Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

Trong hình học, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp là hai khái niệm quan trọng và liên quan mật thiết đến nhau. Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn có bán kính bằng đường chéo của hình vuông, còn đường tròn nội tiếp là đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp là rất cần thiết trong toán học và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp, cũng như tính chất và cách giải các bài toán liên quan đến hai khái niệm này.

1. Đường tròn ngoại tiếp

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn  nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

Ví dụ:

Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

Đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD và tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Đường tròn (O) ngoại tiếp đa giác giác ABCDE và đa giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O).

2. Đường tròn nội tiếp

Đường tròn mà tiếp xúc tất cả các cạnh của đa giác là đường tròn nội tiếp đa giác. Đa giác này được gọi là đa giác ngoại tiếp của đường tròn. Đường tròn nội tiếp tam giác chính là đường tròn lớn nhất mà nằm trong tam giác đó. Đối với đường tròn nội tiếp tam giác, tâm của nó là giao điểm 3 đường phân giác trong.

Ví dụ:

Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).

Đường tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD và tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O).

Đường tròn (O) nội tiếp đa giác ABCDE và đa giác ABCDE ngoại tiếp đường tròn (O).

3. Định lí về đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

• Bất kỳ các đa giác đều nào cũng chỉ có 1 và chỉ 1 đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp.
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và chính là tâm của đa giác đều.

4. Công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Cho đa giác đều có n cạnh, a là độ dài mỗi cạnh

Với r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Khi đó ta có công thức tính bán kính của đường tròn nội tiếp là:

\(r=a/2\tan(\frac{180^\circ}n)\)

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Khi đó ta có công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp là:

\(R=a/2\sin(\frac{180^\circ}n)\)

Ví dụ: Tính bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều có cạnh bằng a?

Vì là hình lục giác đều nên ta có n = 6
Bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều có cạnh bằng a là:
\(r=\frac a{2.\tan{\displaystyle\frac{180^\circ}n}}=\frac a{2.\tan{\displaystyle\frac{180^\circ}6}}\\\Leftrightarrow r=\frac a{2.\tan.30^\circ}=\frac a{2{\displaystyle\frac{\sqrt3}3}}=\frac{\sqrt3a}2\)

5. Bài tập

Bài 1. Một đường tròn có bán kính R = 3cm. Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó.

Lời giải
Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
Do tứ giác nội tiếp là hình vuông với n = 4, khi đó: \(a=R\sqrt2=3\sqrt2\)
Diện tích hình vuông là: \(S=a^2={(3\sqrt2)}^2=18\;cm^2\).

Bài 2. 
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).
c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Lời giải
a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).
c) Vẽ OH ⊥ AD.
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
r = OH = BH
Có: r² + r² = OB² = 2² ⇒ 2r² = 4 ⇒ r² = 2 ⇒ r = √2(cm)
Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.

Bài 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết AB = 10cm, BC = 13cm, CD = 15cm. Chứng minh hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn, tìm bán kính đường tròn đó.

Lời giải

Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D ⇒\(\hat{A} =\hat{D} =90^{o}\)
Vẽ BH vuông góc với CD tại H⇒ \(\widehat{BHD} =90^{o}\)
Xét tứ giác ABHD có:\(\hat{A} =\hat{D} =\widehat{BHD} =90^{o}\)
=> tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
⇒AB = DH = 90°
Lại có: DH + CH = CD mà CD = 15cm nên CH = 5cm.
Xét tam giác BHC vuông tại H ta có:
BH² + CH² = BC² ( theo định lý pitago)
⇔ BH² + 5² = 13²
⇔BH² + 25 = 169
⇔BH² = 169 - 25
⇒BH² = 144
⇔BH = 12cm
Mà ABHD là hình chữ nhật nên AD = BH = 12cm.
Xét hình thang ABCD có:
AB + CD = 10 + 15 = 25cm
AD + BC = 12 + 13 = 25cm
Do đó: AB + CD = AD + BC.
=> hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn.
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD, do đo O các đều AB và CD.
Vẽ OE vuông góc với AB; OF vuông góc với CD. Do AB // CD nên O, E, F thẳng hàng hay EF = BH = 12cm
Lại có OE = OF nên OE = OF = 6cm.
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình thang ABCD là 6cm.