Phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là một trong những loại phương trình quan trọng nhất trong toán học. Tuy nhiên, đôi khi ta sẽ gặp phải các phương trình khác, có thể là bậc nhất, trùng phương hay chứa ẩn số trong mẫu thức. Để giải quyết các phương trình này, chúng ta cần biến đổi chúng về dạng phương trình bậc hai, rồi tiếp tục giải như bình thường.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách biến đổi các phương trình khác về phương trình bậc hai, từ đó giải quyết chúng một cách dễ dàng và chính xác. Chúng ta sẽ đi sâu vào từng loại phương trình, cùng với các ví dụ minh họa để đảm bảo rõ ràng và dễ hiểu. Hãy cùng bắt đầu khám phá những phương trình thú vị này để nâng cao kiến thức toán học của mình!

Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

ax⁴ + bx² + c = 0

a, b, c là các hằng số và a khác 0.

Để giải phương trình trùng phương, ta có thể thực hiện các bước sau đây:

1. Đặt y = x², phương trình trở thành phương trình bậc hai ax⁴ + bx² + c = ay² + by + c = 0.

2. Giải phương trình bậc hai theo y bằng cách sử dụng công thức giải phương trình bậc hai hoặc hoàn thành khối vuông.

3. Tìm x bằng cách giải phương trình x² = y.

Ví dụ, giả sử ta có phương trình trùng phương 2x⁴ - 5x² + 2 = 0. Áp dụng các bước trên, ta thực hiện như sau:

1. Đặt y = x², phương trình trở thành 2y² - 5y + 2 = 0.

2. Giải phương trình bậc hai 2y² - 5y + 2 = 0 bằng cách sử dụng công thức giải phương trình bậc hai hoặc hoàn thành khối vuông, ta có:

y1 = 1/2

y2 = 2

3. Tìm x bằng cách giải phương trình x² = y. Ta có:

x1 = \( \sqrt{y1}\)

hoặc x1 = -\(\sqrt(y1)\) => x1 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

hoặc x1 = -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) x2 =\( \sqrt{y2}\)

hoặc x2 = -\( \sqrt{y2}\) => x2 = \( \sqrt{2}\)

hoặc x2 = -\( \sqrt{2}\)

Vậy phương trình trùng phương 2x⁴ - 5x² + 2 = 0 có bốn nghiệm là x1 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), x2 = -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\), x3 = \( \sqrt{2}\) và x4 = -\( \sqrt{2}\).

Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức là loại phương trình mà ẩn số xuất hiện ở mẫu của một biểu thức phức tạp. Phương trình này thường được biểu diễn dưới dạng:

f(x)/g(x) = h(x)

Trong đó f(x), g(x) và h(x) là các hàm số phức tạp của biến số x.

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có thể thực hiện các bước sau đây:

1. Điều kiện x để g(x) khác 0. Nếu g(x) = 0 thì phương trình sẽ không có nghiệm hoặc nghiệm không hợp lệ.

2. Nhân cả hai vế của phương trình với g(x), ta được phương trình đơn giản hơn: f(x) = g(x) × h(x).

1. Giải phương trình f(x) = g(x) × h(x) bằng cách sử dụng các phương pháp giải phương trình tương ứng với loại phương trình đó. Chẳng hạn, nếu f(x), g(x), h(x) đều là các hàm số bậc nhất thì ta có thể giải phương trình theo phương pháp giải phương trình bậc nhất.

2. Kiểm tra nghiệm của phương trình có phải là nghiệm của phương trình ban đầu hay không bằng cách thay giá trị của x vào phương trình ban đầu và kiểm tra xem phương trình có đúng hay không.

Ví dụ, giải phương trình sau đây:

(2x - 1)/(x + 3) = 4 - x

1. Điều kiện x để x + 3 khác 0 là x khác -3.

2. Nhân cả hai vế của phương trình với (x + 3), ta được phương trình đơn giản hơn: 2x - 1 = (4 - x)(x + 3).

3. Giải phương trình 2x - 1 = (4 - x)(x + 3) bằng cách mở ngoặc, rút gọn và đưa về dạng phương trình bậc hai. Ta có:

x² - 5x - 14 = 0

Giải phương trình bậc hai trên, ta được hai nghiệm:

x1 = -2

x2 = 7

4. Kiểm tra nghiệm x1 = -2 và x2 = 7 bằng cách thay vào phương trình ban đầu:

Với x1 = -2:

(2(-2) - 1)/(-2 + 3) = 4 - (-2)

-5 = 6 (sai)

Với x2 = 7:

(2(7) - 1)/(7 + 3) = 4 - 7

13/10 = -3 (Sai)

Vậy x1 và x2 không thoả mãn phương trình.

Phương trình tích

Phương trình tích là loại phương trình có dạng:

f(x) × g(x) = 0

Trong đó f(x) và g(x) là hai hàm số phức tạp của biến số x.

Để giải phương trình tích, ta cần giải hai phương trình f(x) = 0 và g(x) = 0. Nếu ta tìm được các nghiệm của hai phương trình này, ta có thể kết hợp chúng để tìm được tất cả các nghiệm của phương trình tích.

Ví dụ, giải phương trình tích sau đây:

(x + 3)(2x - 1) = 0

Để giải phương trình này, ta cần giải hai phương trình:

x + 3 = 0 hoặc 2x - 1 = 0

Giải phương trình đầu tiên, ta có:

x + 3 = 0 => x = -3

Giải phương trình thứ hai, ta có:

2x - 1 = 0 => x = 1/2

Vậy, phương trình tích (x + 3)(2x - 1) = 0 có hai nghiệm là x = -3 và x = 1/2.