Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
Trong hình học, khi hai đường thẳng có cùng hướng và không bao giờ cắt nhau, chúng được gọi là đường thẳng song song. Trong nhiều bài toán và ứng dụng trong hình học, việc xác định đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước là rất quan trọng. Điều này có thể được áp dụng để giải quyết nhiều vấn đề như tính toán khoảng cách giữa hai đường thẳng, tìm giao điểm của hai đường thẳng và giải quyết các bài toán liên quan đến hình học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và các ứng dụng của nó trong hình học.
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Trên hình ta thấy AM = AN = h là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b
2. Tính chất các điểm cách đều đoạn thẳng
Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
a//b//a'
a và a' cách b một khoảng bằng h
Chú ý: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.
Ghi chú:
- Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng r không đổi là đường tròn (O, r).
- Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
- Tập hợp các điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
3. Định lí về đường thẳng song song cách đều
- Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
- Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
4. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Phát biểu tập hợp điểm (không chứng minh).
Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất để chi ra hình dạng của tập hợp các điểm cùng thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Ví dụ: Điền vào chỗ trống
a) Điền vào các điểm cách điểm A cố định một khoảng bằng 1 cm là ...
b) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB cố định là ...
c) Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc là ...
Lời giải
a) Đường tròn (A; 1cm)
b) Đường trung trực của đoạn thẳng AB
c) Tia phân giác trong của \(\widehat{xOy}\)
Dạng 2. Tìm quỹ tích (tập hợp các điểm).
Phương pháp giải: Vận dụng các nhận xét về tập hợp điểm.
Ví dụ: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Lấy điểm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào?
Gọi H, K là hình chiếu của A và C trên đường thẳng d.
⇒ Khoảng cách từ A đến d bằng AH
⇒ AH = 2cm.
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{CKB}=90^\circ\)
AB = BC (C đối xứng với A qua B)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CBK}\) ( hai góc đối đỉnh)
⇒ ΔAHB = ΔCKB (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ CK = AH = 2cm (2 cạnh tương ứng).
Vậy điểm C nằm trên đường thẳng song song với d, không đi qua A và cách d=2cm.
5. Bài tập vận dụng
Bài 1. Ghép mỗi ý (1), (2), (3), (4) với một trong các ý (5), (6), (7), (8) để được một khẳng định đúng.
| (1) Tập hợp các điểm cách A cố định một khoảng 3cm. | (5) Là đường trung trực của đoạn thẳng AB. |
| (2) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB cố định | (6) là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng 3cm. |
| (3) Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc đó | (7) là đường tròn tâm A bán kính 3cm. |
| (4) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng 3cm. | (8) là tia phân giác của góc xOy |
Lời giải
Ghép các ý:
(1) với (7)
(2) với (5)
(3) với (8)
(4) với (6)
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì. Trên tia Ax lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Kẻ đoạn thẳng EB. Qua C, D kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.
Lời giải
Kẻ đường thẳng At // CC’ // DD’ // BE như hình vẽ.
Ta có: AC = CD = DE
⇒ At, CC’, DD‘, BE là các đường thẳng song song cách đều
⇒ AC’ = C’D’ = D’B
hay đoạn thẳng AB bị chia ra làm 3 phần bằng nhau.
Bài 3. Xét các tam giác ABC có BC cố định, đường cao ứng với cạnh BC luôn bằng 2 cm. Đỉnh A của các tam giác đó nằm trên đường nào ?
Lời giải
Đỉnh A của các tam giác đó nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng 2 cm
Bài 4. Cho đường thẳng b. Gọi a và a’ là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cùng cách đường thẳng b một khoảng bằng h, (I) và (II) là các nửa mặt phẳng bờ b. Gọi M, M’ là các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h, trong đó M thuộc nửa mặt phẳng (I), M’ thuộc nửa mặt phẳng (II). Chứng minh rằng M ∈ a, M’ ∈ a’.
Lời giải
Xét tứ giác AMKH, có:
\(\left\{\begin{array}{l}AH\perp b\\MK\perp b\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp MK\)
AH = MK = h
Suy ra tứ giác AMKH là hình bình hành
⇒AM // HK hay AM // b
Mà đường thẳng a qua A cũng song song với b nên theo tiên đề Ơ – clit suy ra AM trùng đường thẳng a hay M thuộc a.
Xét tứ giác A’M’K’H’, có:
\(\left\{\begin{array}{l}AH'\perp b\\MK'\perp b\end{array}\right.\Rightarrow A'H'\perp M'K'\)
A’H’ = M’K’ = h
Suy tứ giác A’M’K’H’ là hình bình hành
⇒A’M’ // H’K’ hay A’M’ // b
Mà đường thẳng a’ qua A’ cũng song song với b nên theo tiên đề Ơ – clit suy ra A’M’ trùng đường thẳng a’ hay M’ thuộc a’.