Luỹ thừa với số mũ nguyên

+) Luỹ thừa với số mũ nguyên dương: Cho \[a \in \mathbb{R},n \in {\mathbb{N}^*}\]. Khi đó:

\[{a^n} = a \cdot a \ldots a\] (\[n\] thừa số \[a\])

+) Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ \[0\]: Cho \[a \ne 0\]. Khi đó:

\[{a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}};{\text{ }}{a^0} = 1\]

Chú ý:

+) Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

+) \[{0^0}\] và \[{0^{ – n}}\] không có nghĩa.

Căn bậc n

Cho \[b \in \mathbb{R},n \in {\mathbb{N}^*}\left( {n \geqslant 2} \right)\]. Số \[a\] được gọi là căn bậc \[n\] của số \[b\] nếu \[{a^n} = b\]

+) Với \[n\] lẻ, \[b \in \mathbb{R}\]: Phương trình \[{x^n} = b\] có duy nhất một căn bậc \[n\] của \[b\], ký hiệu là \[\sqrt[n]{b}\]

+) Với \[n\] chẵn và:

• \[b < 0\]: Không tồn tại căn bậc \[n\] của \[b\]
• \[b = 0\]: Có một căn bậc \[n\] của \[b\] là \[\sqrt[n]{0} = 0\]
• \[b > 0\]: Có hai căn bậc \[n\] của \[b\], kí hiệu là \[\sqrt[n]{b}\] và \[ – \sqrt[n]{b}\]

Tính chất

Với \[a,b \geqslant 0;m,n \in {\mathbb{N}^*};p \in \mathbb{Z}\], ta có:

• \[\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]
• \[\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}},{\text{ }}b > 0\]
• \[\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p},{\text{ }}a > 0\]
• \[\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{a}\]
• \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\] khi \[n\] lẻ và \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\] khi \[n\] chẵn

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực \[a > 0\] và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m \in \mathbb{Z},n \in {\mathbb{N}^*}\]. Khi đó, luỹ thừa của \[a\] với số mũ \[r\] là số \[{a^r}\] xác định bởi:

\[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

+) Nếu \[\frac{m}{n} = \frac{{m’}}{{n’}}\] thì \[{a^{\frac{m}{n}}} = {a^{\frac{{m’}}{{n’}}}}\]. Do đó trong biểu thức \[{a^r}\], với \[r\] là một số hữu tỉ, ta thường viết \[r\] dưới dạng phân số tối giản có mẫu số dương.

+) \[{a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\left( {a > 0,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]

Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

+) Mọi số vô tỉ \[\alpha \], bao giờ cũng tồn tại một dãy số hữu tỉ \[\left( {{r_n}} \right)\] để \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n} = \alpha \]

+) Cho \[a\] là một số thực dương và \[\alpha \] là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ \[\left( {{r_n}} \right)\] mà \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n} = \alpha \]. Khi đó: \[{a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\]

Lưu ý:

+) \[{a^\alpha }\] với số mũ \[\alpha \] nguyên dương thì cơ số \[a\] có điều kiện \[a \in \mathbb{R}\]

+) \[{a^\alpha }\] với số mũ \[\alpha = 0\] hoặc \[\alpha \] nguyên âm thì cơ số \[a\] có điều kiện \[a \ne 0\]

+) \[{a^\alpha }\] với số mũ \[\alpha \] không nguyên thì cơ số \[a\] có điều kiện \[a > 0\]

Luỹ thừa với số mũ thực

Tính chất

Với mọi \[a,b\] là các số thực dương; \[\alpha ,\beta \] là các số thực tuỳ ý ta có:

• \[{a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\]
• \[\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha – \beta }}\]
• \[{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {\left( {{a^\beta }} \right)^\alpha } = {a^{\alpha \cdot \beta }}\]
• \[{\left( {a \cdot b} \right)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha }\]
• \[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\]
• \[\sqrt[\alpha ]{{a \cdot b}} = \sqrt[\alpha ]{a} \cdot \sqrt[\alpha ]{b}\]
• \[\sqrt[\alpha ]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[\alpha ]{a}}}{{\sqrt[\alpha ]{b}}}\]
• \[\sqrt[\alpha ]{{\sqrt[\beta ]{a}}} = \sqrt[{\alpha \cdot \beta }]{a}\]
• \[\sqrt[\alpha ]{{{a^\beta }}} = {\left( {\sqrt[\alpha ]{a}} \right)^\beta } = {a^{\frac{\beta }{\alpha }}}\]

So sánh hai luỹ thừa

So sánh cùng cơ số

+) Nếu cơ số \[a > 1\] thì \[\alpha > \beta \Leftrightarrow {a^\alpha } > {a^\beta }\]

+) Nếu cơ số \[0 < a < 1\] thì \[\alpha > \beta \Leftrightarrow {a^\alpha } < {a^\beta }\]

So sánh cùng số mũ

+) Nếu số mũ \[\alpha > 0\] thì \[a > b > 0 \Rightarrow {a^\alpha } > {b^\alpha }\]

+) Nếu số mũ \[\alpha < 0\] thì \[a > b > 0 \Rightarrow {a^\alpha } < {b^\alpha }\]

Sơ đồ hệ thống hoá luỹ thừa

Bài tập tự luyện

Dạng 1. Tính toán

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức \[{\left( {{5^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^{ – 3}} + {\left( {{{\left( {0,2} \right)}^{\frac{3}{5}}}} \right)^{ – 5}}\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {{5^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^{ – 3}} + {\left( {{{\left( {0,2} \right)}^{\frac{3}{5}}}} \right)^{ – 5}} = {5^2} + {\left( {0,2} \right)^{ – 3}} = {5^2} + {5^3} = 150\]

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức \[\sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[3]{{\frac{2}{5}}}}}}} \cdot \left( {\frac{2}{5}} \right)\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[3]{{\frac{2}{5}}}}}}} \cdot \left( {\frac{2}{5}} \right)\]\[ = \sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}}} \cdot \left( {\frac{2}{5}} \right)\]\[ = \sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\frac{4}{3}}}}}}} \cdot \left( {\frac{2}{5}} \right)\]\[ = \sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\frac{4}{{21}}}}}} \cdot \left( {\frac{2}{5}} \right)\]\[ = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{{25}}{{63}}}} \cdot \left( {\frac{2}{5}} \right) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{{88}}{{63}}}}\]

Câu 3. Cho \[a,b\] là 2 số thực khác \[0\]. Biết \[{\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {\left( {\sqrt[3]{{625}}} \right)^{3{a^2} – 10ab}}\]. Tính tỉ số \[\frac{a}{b}\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {\left( {\sqrt[3]{{625}}} \right)^{3{a^2} – 10ab}}\]

\[ \Leftrightarrow {5^{ – 3\left( {{a^2} + 4ab} \right)}} = {5^{\frac{4}{3}\left( {3{a^2} – 10ab} \right)}}\]

\[ \Leftrightarrow – 3{a^2} – 12ab = 4{a^2} – \frac{{40}}{3}ab\]

\[ \Leftrightarrow 7{a^2} – \frac{4}{3}ab = 0\]

\[ \Leftrightarrow 7a – \frac{4}{3}b = 0{\text{ }}\left( {do{\text{ }}a \ne 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{4}{{21}}\]

Vậy \[\frac{a}{b} = \frac{4}{{21}}\]

Câu 4. Tích \[\left( {2017} \right)!{\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1}{\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} \ldots {\left( {1 + \frac{1}{{2017}}} \right)^{2017}}\] được viết dưới dạng \[{a^b}\], khi đó \[\left( {a;b} \right)\] là bộ số nào?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left( {2017} \right)!{\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1}{\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} \ldots {\left( {1 + \frac{1}{{2017}}} \right)^{2017}}\]

\[ = \left( {2017} \right)!{\left( {\frac{2}{1}} \right)^1}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} \ldots {\left( {\frac{{2017}}{{2016}}} \right)^{2016}}{\left( {\frac{{2018}}{{2017}}} \right)^{2017}}\]

\[ = \left( {2017} \right)!\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \ldots \frac{1}{{2016}} \cdot \frac{{{{2018}^{2017}}}}{{2017}} = {2018^{2017}}\]

\[ \Rightarrow a = 2018;b = 2017\]

Vậy \[\left( {a;b} \right) = \left( {2018;2017} \right)\]

