Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là một khái niệm quan trọng trong hình học và được áp dụng rộng rãi trong các bài toán toán học. Một tứ giác nội tiếp là một tứ giác có thể đặt trong một đường tròn sao cho các đường chéo của tứ giác đó cắt nhau tại một điểm duy nhất trên đường tròn. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của tứ giác nội tiếp là rất cần thiết trong toán học và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm của tứ giác nội tiếp, cũng như tính chất và cách giải các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp.

1. Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là một tứ giác mà cả bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn.
Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên.
Tâm và bán kính đường tròn lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Tứ giác ABCD trong hình trên là tứ giác nội tiếp đường tròn (O)

Những tứ giác dưới đây k phải tứ giác nội tiếp

2. Tính chất tứ giác nội tiếp

Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh.
Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền 2 đỉnh kia.
Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn.

3. Định lí

Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180º.

Chứng minh

Theo tính chất góc nội tiếp chắn cung ta có
\(\widehat{BAD} =\frac{1}{2} sđ\ \widehat{BAD}\)
\(\widehat{BCD} =\frac{1}{2} sđ\ \widehat{BAD}\)
⇒\(\widehat{BAD} +\widehat{BCD} =\frac{1}{2}( sđ\ \widehat{BCD} +sđ\ \widehat{BCD}) =\frac{1}{2} .360^{o} =180^{o}\)
Vậy \(\widehat{BAD} +\widehat{BCD} =180^{o}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat{ABC} +\widehat{ADC} =180^{o}\)

Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180º thì tức giác đó nội tiếp được đường tròn.

Chứng minh

Giả sử tứ giác ABCD có \(\widehat B\;+\;\widehat D\;=\;180^\circ\)

Vẽ đường tròn tâm O đi qua 3 điểm A,B,C (ta luôn vẽ được đường tròn này vì 3 điểm A,B,C không thẳng hàng)
Hai điểm A và C chia đường tròn (O) thành 2 cung \(\overset\frown{ABC},\;\overset\frown{AmC}\), trong đó cung AmC là cung chứa góc 180°. B dựng trên đoạn thẳng AC
Mặt khác: Từ giả thiết suy ra \(\widehat D=180^\circ\;-\;\widehat B\)
⇒ D nằm trên cung AmC
Vậy 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc đường tròn (O) nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

4. Dấu hiệu nhận biết

Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180º.

Ví dụ: Góc A + góc C =180º nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên cùng một đường tròn.

Ví dụ: OA = OB = OC = OD nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm O.

Tứ giác hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ: Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.

Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có góc ngoài D1 = góc B nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có hai góc A1 và góc B1 cùng nhìn cạnh DC và góc A1 = góc B1 nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.

5. Các dạng toán về tứ giác nội tiếp

Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta có thể sử dụng một trong những cách sau:
Cách 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180º.
Cách 2: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm.
Cách 3: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Cách 4: Chúng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc.

Dạng 2: Chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng, hệ thức giữa các cạnh,…

Phương pháp: Sử dụng định lí và những tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh

6. Bài tập

Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối ới AB. Từ điểm M trên Ã kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D#B)

a. Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn

b. Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp

Lời giải

Vì MA, MC là tiếp tuyến nên góc MAO = góc MCO = 90°
Tứ giác AMCO có
góc MAO + góc MCO = 180°
=> tứ giác AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO
Ta có: góc ABD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => góc ADM = 90 (1)
Lại có: OA = OC = R
MA = MC (tính chất tiếp tuyến)
=> OM là đường trung trực của AC
=> góc AEM = 90 (2)
Từ (1) và (2) => góc ADM = góc AEM =90
Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề nhau cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi.
Vậy tứ giác AMDE nội tiếp đường tròn đường kính MA.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC có \(\hat{A} >\hat{B} >\hat{C}\). Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm M và N. Gọi điểm P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Hãy chứng minh rằng:

a) Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.

b) Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp.

Lời giải

a) Vì đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh AB và cạnh AC lần lượt tại các điểm M và N nên AM = AN
=> Tam giác AMN cân tại A.
Ta có: góc CNQ = góc ANM ( hai góc đối đỉnh)
= (180° – góc A)/2 = ( góc B + góc C)/2
=góc IBC + góc ICB = góc CIQ
Trong tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp là điểm I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn. => Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.

b) Vì tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp => góc INC = góc IQC
Vì AC tiếp xúc với đường tròn tâm I tại điểm N => IN ⊥ AC hay góc INC = 90º => góc IQC = 90° (1)
Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB là tứ giác nội tiếp => góc IMB = góc IPB = 90° (2)
Từ (1) và (2) => góc BPC = góc BQC = 90o => Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính BC.