So sánh phân số. Hỗn số dương

Trong toán học, phân số và hỗn số dương là hai khái niệm cơ bản về số hữu tỉ. Phân số là một cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng tử và mẫu số, trong khi đó hỗn số dương là một cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng tổng của một số nguyên dương và một phân số dương. Trong bài viết này, chúng ta sẽ so sánh sự khác biệt giữa phân số và hỗn số dương và làm rõ cách sử dụng chúng trong các bài toán.

So sánh phân số

Quy tắc so sánh phân số

Để so sánh hai phân số, ta có thể chuyển chúng về cùng mẫu số rồi so sánh tử số của hai phân số đó. Quy tắc so sánh phân số như sau:

a) Nếu cả hai phân số đều có cùng mẫu số, ta so sánh tử số để xác định phân số nào lớn hơn.

• Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.
• Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
• Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

Ví dụ:

So sánh phân số \(\mathrm{\frac{2}{5}}\) và \(\mathrm{\frac{4}{5}}\)

Vì cùng mẫu số là 5 nên ta chỉ cần so sánh tử số. \(\mathrm{\frac{4}{5}}\) > \(\mathrm{\frac{2}{5}}\), nên phân số \(\mathrm{\frac{4}{5}}\) lớn hơn phân số \(\mathrm{\frac{2}{5}}\)

b) Nếu hai phân số có khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi so sánh tử số.

So sánh phân số \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) và \(\mathrm{\frac{3}{4}}\)

Để chuyển chúng về cùng mẫu số, ta nhân mẫu số của \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) và \(\mathrm{\frac{3}{4}}\) cho nhau, ta được \(\mathrm{\frac{2}{4}}\) và \(\mathrm{\frac{3}{4}}\).

Vì cùng mẫu số là 4 nên ta so sánh tử số để xác định phân số nào lớn hơn. \(\mathrm{\frac{3}{4}}\) > \(\mathrm{\frac{2}{4}}\), nên phân số \(\mathrm{\frac{3}{4}}\) lớn hơn phân số \(\mathrm{\frac{1}{2}}\).

c) Hai phân số có cùng tử số

• Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
• Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
• Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

Ví dụ:

So sánh phân số \(\mathrm{\frac{4}{9}}\) và \(\mathrm{\frac{4}{7}}\)

Ta so sánh mẫu của hai phân số:

Vì phân số \(\mathrm{\frac{4}{9}}\) có mẫu số lớn hơn mẫu số của phân số \(\mathrm{\frac{4}{7}}\) , 9 > 7, nên \(\mathrm{\frac{4}{7}}\) > \(\mathrm{\frac{4}{9}}\)

d) Chuyển phân số về dạng thập phân và so sánh giá trị của chúng.

So sánh phân số \(\mathrm{\frac{2}{5}}\) và \(\mathrm{\frac{1}{3}}\)

Không thể chuyển chúng về cùng mẫu số, ta chuyển chúng về dạng thập phân:

\(\mathrm{\frac{2}{5}}\) = 0.4 và \(\mathrm{\frac{1}{3}}\) = 0.3333... Ta thấy được rằng 0.4 > 0.3333..., nên phân số \(\mathrm{\frac{2}{5}}\) lớn hơn phân số \(\mathrm{\frac{1}{3}}\).

Hỗn số dương

Hỗn số dương là một dạng biểu diễn số hữu tỉ có dạng tổng của một số nguyên dương và một phân số dương. Hỗn số dương thường được sử dụng để biểu diễn các số lượng có tính chất "phần nguyên" và "phần thập phân" cùng một lúc.

Ví dụ:

Hỗn số \(3\mathrm{\frac{1}{2}}\) gồm phần nguyên là 3, phần phân số là \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) được đọc là ba một phần hai.

Chuyển đổi từ hỗn số sang phân số

Bước 1: Giữ nguyên phần mẫu số.

Bước 2: Phần tử số mới sẽ bằng phần mẫu số nhân với phần nguyên và cộng với phần tử số ban đầu.

Ví dụ:

Đổi hỗn số \(4\mathrm{\frac{5}{3}}\) thành phân số:

\(\mathrm{4\frac{5}{3} \ =\ \frac{4.3\ +\ 5}{3} \ =\frac{17}{3}}\)

Đổi phân số sang hỗn số (Điều kiện: Tử số phải lớn hơn mẫu số)

Bước 1: Giữ nguyên phần mẫu số và mẫu số này sẽ là mẫu số trong phần hỗn số mới.

Bước 2: Lấy phần tử số chia cho mẫu số, phần thương sẽ là phần nguyên trong hỗn số mới và phần dư là tử số mới của hỗn số.

Ví dụ:

Đổi phân số \(\mathrm{\frac{19}{6}}\) thành hỗn số

Ta lấy tử số 19 chia cho mẫu số 6 được 3 dư 1, do đó:

\(\mathrm{\frac{19}{6} \ =\ 3\frac{1}{6}}\)

Bài tập vận dụng

Bài 1: Quy đồng mẫu số các phân số rồi so sánh

a) \(\mathrm{\frac{2}{3}}\), \(\mathrm{\frac{5}{4}}\), \(\mathrm{\frac{1}{6}}\)

b) \(\mathrm{\frac{7}{2}}\) , \(\mathrm{\frac{21}{8}}\), \(\mathrm{\frac{7}{6}}\)

Bài 2: Đổi các hỗn số sau ra phân số

a) \(2\mathrm{\frac{11}{8}}\)

b) \(5\mathrm{\frac{17}{10}}\) 

c) \(1\mathrm{\frac{8}{25}}\)

Đáp án

Bài 1: Quy đồng mẫu số các phân số rồi so sánh

a) Quy đồng mẫu số:

Mẫu số chung là: 12

\(\mathrm{\frac{2}{3} \ =\ \frac{2\times 4}{3\times 4} \ =\frac{8}{12}}\)

\(\mathrm{\frac{5}{4} \ =\ \frac{5\times 3}{4\times 3} \ =\frac{15}{12}}\)

\(\mathrm{\frac{1}{6} \ =\ \frac{1\times 2}{6\times 2} \ =\frac{2}{12}}\)

So sánh tử số các phân số, ta có: 2 < 8 < 15, nên \(\mathrm{\frac{2}{12}}\) < \(\mathrm{\frac{8}{12}}\) < \(\mathrm{\frac{15}{12}}\)

b) Quy đồng mẫu số

Mẫu số chung là :12

\(\mathrm{\frac{7}{2} \ =\ \frac{7\times 12}{2\times 12} \ =\frac{84}{24}}\)

\(\mathrm{\frac{21}{8} \ =\ \frac{21\times 3}{8\times 3} \ =\frac{63}{24}}\)

\(\mathrm{\frac{7}{6} \ =\ \frac{7\times 4}{6\times 4} \ =\frac{28}{24}}\)

So sánh tử số các phân số, ta có: 28 < 63 < 84, nên \(\mathrm{\frac{28}{24}}\) < \(\mathrm{\frac{63}{24}}\) < \(\mathrm{\frac{84}{24}}\)

Bài 2: Đổi các hỗn số sau ra phân số

a)

\(\mathrm{2\frac{11}{8} \ =\ \frac{2.8\ +\ 11}{8} \ =\frac{27}{8}}\)

b)

\(\mathrm{5\frac{17}{10} \ =\ \frac{5.10\ +\ 17}{10} \ =\frac{67}{10}}\)

c)

\(\mathrm{1\frac{8}{25} \ =\ \frac{1.25\ +\ 8}{25} \ =\frac{33}{25}}\)