Câu 5. Cho biểu thức \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }}\]. Tính tổng sau:

\[S = \sqrt {2018} \left[ {f\left( { – 2017} \right) + f\left( { – 2016} \right) + \ldots + f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + \ldots + f\left( {2018} \right)} \right]\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[f\left( {1 – x} \right) = \frac{1}{{{{2018}^{1 – x}} + \sqrt {2018} }}\]\[ = \frac{{{{2018}^x}}}{{2018 + {{2018}^x}\sqrt {2018} }}\]\[ = \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right)\]\[ = \frac{1}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }} + \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}\]\[ = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}\]

Do \[1 – 2018 = – 2017\] nên \[f\left( { – 2017} \right) + f\left( {2018} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}\]

\[f\left( { – 2016} \right) + f\left( {2017} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }},\]

\[ \cdots \cdots \cdots \]

\[f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}.\]

\[ \Rightarrow f\left( { – 2017} \right) + f\left( { – 2016} \right) + \ldots + f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + \ldots + f\left( {2018} \right)\]

\[ = \frac{1}{{\sqrt {2018} }} + \frac{1}{{\sqrt {2018} }} + \ldots + \frac{1}{{\sqrt {2018} }}\] (\[{2018}\] thừa số)

\[ = 2018 \cdot \frac{1}{{\sqrt {2018} }} = \sqrt {2018} \]

Vậy \[S = 2018\]

Câu 6. Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực \[\left( {x;y;z} \right)\] thoả mãn đồng thời các điều kiện dưới đây

\[{2^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} \cdot {4^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}} \cdot {16^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128\] và \[{\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)^2} = 4 + {\left( {x{y^2} – {z^4}} \right)^2}\]

Hướng dẫn giải

+) \[{2^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} \cdot {4^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}} \cdot {16^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128\]

\[ \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {2^7}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}} = 7{\text{ }}\left( 1 \right)\]

+) \[{\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)^2} = 4 + {\left( {x{y^2} – {z^4}} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow x{y^2}{z^4} = 1\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{{{y^2}}} \cdot \sqrt[3]{{{z^4}}} = 1\] và \[x > 0{\text{ }}\left( 2 \right)\]

Đặt \[a = \sqrt[3]{x} > 0\] (theo \[\left( 2 \right)\]), \[b = \sqrt[3]{y}\], \[c = \sqrt[3]{z}\]\[ \Rightarrow a{b^2}{c^4} = 1\]

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[7 = {a^2} + 2{b^2} + 4{c^2} = {a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {c^2} + {c^2} \geqslant 7\sqrt[7]{{{a^2}{b^4}{c^8}}} = 7\]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[{a^2} = {b^2} = {c^2}\] hay \[\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}}\]

Thay vào \[\left( 1 \right)\] ta được \[\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\]. Vì \[x > 0\] nên có 4 bộ số thoả mãn là: \[\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;1;1} \right)\], \[\left( {x;y;z} \right) = \left( {1; – 1;1} \right)\], \[\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;1; – 1} \right)\], \[\left( {x;y;z} \right) = \left( {1; – 1; – 1} \right)\].

Dạng 2. So sánh các luỹ thừa

Câu 1. So sánh các số

a\ \[{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2019}}\] và \[{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2020}}\]

b\ \[{\pi ^{1015}}\] và \[3,{14^{1015}}\]

Hướng dẫn giải

a\ Vì \[0 < \sqrt 2 – 1 < 1\] và \[2019 < 2020\] nên \[{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2019}} > {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^{2020}}\]

b\ Vì \[1015 > 0\] và \[\pi > 3,14\] nên \[{\pi ^{1015}} > 3,{14^{1015}}\]

Câu 2. So sánh các số

a\ \[\sqrt[3]{{15}}\] và \[\sqrt[4]{{20}}\]

b\ \[\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \] và \[\sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}\]

Hướng dẫn giải

a\ Vì \[\sqrt[3]{{15}} = \sqrt[{12}]{{{{15}^4}}} = \sqrt[{12}]{{50625}}\] và \[\sqrt[4]{{20}} = \sqrt[{12}]{{{{20}^3}}} = \sqrt[{12}]{{8000}}\]

Mà \[50625 > 8000\] nên \[\sqrt[3]{{15}} > \sqrt[4]{{20}}\]

b\ Vì \[\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} < \sqrt[3]{8} + \sqrt {16} = 2 + 4 = 6\] và \[\sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}} > \sqrt 9 + \sqrt[3]{{27}} = 3 + 3 = 6\]

Vậy \[\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} < \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}\]

Câu 3. Có thể kết luận gì về số \[a\] nếu:

a\ \[{\left( {2 – a} \right)^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 – a} \right)^2}\]

b\ \[{\left( {1 – a} \right)^{ – \frac{1}{3}}} > {\left( {1 – a} \right)^{ – \frac{1}{2}}}\]

Hướng dẫn giải

a\ Ta có: \[\frac{3}{4} < 2\] mà \[{\left( {2 – a} \right)^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 – a} \right)^2}\] nên \[0 < 2 – a < 1 \Leftrightarrow 1 < a < 2\]

b\ Ta có: \[ – \frac{1}{3} > – \frac{1}{2}\] mà \[{\left( {1 – a} \right)^{ – \frac{1}{3}}} > {\left( {1 – a} \right)^{ – \frac{1}{2}}}\] nên \[1 – a > 1 \Leftrightarrow a < 0\]

Câu 4. Cho \[U = 2 \cdot {2019^{2020}}\], \[V = {2019^{2020}}\], \[W = 2018 \cdot {2019^{2019}}\], \[X = 5 \cdot {2019^{2019}}\] và \[Y = {2019^{2019}}\]. Trong các số sau đây, số nào bé nhất \[X – Y;U – V;V – W;W – X\]?

Hướng dẫn giải

\[{X – Y = 5 \cdot {{2019}^{2019}} – {{2019}^{2019}} = 4 \cdot {{2019}^{2019}}}\]

\[{U – V = 2 \cdot {{2019}^{2020}} – {{2019}^{2020}} = {{2019}^{2020}} = 2019 \cdot {{2019}^{2019}}}\]

\[{V – W = 2019 \cdot {{2019}^{2019}} – 2018 \cdot {{2019}^{2019}} = {{2019}^{2019}}}\]

\[{W – X = 2018 \cdot {{2019}^{2019}} – 5 \cdot {{2019}^{2019}} = 2013 \cdot {{2019}^{2019}}}\]

Vậy trong các số trên, số nhỏ nhất là \[V – W\].

Câu 5. So sánh hai số 1¹+2²+3³+…+1\[{0^0}\]0^{1\[{0^0}\]0} và \[{2^{{2^{{2^{{2^2}}}}}}}\]

Hướng dẫn giải

Ta thấy rằng \[{2^{{2^{{2^{{2^2}}}}}}} = {2^{{2^{{2^4}}}}} = {2^{{2^{16}}}}\] mà \[{2^{10}} = 1024 > 1000\] và \[{2^6} = 64\]

Suy ra: \[{2^{16}} = {2^{10}} \cdot {2^6} > 64000\] nên \[{2^{{2^{{2^{{2^2}}}}}}} > {2^{64000}}\]

Mặt khác: \[{1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}}\]\[ < 1000 \cdot {1000^{1000}} = {1000^{1001}}\]\[ < {\left( {{2^{10}}} \right)^{1001}} = {2^{10010}} < {2^{64000}}\]

Từ đó suy ra: \[{1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}} < {2^{{2^{{2^{{2^2}}}}}}}\]

Dạng 3. Rút gọn và biểu diễn các biểu thức chứa luỹ thừa

Câu 1. Rút gọn biểu thức: \[\frac{\begin{gathered}
\hfill \\
\frac{{{a^{1,5}} + {b^{1,5}}}}{{{a^{0,5}} + {b^{0,5}}}} – {a^{0,5}} \cdot {b^{0,5}} \hfill \\
\end{gathered} }{{{a^{0,5}} – {b^{0,5}}}}\]

Hướng dẫn giải

\[\frac{\begin{gathered}
\hfill \\
\frac{{{a^{1,5}} + {b^{1,5}}}}{{{a^{0,5}} + {b^{0,5}}}} – {a^{0,5}} \cdot {b^{0,5}} \hfill \\
\end{gathered} }{{{a^{0,5}} – {b^{0,5}}}}\]\[ = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
\frac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} \hfill \\
\end{gathered} }{{\sqrt a – \sqrt b }}\]\[ = \frac{{\sqrt a – 2\sqrt {ab} + \sqrt b }}{{\sqrt a – \sqrt b }}\]\[ = \sqrt a – \sqrt b \]

Câu 2. Cho các số thực dương \[a\] và \[b\]. Rút gọn biểu thức: \[P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}\]

Hướng dẫn giải

\[P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}\]\[ = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} – {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}}\]\[ = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} – {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}}\]\[ = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} – {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}}\]\[ = 0\]

Câu 3. Cho \[\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]. Rút gọn biểu thức \[{2^{{{\sin }^4}\alpha }} \cdot {2^{{{\cos }^4}\alpha }} \cdot {4^{{{\sin }^2}\alpha \cdot {{\cos }^2}\alpha }}\].

