Giải toán bằng cách lập phương trình
Bài viết này sẽ giới thiệu về cách sử dụng phương trình để giải các bài toán khác nhau trong toán học. Bằng cách lập phương trình cho các thông số và điều kiện trong bài toán, chúng ta có thể tìm ra giải pháp cho vấn đề đó. Các bài toán có thể liên quan đến hình học, tốc độ, hàm số, đại số và nhiều lĩnh vực khác. Bài viết cũng cung cấp một số ví dụ và các bước cụ thể để lập phương trình cho mỗi bài toán. Việc nắm vững cách giải các bài toán bằng cách sử dụng phương trình sẽ giúp chúng ta nâng cao kỹ năng toán học của mình.
Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn
Để biểu diễn một đại lượng bằng biểu thức chứa ẩn, chúng ta cần sử dụng các ký hiệu và phép toán trong toán học để xác định mối quan hệ giữa đại lượng đó với các ẩn khác.
Ví dụ:
để biểu diễn chu vi hình tròn, chúng ta sử dụng công thức:
C = 2πr
Trong đó, C là chu vi, r là bán kính và π là hằng số pi.
Tương tự, để biểu diễn diện tích hình tròn, chúng ta sử dụng công thức:
S = πr²
Trong đó, S là diện tích, r là bán kính và π là hằng số pi.
Để biểu diễn một hàm số, chúng ta sử dụng biểu thức chứa biến số và hằng số, ví dụ như f(x) = ax² + bx + c. Trong đó, a, b và c là các hằng số, x là biến số và f(x) là giá trị của hàm số tại giá trị x.
Khi biểu diễn các đại lượng bằng biểu thức chứa ẩn, chúng ta có thể sử dụng các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia, mũ, logarit, căn bậc hai, căn bậc ba, v.v. để biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn và đại lượng.
Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1. Lập phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của phương trình rồi kết luận.
Ví dụ:
Bài toán: Hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, diện tích của hình chữ nhật là 72 cm². Tính chu vi của hình chữ nhật đó.
Giải:
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (đơn vị là cm).
Theo đề bài, chiều dài của hình chữ nhật là gấp đôi chiều rộng, nên chiều dài của hình chữ nhật là 2x (đơn vị là cm).
Diện tích của hình chữ nhật được tính bằng công thức: S = chiều dài x chiều rộng.
Áp dụng giá trị chiều dài và chiều rộng đã xác định được từ đề bài, ta có:
S = 2x . x = 2x²
Theo đề bài, diện tích của hình chữ nhật là 72 cm², nên ta có phương trình:
2x² = 72
Giải phương trình trên ta được:
x² = 36
x = 6 (vì x là độ dài nên chỉ có giá trị dương)
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là x = 6 cm và chiều dài của hình chữ nhật là 2x = 12 cm.
Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức: C = (chiều dài + chiều rộng) x 2.
Áp dụng giá trị chiều dài và chiều rộng đã tính được, ta có:
C = (6 + 12) x 2 = 36 (đơn vị là cm)
Vậy chu vi của hình chữ nhật là 36 cm.
Bài tập
Bài 1: Trong lớp học, số lượng nam sinh gấp đôi số lượng nữ sinh. Nếu thêm vào lớp 10 học sinh nữ và 5 học sinh nam thì số lượng học sinh nam và nữ sẽ bằng nhau. Hỏi trong lớp học ban đầu có bao nhiêu học sinh nam và nữ?
Giải quyết bài toán bằng phương trình:
Gọi x là số lượng học sinh nữ ban đầu. Vậy số lượng học sinh nam ban đầu là 2x.
Sau khi thêm vào lớp 10, số lượng học sinh nữ là x + 10 và số lượng học sinh nam là 2x + 5.
Theo đề bài, số lượng học sinh nam và nữ sau khi thêm bằng nhau, ta có phương trình:
x + 10 = 2x + 5
Giải phương trình:
x + 10 = 2x + 5
<=> 3x = 15
<=> x = 5
Vậy số lượng học sinh nữ ban đầu là 5 và số lượng học sinh nam ban đầu là 2x = 2 × 5 = 10.
Đáp án: Trong lớp học ban đầu có 10 học sinh nam và 5 học sinh nữ.
Bài 2: Chiều dài của hình chữ nhật gấp đôi chiều rộng. Nếu ta giảm đi 2 đơn vị chiều dài và tăng lên 3 đơn vị chiều rộng, ta sẽ được một hình vuông có diện tích là 36 cm2. Hãy tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
Giải quyết bài toán bằng phương trình:
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x. Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 2x (vì theo đề bài, chiều dài gấp đôi chiều rộng).
Sau khi thay đổi kích thước, ta có chiều rộng mới là x + 3 và chiều dài mới là 2x - 2.
Vì diện tích của hình vuông mới là 36 cm2, ta có phương trình:
(x + 3)² = 36
Giải phương trình ta có x = 3 hoặc x = -9.
Do chiều rộng không thể âm, vậy x = 3. Khi đó chiều dài là 2x = 6.
Vậy diện tích của hình chữ nhật ban đầu là S = chiều dài × chiều rộng = 6 × 3 = 18 cm2.
Đáp án: Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là 18 cm2.
Bài 3: Hải có 2 con gà và 3 con vịt. Tổng số chân của chúng là bao nhiêu?
Để giải bài toán này, ta có thể lập phương trình bằng cách sử dụng số lượng gà và vịt cùng với số chân của mỗi con.
Gọi số con gà là x, số con vịt là y:
Số chân của tất cả các con vật có thể được biểu diễn bằng công thức:
Tổng số chân = (số con gà x số chân của mỗi con gà) + (số con vịt x số chân của mỗi con vịt)
Tổng số chân = (2x) + (3y)
Số chân của mỗi con gà là 2 và số chân của mỗi con vịt là 2. Vậy, tổng số chân của các con vật là:
2x + 3y = 2 . 2 + 3 . 2 = 4 + 6 = 10 (chân)
Đáp số: 10 chân.