Lý thuyết cơ bản về Hình Tam Giác

Hình học là một trong những kiến thức cực kỳ quan trọng trong toán học, trong đó hình tam giác là một hình rất phổ biết và được ứng dụng nhiều trong các bài toán. Trong bài viết này, hãy cùng OLIM tìm hiểu về định nghĩa hình tam giác, một số đường đặc biệt, các dạng tam giác phổ biến và công thức tính diện tích hình tam giác nhé!

1. Hình tam giác là gì?

• Tam giác hay hình tam giác là một loại hình cơ bản trong hình học: hình hai chiều phẳng có ba đỉnh là ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh là ba đoạn thẳng nối các đỉnh với nhau. 
• Tam giác là đa giác có số cạnh ít nhất (3 cạnh). Tam giác luôn luôn là một đa giác đơn và luôn là một đa giác lồi (các góc trong luôn nhỏ hơn 180°).
• Ký hiệu của hình tam giác: Δ

2. Một số đường đặc biệt trong tam giác

• Đường cao: Là đường thẳng từ đỉnh tam giác hạ vuông góc xuống cạnh đối diện. Thường được kí hiệu là h.
• Đường trung tuyến: Là đường thẳng nối một đỉnh tam giác với trung điểm của cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
• Đường phân giác: Là đường thẳng chia góc đó thành 2 góc có độ lớn bằng nhau. 
• Đường trung trực: Đường trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.
• Đường trung bình: Đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm của 2 cạnh của tam giác.

3. Một số loại tam giác thường gặp

Trong hình học, xét theo tính chất về góc và cạnh của tam giác, có thể phân tam giác thành một số loại như sau:

Xét theo độ dài các cạnh trong tam giác:

• Tam giác thường là tam giác cơ bản nhất, có độ dài các cạnh khác nhau, số đo góc trong cũng khác nhau. 
• Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy. Tính chất của tam giác cân là hai góc ở đáy thì bằng nhau.
• Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân có cả ba cạnh bằng nhau. Tính chất của tam giác đều là có 3 góc bằng nhau và bằng 60°.

Xét theo số đo các góc trong tam giác:

• Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90° (là góc vuông). Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền, là cạnh lớn nhất trong tam giác đó. Hai cạnh còn lại được gọi là cạnh góc vuông của tam giác vuông.
• Tam giác tù là tam giác có một góc trong lớn hơn lớn hơn 90° (một góc tù) hay có một góc ngoài bé hơn 90° (một góc nhọn).
• Tam giác nhọn là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn 90° (góc nhọn) hay có tất cả góc ngoài lớn hơn 90° (góc tù).
• Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân. Trong một tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng nhau và mỗi góc nhọn bằng 45°.

4. Một số tính chất của hình tam giác

Dưới đây là một số tính chất của hình tam giác:

• Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°.
• Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trực tâm của tam giác.
• Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
• Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
• Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
• Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỷ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng đó.

5. Công thức tính diện tích hình tam giác

Diện tích tam giác thường

Để tính được diện tích tam giác, ta có công thức chung như sau:

 \(S=\frac{a\times h}{2}\)

Trong đó:

•     S là diện tích hình tam giác
•     a là độ dài cạnh đáy
•     h là chiều cao

Chú ý:

Dựa theo từng loại tam giác mà ta có thể áp dụng công thức tích diện tích tam theo cách khác nhau.

Diện tích tam giác vuông

Vì tam giác vuông là tam giác có hai cạnh góc vuông nên chiều cao của tam giác sẽ ứng với một cạnh góc vuông và chiều dài đáy ứng với cạnh góc vuông còn lại.

Công thức tính diện tích tam giác vuông tương tự với cách tính diện tích tam giác thường, đó là bằng 1/2 tích hai cạnh góc vuông:

 \(S=\frac{a\times b}{2}\)

Diện tích tam giác cân

Cách tính diện tích tam giác cân cũng tương tự cách tính tam giác thường, chỉ cần biết chiều cao tam giác và cạnh đáy.

Diện tích tam giác vuông cân

Vì tam giác vuông cân có một góc vuông, đồng thời có chiều cao và cạnh đáy bằng nhau, nên diện tích tam giác vuông cân bằng 1/2 tích bình phương độ dài cạnh đáy hay cạnh góc vuông.

Công thức:

 \(S=\frac{1}{2} \times \ a^{2}\)

6. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:

Tam giác ABC có cạnh đáy BC = 7 cm, đường cao AH = 3 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Tóm tắt: 

Cạnh đáy BC = 7 cm, a = 7 cm

Đường cao AH = 3 cm, h = 3 cm

Vậy, diện tích tam giác ABC = ?

Bài giải:

Diện tích của tam giác ABC là:
\(S_{Δ ABC} =\frac{BC\times AH}{2} =\frac{7\times 3}{2} =\frac{21}{2} =10.5\ cm^{2}\)

Đáp án: 15.5 \(cm^{2}\).

Ví dụ 2:

Tính diện tích hình tam giác vuông ABC, biết chiều cao là 10 m và độ dài cạnh đáy là  15 m.

Tóm tắt: 

Đường cao AB = 10 m, b = 10 m

Cạnh đáy BC = 15 m, a = 15 m

Vậy, diện tích tam giác vuông ABC = ?

Bài giải:

Diện tích của tam giác vuông ABC là:
\(S_{Δ ABC} =\frac{AB\times BC}{2} =\frac{10\times 15}{2} =\frac{150}{2} =75\ m^{2}\)

Đáp án: 75 \(m^{2}\).

Ví dụ 3:

Tính diện tích hình tam giác cân ABC, biết chiều cao là 5.5 cm và độ dài cạnh đáy là 8 cm.

Tóm tắt: 

Đường cao AH = 5.5 cm, h = 5.5 cm

Cạnh đáy BC = 8 cm, a = 8 cm

Vậy, diện tích tam giác cân ABC = ?

Bài giải:

Diện tích của tam giác cân ABC là:
\(S_{ΔABC} =\frac{AH\times BC}{2} =\frac{5.5\times 8}{2} =\frac{44}{2} =22\ cm^{2}\)

Đáp án: 22 \(cm^{2}\).

Ví dụ 4:

Tính diện tích hình tam giác vuông cân ABC, biết độ dài hai cạnh góc vuông là 7 cm.

Tóm tắt: 

AB = BC = 7 cm

Vậy, diện tích tam giác vuông cân ABC = ?

Bài giải:
Diện tích của tam giác vuông cân ABC là:
\(S_{Δ ABC} =\frac{1}{2} \times 7^{2} =\frac{1}{2} \times 49=\frac{49}{2} =24.5\ cm^{2}\)

Đáp án: 24.5 \(cm^{2}\).