Hướng dẫn giải

\[{2^{{{\sin }^4}\alpha }} \cdot {2^{{{\cos }^4}\alpha }} \cdot {4^{{{\sin }^2}\alpha \cdot {{\cos }^2}\alpha }}\]\[ = {2^{{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha \cdot {{\cos }^2}\alpha }}\]\[ = {2^{{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}}}\]\[ = 2\]

Câu 4. Cho \[b\] là số thực dương. Biểu thức \[\frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}}\] được viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

\[\frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}{b^{\frac{1}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{b{b^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^{\frac{5}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^{\frac{3}{2}}}}}}} = \frac{{{{\left( {{b^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {{b^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}}} = 1\]

Câu 5. Cho hai số thực dương \[a\] và \[b\]. Biểu thức \[\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}\sqrt {\frac{a}{b}} }}\] được viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là?

Hướng dẫn giải

\[\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}\sqrt {\frac{a}{b}} }}\]\[ = \sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ – 1}}{{\frac{a}{b}}^{\frac{1}{2}}}}}}}\]\[ = \sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}}}}}}\]\[ = \sqrt[5]{{\frac{a}{b}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ – \frac{1}{6}}}}}\]\[ = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{5}{6}}}}}\]\[ = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{6}}}\]

Câu 6. Cho biểu thức \[P = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt[k]{{{x^3}}}}}} \left( {x > 0} \right)\]. Xác định \[k\] sao cho biểu thức \[P = {x^{\frac{{23}}{{24}}}}\]?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[P = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt[k]{{{x^3}}}}}} = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^{2 + \frac{3}{k}}}}}} = \sqrt {{x^{1 + \frac{{2k + 3}}{{3k}}}}} = {x^{\frac{{5k + 3}}{{6k}}}}\]

Yêu cầu bài toán xảy ra khi: \[\frac{{5k + 3}}{{6k}} = \frac{{23}}{{24}} \Leftrightarrow k = 4\]

Câu 7. Biểu thức thu gọn của \[P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 2}}{{a – 1}}} \right) \cdot \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}\], \[\left( {a > 0,a \ne \pm 1} \right)\] có dạng \[P = \frac{m}{{a + n}}\]. Tìm biểu thức liên hệ giữa \[m\] và \[n\]?

Hướng dẫn giải

\[P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 2}}{{a – 1}}} \right) \cdot \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}} – \frac{{\sqrt a – 2}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a + 1}} – \frac{{\sqrt a – 2}}{{\sqrt a – 1}}} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt a }}\]

\[ = \frac{{2\sqrt a }}{{a – 1}} \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{2}{{a – 1}}\]

Do đó: \[m = 2;n = – 1\]

Vậy \[m = – 2n\]

Bài viết Công thức lũy thừa đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Khái niệm hàm số luỹ thừa

Hàm số \[y = {x^\alpha }\], với \[\alpha \in \mathbb{R}\] được gọi là hàm số luỹ thừa.

Tập xác định của hàm số \[y = {x^\alpha }\] tuỳ thuộc vào giá trị của \[\alpha \]. Cụ thể:

+) \[\alpha \] nguyên dương: \[D = \mathbb{R}\]

+) \[\alpha \] nguyên âm hoặc bằng \[0\]: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]

+) \[\alpha \] không nguyên: \[D = \left( {0; + \infty } \right)\]

Chú ý:

+) Hàm số luỹ thừa liên tục trên TXĐ của nó

+) Hàm số \[y = {x^{\frac{1}{n}}}\] không đồng nhất với hàm số \[y = \sqrt[n]{x}{\text{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]

Ví dụ. Tập xác định của hàm số

\[y = {x^5}\] là \[D = \mathbb{R}\]

\[y = {x^{ – 5}}\] là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]

\[y = {x^{\frac{2}{7}}},y = {x^\pi }\] là \[D = \left( {0; + \infty } \right)\]

Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

+) Hàm số luỹ thừa \[y = {x^\alpha }\] (với \[\alpha \in \mathbb{R}\]) có đạo hàm tại mọi điểm \[x > 0\] và \[({x^\alpha })’ = \alpha \cdot {x^{\alpha – 1}}\]

+) Nếu hàm \[u = u\left( x \right)\] nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \[K\] thì hàm số \[y = {u^\alpha }\left( x \right)\] cũng có đạo hàm trên \[K\] và \[{\left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]^\prime } = \alpha \cdot {u^{\alpha – 1}}\left( x \right) \cdot u’\left( x \right)\]

Chú ý:

+) Đạo hàm của hàm số căn bậc \[n\]: \[{\left( {\sqrt[n]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\] (\[\forall x > 0\] nếu \[n\] chẵn và \[\forall x \ne 0\] nếu \[n\] lẻ)

+) Nếu hàm số \[u = u\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[K\] và thoả mãn điều kiện \[u\left( x \right) > 0,\forall x \in K\] khi \[n\] chẵn và \[u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in K\] khi \[n\] lẻ thì

\[{\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)^\prime } = \frac{{u’\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}\left( x \right)}}}}{\text{, }}\left( {\forall x \in K} \right)\]

Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số luỹ thừa

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số luỹ thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số \[y = {x^3}\] trên TXĐ của nó là \[\mathbb{R}\], khảo sát hàm số \[y = {x^{ – 2}}\] trên TXĐ \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\].

Đồ thị của hàm số

Nhận xét: Đồ thị của hàm số luỹ thừa luôn đi qua điểm \[I\left( {1;1} \right)\].

Sơ đồ hệ thống hoá hàm số luỹ thừa

Bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Phương pháp giải

Ta tìm điều kiện xác định của hàm số \[y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^\alpha }\], dựa vào số mũ \[\alpha \] của nó như sau:

+) Nếu \[\alpha \] là số nguyên dương thì không có ĐKXĐ của \[f\left( x \right)\].

+) Nếu \[\alpha \] là số nguyên âm hoặc bằng \[0\] thì ĐKXĐ là \[f\left( x \right) \ne 0\].

+) Nếu \[\alpha \] là số không nguyên thì ĐKXĐ là \[f\left( x \right) > 0\].

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {{x^2} + x – 2} \right)^{ – 3}}\]

Hướng dẫn giải

Vì \[\alpha = – 3 \in {\mathbb{Z}^{^ – }}\] nên hàm số xác định \[ \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x \ne 1 \hfill \\
x \ne – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}\].

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {3{x^2} – 1} \right)^{^{\frac{1}{3}}}}\]

Hướng dẫn giải

Vì \[\alpha = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\] nên hàm số xác định \[ \Leftrightarrow 3{x^2} – 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x < – \frac{1}{{\sqrt 3 }}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x > \frac{1}{{\sqrt 3 }}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( { – \infty ; – \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\]

Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {2 – \sqrt {x – 1} } \right)^{\sqrt 3 }}\]

Hướng dẫn giải

Vì \[\alpha = \sqrt 3 \notin \mathbb{Z}\] nên hàm số xác định \[ \Leftrightarrow 2 – \sqrt {x – 1} > 0\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} < 2\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x – 1 \geqslant 0 \hfill \\
x – 1 < 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow 1 \leqslant x < 5\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {1;5} \right)\]

Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( { – {x^2} + 3x + 4} \right)^{\frac{1}{3}}} + \sqrt {2 – x} \]

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{gathered}
– {x^2} + 3x + 4 > 0 \hfill \\
2 – x \geqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 < x < 4 \hfill \\
x \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow – 1 < x \leqslant 2\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( { – 1;2} \right]\]

Câu 5. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{3}{2}}}\] xác định với mọi \[x \in \mathbb{R}\]?

