 cm trên đường tròn có bán kính 22 cm là?

Lời giải
Độ dài cung tròn là \(\mathrm l=\frac{\mathrm\pi.\mathrm R.\mathrm n}{180}=\frac{\mathrm\pi.22.\mathrm n}{180}=30,8\Rightarrow\mathrm n\approx80^\circ\)

Bài 2. Biết chu vi đường tròn là C = 36π (cm) . Tính đường kính của đường tròn.

Lời giải
Chu vi C = πd = 36π ⇒ \(d=\frac{36\mathrm\pi}{\mathrm\pi}=36\).
Vậy đường kính cần tìm là 36cm

Bài 3. Xích Đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40000km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.

Áp dụng công thức tính độ dài đường tròn, ta có:
C = 2πR ⇒ 40000 = 2πR ⇒ R ≈ 6366,2 (km)

Bài 4. Biết độ dài cung 60° là 6π. Tính độ dài cung tròn có số đo 100°.

Lời giải
Độ dài cung tròn có số đo 60° là:
\(l=\frac{\mathrm\pi.\mathrm R.60}{180}=6\mathrm\pi\;\Rightarrow\mathrm R=18\mathrm{cm}\)
Độ dài cung tròn có số đo 100° là
\(l=\frac{\mathrm\pi.18.100}{180}=10\mathrm\pi\)

Bài 5. Cho đường tròn (O; R), độ dài cung có số đo n° là 0,314. R.Tính n?
A. 18°
B. 20°
C. 36°
D. 30°

Lời giải

Độ dài cung có số đo n° là:
\(l=\frac{\mathrm\pi.\mathrm R.\mathrm n}{180}=0,314R\\\Leftrightarrow\frac{\mathrm\pi.\mathrm n}{180}=0,314\\\Leftrightarrow n=\frac{0,314.180}{\mathrm\pi}=18\)

Chọn A

Bài 6. Một đường tròn có bán kính 15cm. Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 30°

Độ dài của cung tròn có góc ở tâm bằng 30° là \(l=\frac{\mathrm\pi.15.30}{180}=\frac{5\mathrm\pi}2cm\)

Bài 7. Cho đường tròn có đường kính bằng 15cm. Tính độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 145°
Lời giải
+ Bán kính của đường tròn là: 15 : 2 = 7,5cm
+ Độ dài của cung tròn có góc ở tâm bằng 145° là \(l=\frac{\mathrm\pi.7,5.145}{180}=\frac{145\mathrm\pi}{24}cm\)

Bài 8. 

a, Tính độ dài cung 60° của một đường tròn có bán kính bằng 2dm

b, Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm

Lời giải:

a, Độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 60° là: \(l=\frac{\mathrm\pi.2.60}{180}=\frac{2\mathrm\pi}3dm\)

b, Chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm là \(C=\mathrm\pi.\mathrm d=650\mathrm\pi\;(\mathrm{mm})\)