Trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt từ lớp 8 trở đi, học sinh sẽ tiếp cận với nhiều bài toán đòi hỏi kỹ năng phân tích và lập luận logic. Một trong những phương pháp hiệu quả nhất là giải toán bằng cách lập phương trình. Phương pháp này không chỉ rèn luyện tư duy toán học mà còn rất thiết thực trong đời sống hằng ngày, cùng học tập ngay nhé!
Giải toán bằng cách lập phương trình là gì?
Giải toán bằng cách lập phương trình là một phương pháp biến một bài toán có lời văn thành một bài toán đại số bằng cách gọi ẩn số, thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng. Rồi từ đó lập phương trình và giải phương trình để tìm ra giá trị của ẩn. Phương pháp này thường được sử dụng để giải các bài toán chuyển động, năng suất, hình học, toán về số, hoặc các bài toán thực tế.
Nói một cách dễ hiểu hơn, cách này sẽ dịch ngôn ngữ đời thường sang toán học để giải mã. Đồng thời còn giúp học sinh tăng khả năng phân tích và lập luận logic, giải quyết các bài toán thực tế nhanh chóng. Bên cạnh đó là nền tảng cho các dạng toán nâng cao như hệ phương trình, bất phương trình, hàm số,…
Các bước giải toán bằng cách lập phương trình
Phương trình có rất nhiều mức độ khác nhau từ cơ bản đến phức tạp tùy theo sự phức tạp của đề bài. Để giải toán bằng cách lập phương trình, bạn có thể thực hiện theo các bước hướng dẫn như sau:
- Chọn ẩn số: gọi ẩn là đại lượng chưa biết trong bài toán hay còn gọi đáp án cần giải mã.
- Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn: dựa vào các mối quan hệ trong bài, biểu diễn các đại lượng còn lại qua ẩn số.
- Lập phương trình: dựa vào điều kiện bài toán để tạo phương trình liên hệ giữa các đại lượng với nhau.
- Giải phương trình: áp dụng kiến thức giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…
- Kiểm tra điều kiện và kết luận: so sánh với điều kiện thực tế để loại nghiệm không phù hợp nếu có, sau đó kết luận bài toán.
Một số dạng giải toán bằng cách lập phương trình
Hiện có nhiều dạng toán áp dụng cách lập phương trình khác nhau từ dễ đến khó, bạn có thể làm quen song song với các bài tập cụ thể. Chẳng hạn như:
Bài toán giải phương trình về tuổi
Cho đề bài: Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Sau 5 năm nữa, tuổi mẹ sẽ gấp đôi tuổi con. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi? Các bước giải cụ thể như sau:
- Gọi ẩn và đặt điều kiện: gọi tuổi hiện tại của con là: x (x > 0) ⇒ Tuổi hiện tại của mẹ là: 3x
- Lập phương trình:
Sau 5 năm, tuổi con là :\[ x+5 \]
Sau 5 năm, tuổi mẹ: \[3x+5 \]
Vậy theo đề bài: \[3x+5=2(x+5)\]
- Giải phương trình:
\[3x+5=2(x+5)\]
=> \[3x+5=2x+10 \]
=> \[3x-2x=10-5 \]
=> \[x=5 \]
- Vậy kết luận: tuổi con hiện nay là 5 tuổi, tuổi mẹ hiện nay: \[ 3\time 5=15\] tuổi
Bài toán giải phương trình chuyển động
Cho đề bài: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h. Một xe máy đi từ B đến A cùng lúc, với vận tốc 40 km/h. Hai xe gặp nhau sau 2 giờ. Tính quãng đường AB.
- Gọi ẩn: Gọi quãng đường AB là: x (km)
- Lập phương trình:
Trong 2 giờ, ô tô đi được: \[60\time 2=120 \] (km)
Trong 2 giờ, xe máy đi được: \[40\time 2=80 \] (km)
Vì 2 xe đi ngược chiều và gặp nhau nên tổng quãng đường là:
\[120+80=x \] => \[x=200\] (km)
- Kết luận quãng đường AB dài 200 km
Bài toán năng suất công việc
Cho đề bài: Hai người cùng làm một công việc thì hoàn thành trong 6 giờ. Nếu người thứ nhất làm một mình thì mất 10 giờ. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình thì mất bao lâu?
- Gọi ẩn: Gọi thời gian người thứ hai làm một mình là: x (giờ), điều kiện x>0
⇒ Một giờ, người thứ hai làm được: \[\frac{1}{x}\]
Người thứ nhất làm được: \[\frac{1}{10}\]
Cả hai làm được: \[\frac{1}{6}\]
- Lập phương trình:
Theo để bài,\[\frac{1}{10}+\frac{1}{x}=\frac{1}{6}\]
- Giải phương trình:
Trước hết, ta cần quy đồng mẫu của phương trình để thuận tiện tính toán, tìm mẫu chung là 30x. Sau khi quy đồng ta có:
\[(3x+30)/30x=\frac{1}{6}\]
⇒ \[6(3x+30)=30x \]
⇒\[ 18x+180=30x \]
⇒ \[12x=180 \]
⇒ \[x=15 \]
- Kết luận người thứ hai làm một mình sẽ mất 15 giờ.