Hướng dẫn giải

Hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{3}{2}}}\] xác định với mọi \[x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta < 0 \hfill \\
2 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \Delta = {m^2} – 16 < 0\]

\[ \Leftrightarrow – 4 < m < 4 \Leftrightarrow m \in \left( { – 4;4} \right)\]

Dạng 2. Tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa

Đạo hàm hàm số luỹ thừa

\[{\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha \cdot {x^{\alpha – 1}}{\text{ }}\left( {x > 0,\alpha \in \mathbb{R}} \right)\]

Đạo hàm của hàm hợp

\[{\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha \cdot {u^{\alpha – 1}} \cdot u’\] với \[u\] là biểu thức chứa \[x{\text{ }}\left( {u > 0} \right)\]

Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {{x^3}} }}\]

Hướng dẫn giải

Với mọi \[x > 0\], ta có:

\[y = {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {{x^3}} }}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{7}{6}}}} \right)^\prime } = \frac{7}{6}{x^{\frac{1}{6}}} = \frac{7}{6}\sqrt[6]{x}\]

Câu 2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \[y = {\left( {\sqrt x + 1} \right)^3}\] tại điểm có tung độ bằng \[27\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left[ {0; + \infty } \right)\]

\[y = {\left( {\sqrt x + 1} \right)^3} = 27 \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\]

\[y’ = 3{\left( {\sqrt x + 1} \right)^\prime }{\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} = \frac{3}{{2\sqrt x }}{\left( {\sqrt x + 1} \right)^2}\]

\[y’\left( 4 \right) = \frac{3}{{2\sqrt 4 }}{\left( {\sqrt 4 + 1} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\]

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng \[27\] là

Câu 3. Cho hàm số \[y = {\left( {x – 1} \right)^{\frac{{3\pi }}{2}}}\] có đồ thị \[\left( C \right)\]. Lấy \[M \in \left( C \right)\] có hoành độ \[{x_0} = 2\]. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left( {1; + \infty } \right)\]

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] là \[k = y’\left( 2 \right)\]

\[y’\left( 2 \right) = \frac{{3\pi }}{2} \cdot {1^{\frac{{3\pi }}{2} – 1}} = \frac{{3\pi }}{2}\]

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] là \[k = \frac{{3\pi }}{2}\]

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt {e\sqrt {e\sqrt {e\sqrt {e\sqrt x } } } } ,{\text{ }}x > 0\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[y = {e^{\frac{{15}}{{16}}}} \cdot {x^{\frac{1}{{32}}}}\]

\[y’ = \frac{1}{{32}}{e^{\frac{{15}}{{16}}}} \cdot {x^{\frac{1}{{32}} – 1}} = \frac{1}{{32}}{e^{\frac{{15}}{{16}}}} \cdot {x^{ – \frac{{31}}{{32}}}} = \frac{{{e^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{32\sqrt[{32}]{{{x^{31}}}}}}\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = {\left( {x + 2} \right)^{ – 2}}\]. Tìm hệ thức giữa \[y\] và \[{y”}\] không phụ thuộc vào \[x\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\]

\[y’ = – 2 \cdot {\left( {x + 2} \right)^{ – 3}} \cdot {\left( {x + 2} \right)^\prime } = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\]

\[y” = 6{\left( {x + 2} \right)^{ – 4}} \cdot {\left( {x + 2} \right)^\prime } = \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}}\]

Vậy hệ thức giữa \[y\] và \[{y”}\] không phụ thuộc vào \[x\] là \[6{y^2} – y” = 0\]

Câu 6. Cho hàm số \[y = \sqrt[3]{{1 + 2\sin 2x}}\]. Tìm đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm \[x = 0\].

Hướng dẫn giải

Với \[1 + 2\sin 2x \ne 0\], ta có:

Cách 1: \[y’ = \frac{{4\cos 2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 2\sin 2x} \right)}^2}}}}} \Rightarrow y’\left( 0 \right) = \frac{4}{3}\]

Cách 2: Bấm máy tính

Dạng 3. Khảo sát sự biến thiên và nhận dạng đồ thị của hàm số luỹ thừa

Khảo sát hàm số luỹ thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số trên toàn tập xác định.

Tìm tập xác định

TXĐ của hàm luỹ thừa phụ thuộc vào giá trị của \[\alpha \]

Sự biến thiên

+) Tìm đạo hàm \[{y’}\]. Xét dấu \[{y’}\] và kết luận về chiều biến thiên của hàm số.

+) Tìm tiệm cận (nếu có).

+) Lập bảng biến thiên.

Đồ thị

Đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm \[\left( {1;1} \right)\]

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^2}\].

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

+) \[y’ = 2x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

+) Giới hạn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]

+) Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\], nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 0,{\text{ }}{y_{CT}} = 0\]

Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \[A\left( { – 1;1} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {2;4} \right),D\left( { – 2;4} \right)\]

Hàm số \[y = {x^2}\] là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

+) Đồ thị:

Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^{ – 1}}\].

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]

+) Giới hạn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = – \infty \] nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \[y = 0\] làm đường tiệm cận ngang, nhận đường thẳng \[x = 0\] làm đường tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên:

\[y’ = – {x^{ – 2}} < 0,\forall x \in D\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\] và \[\left( {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \[A\left( { – 2; – \frac{1}{2}} \right),B\left( { – 1;1} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {2;\frac{1}{2}} \right)\]

Hàm số \[y = {x^{ – 1}}\] là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

+) Đồ thị:

Câu 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {\left( {x – 2} \right)^{ – 4}}\].

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\]

+) Giới hạn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\]. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \[y = 0\] làm đường tiệm cận ngang

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} y = + \infty \]. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \[x = 2\] làm đường tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên:

\[y’ = – 4 \cdot {\left( {x – 2} \right)^{ – 5}}\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;2} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \[A\left( {0;\frac{1}{{16}}} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {3;1} \right)\] và nhận đường thẳng \[x = 2\] làm trục đối xứng.

+) Đồ thị:

Câu 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^{\frac{1}{2}}}\].

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: \[D = \left( {0; + \infty } \right)\]

+) Giới hạn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0\] nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.

+) Bảng biến thiên:

\[y’ = \frac{1}{2}{x^{ – \frac{1}{2}}} > 0,\forall x \in D\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\].

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \[A\left( {1;1} \right),B\left( {2;\sqrt 2 } \right),C\left( {4;2} \right)\]

+) Đồ thị:

Câu 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {\left( {x – 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\].

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: \[D = \left( {1; + \infty } \right)\]

+) Giới hạn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 0\] nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.

+) Bảng biến thiên:

\[y’ = \frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^{ – \frac{3}{4}}} > 0,\forall x \in D\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \[A\left( {2;1} \right)\]

+) Đồ thị:

Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^{ – \sqrt 2 }}\].

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: \[D = \left( {0; + \infty } \right)\]

+) Giới hạn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^{\sqrt 2 }}}} = + \infty \]. Đồ thị hàm số nhận trục \[Oy\] \[\left( {x = 0} \right)\] là đường tiệm cận đứng.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^{\sqrt 2 }}}} = 0\]. Đồ thị hàm số nhận trục \[Ox\] \[\left( {y = 0} \right)\] là đường tiệm cận ngang.

+) \[y’ = – \sqrt 2 {x^{ – \sqrt 2 – 1}} < 0,\forall x \in D\]

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\]

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm \[\left( {1;1} \right)\].

Bài viết Hàm số lũy thừa đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Nhánh vô cực của đường cong \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

Gọi \[M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\]

Ta nói: \[\left( C \right)\] có nhánh vô cực \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x \to + \infty {\text{ }}hay{\text{ }}x \to – \infty \hfill \\
y \to + \infty {\text{ }}hay{\text{ }}y \to – \infty \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ví dụ 1. Đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y = {x^2}\] có nhánh vô cực

Ví dụ 2. Đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y = \sqrt {4 – {x^2}} \] không có nhánh vô cực

vì \[M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 2 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\
0 \leqslant y \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Tiệm cận của đường cong

Cho đường cong \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\] và \[M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\], \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên \[\left( \Delta \right)\]. Đường thẳng \[\left( \Delta \right)\] được gọi là tiệm cận của \[\left( C \right)\] khi và chỉ khi khoảng cách \[MH\] từ \[M\] đến \[\left( \Delta \right)\] tiến về 0 khi \[M\] vẽ nên nhánh vô cực của \[\left( C \right)\].

Như vậy: \[\left( \Delta \right)\] tiệm cận của \[\left( C \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } MH = 0\]

Định nghĩa đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đường thẳng \[x = {x_0}\] được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] nếu thoả mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty \]

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có xác định trên một khoảng vô hạn là khoảng có một trong các dạng \[\left( {a; + \infty } \right);\left( { – \infty ;a} \right);\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]. Đường thẳng \[y = {y_0}\] được gọi là đường tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị nếu thoả mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0};{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\]

Lưu ý:

☞ Hàm \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] với \[ac \ne 0\] có tiệm cận đứng \[x = – \frac{d}{c}\]; tiệm cận ngang \[y = \frac{a}{c}\]

☞ Hàm \[y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\] với \[{f\left( x \right)}\], \[{g\left( x \right)}\] là những hàm đa thức

+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang \[y = 0\].

+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang \[y = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\] với \[{a_n},{b_n}\] là hệ số của luỹ thừa cao nhất trên tử và dưới mẫu.

+) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.

+) \[x = {x_0}\] là tiệm cận đứng \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
g\left( {{x_0}} \right) = 0;f\left( {{x_0}} \right) \ne 0 \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
g\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \pm \infty \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

☞ Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang.

Để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang của một hàm số thông qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC trên máy.

Một số lưu ý về kết quả và cách bấm:

Bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số cho bởi công thức

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{2x – 3}}{{x + 2}}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Hướng dẫn giải

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\] nên đồ thị hàm số có 1 TCN là \[y = 2\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = + \infty \] nên đồ thị hàm số có 1 TCĐ là \[x = – 2\]

Do đó đồ thị hàm số có tổng số 2 tiệm cận kể cả đứng và ngang.

Câu 2. Cho hàm số \[y = \frac{{5x + 1 – \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left[ { – 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\]

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1 – \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
\frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} – \sqrt {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + \frac{2}{x} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} }\]

\[ \Rightarrow y = 0\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x + 1 – \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {5x + 1} \right)}^2} – x – 1}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25{x^2} + 9x}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25x + 9}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\]\[ = \frac{{ – 9}}{4}\]

\[ \Rightarrow x = 0\] không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó đồ thị hàm số có tổng số 1 đường tiệm cận.

Câu 3. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

TH1: \[x < – 1 \Rightarrow x + 1 < 0\]. Khi đó:

\[f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }} = \frac{{ – \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} }} = – \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} \]

Suy ra hàm số có TCN là \[y = – 1\], không có TCĐ.

TH2: \[x > 1 \Rightarrow x + 1 > 0\]. Khi đó:

\[f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} }} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} \]

Suy ra hàm số có TCN là \[y = 1\], TCĐ là \[x = 1\]

Vậy hàm số có 2 TCN và 1 TCĐ

Câu 4. Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} – 3{x^2} + 2} }}\]. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[x \in \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( { – 1;1} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\]

Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} – 3{x^2} + 2} }}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
\sqrt {1 – \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}}} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } = 1\]

\[ \Rightarrow y = 1\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = 1\] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)} }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)} \left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)} }}\]\[ = 0\]

\[ \Rightarrow x = – 1\] không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} y = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = \sqrt 2 \] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^ – }} y = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = – \sqrt 2 \] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 TCN và 3 TCĐ).

Dạng 2. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số biết BBT của hàm số, đồ thị của hàm số đó hoặc hàm số liên quan

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên

Tìm tổng số đường TCN và TCĐ của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Hướng dẫn giải

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3\] nên đồ thị hàm số có 1 TCN là \[y = 3\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_4^ + } y = + \infty \] nên đồ thị hàm số có 1 TCĐ \[x = {x_4}\].

Do đó đồ thị hàm số có tổng số 2 tiệm cận.

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\], liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường TCĐ và TCN?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = – \infty \] do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = – \infty \Rightarrow x = 0\] là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\], liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm các giá trị nguyên của \[m \in \left[ {0;5} \right)\] để đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có 3 đường TCĐ và TCN?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = 2 \Rightarrow y = 2\] là đường tiệm cận ngang.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = – \infty \Rightarrow x = 1\] là tiệm cận đứng.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = m \Rightarrow y = m\] là đường tiệm cận ngang.

Do đó: Để đồ thị hàm số có 3 đường TCN thì \[m \ne 2\], mà \[m \in \left[ {0;5} \right)\] nên \[m \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}\].

Câu 4. Cho hàm số \[{f\left( x \right)}\] có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm phương trình các đường TCĐ và TCN của đồ thị hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Nhìn vào đồ thị, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = – \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty \]. Do đó, đồ thị có một TCĐ là đường thẳng \[x = 2\].

Theo đồ thị, ta cũng có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = 1\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\]. Do đó, đồ thị có một TCN là đường thẳng \[y = 1\].

Vậy đồ thị có TCĐ \[x = 2\] và TCN \[y = 1\].

Câu 5. Cho đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] như hình bên. Đồ thị có bao nhiêu đường TCĐ và TCN?

Hướng dẫn giải

Nhìn vào đồ thị, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right) = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right) = – \infty \]. Do đó, đồ thị có một TCĐ là đường thẳng \[x = – 1\].

Theo đồ thị, ta cũng có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = 2\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\]. Do đó, đồ thị có một TCN là đường thẳng \[y = 2\].

Vậy đồ thị có TCĐ \[x = – 1\] và TCN \[y = 2\].

Dạng 3. Tiệm cận của đồ thị hàm số hàm hợp

Các dạng trong chủ đề: Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] biết bảng biến thiên hoặc đồ thị. Tìm các đường TCĐ và TCN của đồ thị \[y = g\left( x \right)\] thuộc một trong các dạng sau:

+) \[{y = f\left( {u\left( x \right)} \right)}\]

+) \[y = g\left( {f\left( x \right)} \right)\]

+) \[y = g\left( {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \right)\]

+) \[y = g\left( {x,f\left( x \right)} \right)\]

+) \[y = g\left( {x,f\left( {u\left( x \right)} \right)} \right)\]

Phương pháp giải

Gọi \[\left( G \right)\] là đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

* Tìm tiệm cận ngang

Xét hàm số dạng \[g\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\]. Một dấu hiệu thường dùng để nhận biết \[\left( G \right)\] có tiệm cận ngang:

+) Hàm số \[y = g\left( x \right)\] xác định trên \[\left( {a; + \infty } \right)\] hoặc trên \[\left( { – \infty ;a} \right)\]

+) Bậc của \[u\left( x \right)\] \[ \leqslant \] Bậc của \[{v\left( x \right)}\]

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = {y_0}\] hoặc \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = {y_0}\] \[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[y = {y_0}\] là tiệm cận ngang của \[\left( G \right)\].

* Tìm tiệm cận đứng

Xét hàm số dạng \[g\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\]. Một dấu hiệu thường dùng để nhận biết \[x = {x_0}\] là tiệm cận đứng của \[\left( G \right)\]:

+) \[v\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[u\left( {{x_0}} \right) \ne 0\], \[{g\left( x \right)}\] xác định trên \[\left( {a;{x_0}} \right)\] hoặc \[\left( {{x_0};b} \right)\].

+) Ít nhất một trong hai giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } g\left( x \right)\] là giới hạn vô cực.

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[x = {x_0}\] là tiệm cận đứng của \[\left( G \right)\].

Trong chủ đề này, các dấu hiệu nhận biết ở trên dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Câu 1. Cho hàm đồ \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\] và có bảng biến thiên như sau:

Tìm số đường TCĐ và TCN của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\].

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình \[2f\left( x \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = {x_1} \in \left( {1;2} \right) \hfill \\
x = {x_2} \in \left( {2; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ – } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ – } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[x = {x_1}\] là một TCĐ của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ + } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ + } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = – \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ – } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ – } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = + \infty \]

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[x = {x_2}\] là một TCĐ của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = 0\]

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[y = 0\] là một TCN của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\]

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\] có 2 đường TCĐ là \[x = {x_1}\]; \[x = {x_2}\] và 1 TCN là \[y = 0\]

Câu 2. Cho hàm số \[f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] \[\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\] có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} – 2f\left( x \right)}}\] có bao nhiêu đường TCĐ?