Bài toán về diện tích
Cho đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 60m. Nếu tăng chiều dài thêm 5m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 64m². Tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu.
- Gọi chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m)
- Ta có hệ phương trình:
\[x+y=30 \] và \[(x+5)(y 2)\]
- Giải phương trình:
Thế \[y=30-x\] vào phương trình thứ hai, giải ra ta được: x = 20m, y = 10m
Bài tập tự giải
Bài tập luôn là yếu tố quan trọng để bạn có thể dễ dàng ghi nhớ công thức và phản xạ tốt với các dạng bài.
Đề bài tập tự giải
- Tổng của hai số là 60. Số thứ nhất gấp đôi số thứ hai. Tìm hai số đó.
- Một người mua 3 quyển vở và 2 cây bút hết 46.000 đồng. Biết mỗi quyển vở 8.000 đồng. Hỏi mỗi cây bút giá bao nhiêu?
- Một người đi từ A đến B với vận tốc 5 km/h, cùng lúc một người khác đi xe đạp từ B về A với vận tốc 15 km/h. Họ gặp nhau sau 1 giờ. Tính quãng đường AB.
- Một người làm một công việc trong 6 giờ. Một người khác làm công việc đó trong 8 giờ. Nếu cùng làm, họ hoàn thành công việc trong bao lâu?
- Số học sinh lớp 7A nhiều hơn lớp 7B là 6 bạn. Biết tổng số học sinh hai lớp là 86. Tìm số học sinh mỗi lớp.
- Một người dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Nhưng do khởi hành muộn 30 phút, người đó phải đi với vận tốc 60 km/h để đến B đúng giờ. Tính quãng đường AB.
- Một người đi từ A đến B mất 2 giờ, rồi nghỉ 30 phút ở B, sau đó quay về A với vận tốc giảm 10 km/h nên mất 2.5 giờ. Tính vận tốc đi từ A đến B.
- Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là 105. Tìm ba số đó.
- Một bể chứa nước có hai vòi. Nếu mở một mình vòi A thì đầy bể trong 6 giờ, còn một mình vòi B thì đầy trong 8 giờ. Nếu mở cả hai vòi thì sau bao lâu bể đầy? Nếu sau 1 giờ thì khóa vòi A, còn B tiếp tục chảy, thì cần thêm bao lâu nữa để đầy bể?
- Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m². Nếu tăng chiều dài thêm 5m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích không đổi. Tính kích thước ban đầu của mảnh đất.
Hướng dẫn giải tóm tắt
- Gọi số thứ hai là xx, số thứ nhất là 2x → \[x+2x=60 \]
- Tiền mua 3 vở: 3\times 8000=24000 → 2x+24000=46000
- Gọi quãng đường AB là x → \frac{x}{5} + \frac{x}{15}=1
- Tổng năng suất: \frac{1}{6} + \frac{1}{8}, gọi thời gian làm chung là x → x(\frac{1}{6} + \frac{1}{8}) = 1
- Gọi chiều rộng là x, chiều dài là x+4 → 2(x+x+4)=48
- Gọi quãng đường là x (km).
Thời gian đi với 40 km/h: \frac{x}{40}
Thời gian đi với 60 km/h: \frac{x}{60}
Lập phương trình: \frac{x}{40} – \frac{x}{60} = \frac{1}{2} - Gọi vận tốc đi là x km/h, quãng đường AB là 2x
Vận tốc về: x−10
Thời gian về: \frac{2x}{x – 10} = 2.5
Lập phương trình giải. - Gọi ba số là x−1, x và x+1 → Tổng: 3x=105
⇒ x=35. Vậy ba số liên tiếp nhau là 34, 35, 36. - Gọi thời gian chảy cả hai vòi là xxx (giờ), tổng năng suất: 16+18=724\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}61+81=247
- Nếu mở 1 giờ: đã chảy được 724\frac{7}{24}247 bể
- Phần còn lại: 1−724=17241 – \frac{7}{24} = \frac{17}{24}1−247=2417
- Vòi B chảy tiếp: 1724:18=173\frac{17}{24} : \frac{1}{8} = \frac{17}{3}2417:81=317 giờ
- Gọi chiều dài là xxx, chiều rộng là yyy
- xy=240xy = 240xy=240
- (x+5)(y−4)=240(x + 5)(y – 4) = 240(x+5)(y−4)=240
- Giải hệ hai phương trình để tìm x,yx, yx,y
Lời kết
Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình giúp học sinh xử lý hiệu quả các bài toán có lời văn thuộc nhiều chủ đề. Đây cũng là phương pháp áp dụng giải bài trong các kỳ thi học kỳ hay thi chuyển cấp. Hãy luyện tập thường xuyên để biến kỹ năng lập phương trình thành công cụ đắc lực bạn nhé!