Hướng dẫn giải

Điều kiện \[\left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
x \leqslant – 1 \hfill \\
x \geqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
f\left( x \right) \ne 0 \hfill \\
f\left( x \right) \ne 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ta có: \[g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} – 2f\left( x \right)}}\]\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} }}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} – 2f\left( x \right)}}\]

Xét phương trình \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} – 2f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
f\left( x \right) = 0 \hfill \\
f\left( x \right) = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Với \[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 3 \hfill \\
x = {x_1} \in \left( { – 1;0} \right){\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\] trong đó \[x = – 3\] là nghiệm kép

Nên mẫu sẽ có nhân từ \[{\left( {x + 3} \right)^2}\] do đó \[x = – 3\] là 1 tiệm cận đứng.

Với \[f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = {x_2} \in \left( { – 3; – 1} \right) \hfill \\
x = {x_3} \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\], ba nghiệm này là nghiệm đơn

Nên \[f\left( x \right) – 2 = k\left( {x + 1} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)\], ta thấy trong \[{g\left( x \right)}\] thì \[\left( {x + 1} \right)\] sẽ bị rút gọn nên có thêm \[x = {x_2} \in \left( { – 3; – 1} \right)\] và \[x = {x_3} \in ( – \infty ; – 3)\] là tiệm cận đứng.

Vậy tóm lại đồ thị có 3 tiệm cận đứng là \[x = – 3\]; \[x = {x_2}\]; \[x = {x_3}\]

Câu 3. Cho đồ thị hàm đa thức bậc bốn \[y = f\left( x \right)\] như hình vẽ bên dưới.

Hỏi đồ thị của hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^6} + 1} \right)\left( {{x^2} – 5x} \right)\sqrt {{x^2} – 2x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right)} \right]\left( {2x – 10} \right)}}\] có bao nhiêu đường TCĐ và TCN.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[\left[ \begin{gathered}
x \leqslant 0 \hfill \\
x \geqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Giả sử \[f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\]

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{2{a^2}}};\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2{a^2}}}\] nên đồ thị hàm số \[{g\left( x \right)}\] có 2 TCN \[y = \pm \frac{1}{{2{a^2}}}\]

Dễ thấy \[\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right)} \right]\left( {2x – 10} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) – 2} \right] \cdot 2 \cdot \left( {x – 5} \right) = 0\] có các nghiệm

\[\;x = 0;x = 1;x = 2;x = 5;x = {x_1} \in \left( { – 1;0} \right);x = {x_2} \in \left( {2;3} \right)\]

So sánh với điều kiện của căn và bội của nghiệm ta thấy đồ thị \[{g\left( x \right)}\] có các đường tiệm cận đứng là: \[x = 0;x = 2;x = {x_1};x = {x_2}\]

Vậy đồ thị hàm số \[{g\left( x \right)}\] có 6 đường tiệm cận kể cả ngang và đứng.

Câu 4. Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\] có đồ thị như hình dưới đây:

Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\[y = g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)\sqrt x }}{{\left( {{x^2} – x} \right)\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + f\left( x \right)} \right]}}\]

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta cần tìm \[x \geqslant 0\] để \[\left( {{x^2} – x} \right)\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + f\left( x \right)} \right] = 0\]

Ta có:

\[\left( {{x^2} – x} \right)\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + f\left( x \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
f\left( x \right) = 0 \hfill \\
f\left( x \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Từ đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] ta thấy:

\[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \alpha \in \left( { – 2; – 1} \right) \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\] và \[f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right){\left( {x – 2} \right)^2}\]

\[f\left( x \right) = – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = \beta \in \left( {0;2} \right) \hfill \\
x = \gamma \in \left( {2; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Rightarrow f\left( x \right) + 1 = a\left( {x + 1} \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)\]

Vậy hàm số \[y = g\left( x \right)\] có tập xác định là \[D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\beta ;1;2;\gamma } \right\}\]

Khi đó ta có:

\[y = g\left( x \right) = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)\sqrt x }}{{x\left( {x – 1} \right)f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\]

\[ = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x a\left( {x – \alpha } \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}a\left( {x + 1} \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 3}}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 1} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}}\]

+) Tìm TCN: Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\] (do bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu) \[ \Rightarrow y = 0\] là TCN của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

+) Tìm TCĐ:

\[g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 1} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}}\]

Mẫu thức của \[{g\left( x \right)}\] có 6 nghiệm phân biệt là \[\alpha ; – 1;0;\beta ;2;\gamma \]

* Tại \[x = \alpha \in \left( { – 2; – 1} \right)\] và \[x = – 1\] các giới hạn một bên của \[{g\left( x \right)}\] không tồn tại nên \[x = \alpha ;x = – 1\] không phải TCĐ của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

* Tại \[x = 0\] ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + 3}}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 1} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\left( {x – \gamma } \right)}} = + \infty \] nên \[x = 0\] là một TCĐ của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\]

* Tại \[x = \beta ;x = 2\] và \[x = \gamma \] các giới hạn một bên của \[{g\left( x \right)}\] đều là giới hạn vô cực (vì mẫu thức bằng \[0\] còn tử thức khác \[0\] tại các điểm đó) nên \[x = \beta ;x = 2\] và \[x = \gamma \] là các TCĐ của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\].

Vậy đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có 1 đường TCN là \[y = 0\] và 4 đường TCĐ là \[x = 0;x = \beta ;x = 2\] và \[x = \gamma \].

Câu 5. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định, liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như sau:

Tìm số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}}\].

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên ta thấy:

\[f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3} + x + 1} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{x^3} + x + 1 = 1 \hfill \\
{x^3} + x + 1 = a,{\text{ }}a < – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^3} + x + 1 = a,{\text{ }}a < – 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Lập bảng biến thiên của hàm số \[h\left( x \right) = {x^3} + x + 1\] ta thấy với \[a < – 1\] thì phương trình \[{x^3} + x + 1 = a\] có nghiệm duy nhất \[{x_0} < – 1\]

Suy ra hàm số \[y = g\left( x \right)\] có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;{x_0}} \right\},{\text{ }}{x_0} < – 1\]

+) Tìm tiệm cận ngang

Đặt \[t = {x^3} + x + 1\]. Khi \[x \to + \infty \] và khi \[x \to – \infty \] thì \[t \to – \infty \]

Do đó:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {{x^3} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( t \right) = – \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}} = 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( {{x^3} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( t \right) = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}} = 0\]

Suy ra đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có 1 tiệm cận ngang đó là đường thẳng \[y = 0\].

+) Tìm tiệm cận đứng

\[g\left( x \right) = \frac{3}{{f\left( {{x^3} + x + 1} \right) – 1}}\]

Tại các điểm \[x = 0\];\[x = {x_0}\] mẫu của \[{g\left( x \right)}\] nhận giá trị bằng \[0\] còn tử luôn nhận giá trị bằng \[3\].

Và do hàm số xác định trên mỗi khoảng \[\left( { – \infty ;{x_0}} \right),\left( {{x_0};0} \right),\left( {0; + \infty } \right){\text{ }}\] nên giới hạn một bên của hàm số \[y = g\left( x \right)\] tại các điểm \[x = 0\];\[x = {x_0}\] là các giới hạn vô cực.

Do đó, đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có hai tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng \[x = 0\];\[x = {x_0}\]

Vậy đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có 3 đường tiệm cận (1 TCN \[y = 0\] và 2 TCĐ \[x = 0\];\[x = {x_0}\])

Dạng 4. Một số bài toán về tiệm cận chứa tham số

Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = \frac{{mx + 7}}{{mx – 1}}\] có tiệm cận đứng đi qua điểm \[A\left( {1; – 2} \right)\].

Hướng dẫn giải

Để đường tiệm cận đứng đi qua \[A\left( {1; – 2} \right)\] thì đường tiệm cận đứng phải có phương trình \[x = 1\].

Khi đó \[x = 1\] là nghiệm của \[mx – 1 = 0\]. Suy ra \[m = 1\].

Thử lại: với \[m = 1\] thì đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 7}}{{x – 1}}\] có đường TCĐ \[x = 1\] đi qua \[A\left( {1; – 2} \right)\].

Vậy \[m = 1\] là giá trị cần tìm.

Câu 2. Tìm các tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + mx + 4}}\] có đúng hai đường tiệm cận?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
\frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + \frac{m}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } = 0\]

Nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là \[y = 0\].

Do đó để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số cần có đúng một đường tiệm cận đứng. Hay phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + mx + 4 = 0\] có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có \[1\] nghiệm bằng \[1\].

Ta có: \[\Delta = {m^2} – 4 \cdot 1 \cdot 4 = {m^2} – 16\]

Khi đó: \[\left[ \begin{gathered}
{m^2} – 16 = 0 \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
{m^2} – 16 > 0 \hfill \\
f\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 4 \hfill \\
m = – 4 \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
{m^2} – 16 > 0 \hfill \\
m = – 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 4 \hfill \\
m = – 4 \hfill \\
m = – 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[m \in \left\{ { – 4;4; – 5} \right\}\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = \frac{{2mx + m}}{{x – 1}}\]. Với giá trị nào của \[m\] thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục toạ độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là \[8\]?

Hướng dẫn giải

Để đồ thị hàm số tồn tại tiệm cận đứng thì \[ad – bc \ne 0 \Leftrightarrow – 3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\]

Khi đó tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng \[x = 1\] và \[y = 2m\].

Khi đó diện tích hình chữ nhật tạo thành là: \[\left| {1.2m} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| m \right| = 4 \Leftrightarrow m = \pm 4\]

Câu 4. Biết đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] đi qua điểm \[A\left( { – 1;7} \right)\] và giao điểm hai tiệm cận của \[\left( C \right)\] là điểm \[I\left( { – 2;3} \right)\]. Biết \[c\] là số nguyên dương và \[a,c\] là các số nguyên tố cùng nhau. Tìm các số \[a,b,c,d\].

Hướng dẫn giải

Đồ thị \[\left( C \right)\] có tiệm cận đứng là \[x = – \frac{d}{c}\] và tiệm cận ngang là \[y = \frac{a}{c}\] với điều kiện \[ad – bc \ne 0\]

Khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{gathered}
– \frac{d}{c} = – 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\frac{a}{c} = 3\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
d = 2c \hfill \\
a = 3c \hfill \\
\end{gathered} \right.\xrightarrow[{c \in {\mathbb{N}^*}}]{{\left( {a,c} \right) = 1}}c = 1\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
d = 2 \hfill \\
a = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Rightarrow \left( C \right):y = \frac{{3x + b}}{{x + 2}}\]

Do \[A\left( { – 1;7} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow 7 = \frac{{ – 3 + b}}{{ – 1 + 2}} \Leftrightarrow b = 10\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = \frac{{2x + m}}{{x – m}}\]. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận cùng với hai trục toạ độ tạo thành một hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \[y = 2\].

Với \[2 \cdot m – 1 \cdot m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\] thì đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \[x = m\].

Để 2 đường tiệm cận cùng với 2 trục toạ độ tạo thành một hình vuông thì \[\left| m \right| = 2 \Leftrightarrow m = \pm 2\]

Câu 6. Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \[y = \sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + mx – 6\] có tiệm cận ngang.

Hướng dẫn giải

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} – \sqrt 2 x + \left( {m + \sqrt 2 } \right)x – 6} \right]\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + \sqrt 2 x}} – 6 + \left( {m + \sqrt 2 } \right)x} \right]\]

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi \[x \to + \infty \Leftrightarrow m + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow m = – \sqrt 2 \]

(do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + \sqrt 2 x}} – 6} \right) = \frac{{ – 3}}{{2\sqrt 2 }} – 6\] hữu hạn)

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} + \sqrt 2 x + \left( {m – \sqrt 2 } \right)x – 6} \right]\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} – \sqrt 2 x}} – 6 + \left( {m – \sqrt 2 } \right)x} \right]\]

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi \[x \to – \infty \Leftrightarrow m – \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow m = \sqrt 2 \]

(do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ – 3x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} – 3x + 5} – \sqrt 2 x}} – 6} \right) = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} – 6\] hữu hạn)

Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của m thoả mãn bằng \[{\left( { – \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4\].

Bài viết Đường tiệm cận đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Tính đạo hàm \[y’ = f’\left( x \right)\]

Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình \[f’\left( x \right) = 0\]

Bước 4. Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y\] và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có)

Bước 5. Lập bảng biến thiên

Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có)

Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục \[Ox\], \[Oy\], các điểm đối xứng,…)

Bước 8. Vẽ đồ thị

Các dạng đồ thị của các hàm số thường gặp

Hàm số bậc ba \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\]

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} + 2\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = 3{x^2} – 6x\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}\left( {1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = – \infty \]

+) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( 0 \right) = 2\]. Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2;{y_{CT}} = y\left( 2 \right) = – 2\]

+) Đồ thị:

Ta có: \[{x^3} – 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
{x^2} – 2x – 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \] Đồ thị hàm số qua điểm \[A\left( {1;0} \right)\]

Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 2\]: Đồ thị hàm số cắt \[Oy\] tại B\[\left( {0;2} \right)\]

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm \[I\left( {1;0} \right)\] làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm \[I\] là nghiệm của phương trình \[y” = 0\] (điểm uốn).

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^3} + 1\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = 3{x^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

+) Cực trị: Hàm số không có cực trị

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3} = – \infty \]

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị:

Ta có: \[{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\]. Vậy đồ thị hàm số qua \[O\left( {0;0} \right)\]

Cho \[x = 1 \Rightarrow y = 1\]: Đồ thị hàm số cắt \[Oy\] tại \[B\left( {1;1} \right)\]

Cho \[x = – 1 \Rightarrow y = – 1\]: Đồ thị hàm số cắt qua \[C\left( { – 1; – 1} \right)\]

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm \[O\left( {0;0} \right)\] làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm \[O\] là nghiệm của phương trình \[y” = 0\] (điểm uốn).

Hàm số trùng phương \[y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\]

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^4} – 2{x^2} – 3\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = 4{x^3} – 4x = 4x\left( {{x^2} – 1} \right)\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^4}\left( {1 – \frac{2}{{{x^2}}} – \frac{3}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \]

+) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {0;1} \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( 0 \right) = – 3\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm 1;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( { \pm 1} \right) = – 4\]

+) Đồ thị:

Ta có: \[{x^4} – 2{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]. Vậy đồ thị hàm số qua \[A\left( {1;0} \right),B\left( { – 1;0} \right)\]

Cho \[x = 0 \Rightarrow y = – 3\]. Đồ thị hàm số cắt \[Oy\] tại \[C\left( {0; – 3} \right)\].

Cho \[x = \pm 2 \Rightarrow y = 5\]. Đồ thị hàm số qua \[D\left( { – 2;5} \right),E\left( {2;5} \right)\].

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận được \[Oy\] làm trục đối xứng.

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = 4 – \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{{x^4}}}{8}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = – x – \frac{{{x^3}}}{2} = – x\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\]. Xét \[y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

+) Các giới hạn tại vô cực

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^4}\left( { – 1 – \frac{1}{{2{x^2}}} – \frac{1}{{8{x^4}}}} \right) = – \infty \]

+) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\]

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0;{y_{C\rlap{–} D}} = y\left( 0 \right) = – 3\]

Hàm số không có cực tiểu

+) Đồ thị:

Cho \[x = \pm 2 \Rightarrow y = 0\]. Đồ thị hàm số qua \[C\left( { – 2;0} \right),D\left( {2;0} \right)\].

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận \[Oy\] làm trục đối xứng.

Hàm số nhất biến \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0,ad – bc \ne 0} \right)\]

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[\frac{{x + 1}}{{x – 1}}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]

Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên:

\[y’ = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\]

Ta thấy \[{y’}\] không xác định khi \[x = 1\]; \[{y’}\] luôn âm với mọi \[x \ne 1\]

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\] và \[\left( { – \infty ;1} \right)\]

+) Cực trị:

Hàm số không có cực trị

+) Tiệm cận:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \lim \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = 1\]. Vậy đường thẳng \[y = 1\] là tiệm cận ngang.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \]. Vậy đường thẳng \[x = 1\] là tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \[A\left( {0; – 1} \right)\] và cắt trục hoành tại điểm \[B\left( { – 1;0} \right)\]

Lưu ý: Giao điểm \[I\left( {1;1} \right)\] của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{2x – 1}}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]

Ta có: \[y’ = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2x – 1} \right)}^2}}} < 0\] với mọi \[x \ne \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \frac{1}{2}\]. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \[y = \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ – }} y = – \infty \]. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \[x = \frac{1}{2}\]

+) Bảng biến thiên của hàm số có dạng:

+) Đồ thị hàm số có dạng:

Một số phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[\left( C \right)\] với số \[a > 0\] ta có:

☞ Hàm số \[y = f\left( x \right) + a\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Oy\] lên trên \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = f\left( x \right) – a\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Oy\] xuống dưới \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = f\left( {x + a} \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Ox\] qua trái \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = f\left( {x – a} \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là tịnh tiến \[\left( C \right)\] theo phương của \[Ox\] qua phải \[a\] đơn vị.

☞ Hàm số \[y = – f\left( x \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là đối xứng của \[\left( C \right)\] qua trục \[Ox\].

☞ Hàm số \[y = f\left( { – x} \right)\] có đồ thị \[\left( {C’} \right)\] là đối xứng của \[\left( C \right)\] qua trục \[Oy\].

☞ Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = f\left( {\left| x \right|} \right)\]

Ta có: \[y = f\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\
f\left( { – x} \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\] và \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] là hàm chẵn nên đồ thị \[\left( {C’} \right)\] nhận \[Oy\] làm trục đối xứng.

* Cách vẽ \[\left( {C’} \right)\] từ \[\left( C \right)\]:

+) Giữ nguyên phần đồ thị bên phải \[Oy\] của đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị bên trái \[Oy\] của \[\left( C \right)\], lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua \[Oy\].

Ví dụ. Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right|\].

Ta có: \[y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right| = \left\{ \begin{gathered}
{x^3} – 3x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\
– {x^3} + 3x = – \left( {{x^3} – 3x} \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Cách vẽ đồ thị \[\left( {C’} \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị của \[\left( C \right)\] bên trái \[Oy\], giữ nguyên \[\left( C \right)\] bên phải \[Oy\].

+) Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua \[Oy\].

☞ Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {f\left( x \right)} \right|\]

Ta có: \[y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\
– f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

* Cách vẽ \[\left( {C’} \right)\] từ \[\left( C \right)\]:

+) Giữ nguyên phần đồ thị phía trên \[Ox\] của đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị phía dưới \[Ox\] của \[\left( C \right)\], lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Ví dụ. Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {{x^3} – 3x} \right|\].

Cách vẽ đồ thị \[\left( {C’} \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị của \[\left( C \right)\] phía dưới \[Ox\], giữ nguyên \[\left( C \right)\] phía trên \[Ox\].

+) Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Chú ý: Với dạng \[y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\] ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] và \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\]

Ví dụ. Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x\] suy ra đồ thị \[y = \left| {{{\left| x \right|}^3} – 3\left| x \right|} \right|\]

Biến đổi \[\left( C \right)\] để được đồ thị \[\left( {C’} \right):y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right|\]

Biến đổi \[\left( {C’} \right):y = {\left| x \right|^3} – 3\left| x \right|\] ta được đồ thị \[\left( {C”} \right):y = \left| {{{\left| x \right|}^3} – 3\left| x \right|} \right|\]

☞ Từ đồ thị \[\left( C \right):y = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {u\left( x \right)} \right| \cdot v\left( x \right)\]

Ta có: \[y = \left| {u\left( x \right)} \right| \cdot v\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
u\left( x \right) \cdot v\left( x \right) = f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}u\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\
– u\left( x \right) \cdot v\left( x \right) = f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}u\left( x \right) < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

* Cách vẽ \[\left( {C’} \right)\] từ \[\left( C \right)\]:

+) Giữ nguyên phần đồ thị trên miền \[u\left( x \right) \geqslant 0\] của đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\]

+) Bỏ phần đồ thị trên miền \[u\left( x \right) < 0\] của \[\left( C \right)\], lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Ví dụ.

a) Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = 2{x^3} – 3{x^2} + 1\] suy ra đồ thị \[\left( {C’} \right):y = \left| {x – 1} \right|\left( {2{x^2} – x – 1} \right)\]

Ta có: \[y = \left| {x – 1} \right|\left( {2{x^2} – x – 1} \right) = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1 \hfill \\
– f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đồ thị \[\left( {C’} \right)\]:

+) Giữ nguyên \[\left( C \right)\] với \[x \geqslant 1\].

+) Bỏ \[\left( C \right)\] với \[x < 1\]. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của \[\left( C \right)\]: giao điểm với \[Ox\], \[Oy\], \[C\rlap{–} D\], \[CT\]…

b) Từ đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x – 1}}\] suy ra đồ thị \[y = \frac{x}{{\left| {x – 1} \right|}}\]

Ta có: \[y = \frac{x}{{\left| {x – 1} \right|}} = \left\{ \begin{gathered}
\frac{x}{{x – 1}}{\text{ }}khi{\text{ }}x \in \left( {1; + \infty } \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
– \frac{x}{{x – 1}}{\text{ }}khi{\text{ }}x \in \left( { – \infty ;1} \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đồ thị \[\left( {C’} \right)\]:

+) Bỏ phần đồ thị của \[\left( C \right)\] với \[x < 1\], giữ nguyên \[\left( C \right)\] với \[x > 1\]

+) Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua \[Ox\].

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác.

Bài viết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên miền \[D\]

+) Số \[M\] gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \leqslant M,\forall x \in D \hfill \\
\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = M \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Kí hiệu: \[M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\] hoặc \[M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\]

+) Số \[M\] gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \geqslant m,\forall x \in D \hfill \\
\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Kí hiệu: \[m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\] hoặc \[m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\]

Định lí

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] ta làm như sau:

+) Tìm các điểm \[{x_1};{x_2}; \ldots ;{x_n}\] thuộc \[\left( {a;b} \right)\] sao cho tại đó hàm số \[f\] có đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.

+) Tính \[f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right); \ldots ;f\left( {{x_n}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\].

+) So sánh các giá trị tìm được.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

Nếu:

\[\left. + \right){\text{ }}y’ > 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left. + \right){\text{ }}y’ < 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Chú ý:

Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm \[f\] rồi dựa vào nội dung của bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên khoảng (nửa khoảng) đó.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.

Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.

Bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm max, min trên đoạn bằng hàm số cụ thể, bảng biến thiên, đồ thị hàm số cho trên đoạn và khoảng.

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ { – 3;2} \right]\] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[\left[ { – 1;2} \right]\]. Giá trị của \[M + m\] bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = 3\] và \[m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\]

Vậy \[M + m = 3\]

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 4}}{x}\] trên đoạn \[\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 4}}{x} = – x – \frac{4}{x}\]

\[ \Rightarrow f’\left( x \right) = – 1 + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{ – {x^2} + 4}}{{{x^2}}}\]

Trên khoảng H12

Ta có: \[\left( {\frac{3}{2};4} \right):f’\left( x \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– {x^2} + 4 = 0 \hfill \\
\frac{3}{2} < x < 4\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\frac{3}{2} < x < 4\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = 2\]

Do hàm số \[f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\] nên \[M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{3}{2};4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = – 4\]

Câu 3. Kí hiệu \[M\] và \[m\] lần lượt là GTNN, GTLN của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\] trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\]. Tính giá trị \[\frac{M}{m}\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]

\[y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) – {x^2} – x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\] \[\left\{ \begin{gathered}
x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\
y’ = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1\]

Ta có: \[f\left( 0 \right) = 4;f\left( 1 \right) = 3;f\left( 3 \right) = 4\]

Do đó: \[m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 3;M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}\]

Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { – 2;3} \right]\] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi \[m\], \[M\] lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn \[\left[ { – 2;3} \right]\]. Giá trị của \[2m – 3M\] bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị ta xác định được \[m = – 3;M = 4\]

Ta có: \[2m – 3M = – 6 – 12 = – 18\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = \sqrt { – {x^2} + 4x + 21} – \sqrt { – {x^2} + 3x + 10} \], gọi \[{y_0}\] là GTNN của hàm số đã cho, đạt được tại điểm \[{x_0}\]. Tính \[6{x_0} + y_0^4\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left[ { – 2;5} \right]\]

Xét hàm số đã cho xác định và liên tục trên \[\left[ { – 2;5} \right]\]

Ta có: \[y’ = \frac{{ – x + 2}}{{\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} }}\] \[\left( { – 2 < x < 5} \right)\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – x + 2}}{{\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} }} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2x – 4} \right)\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} = \left( {2x – 3} \right)\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 2 < x < 5 \hfill \\
\left( {2x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) \geqslant 0 \hfill \\
{\left( {2x – 4} \right)^2}\left( { – {x^2} + 3x + 10} \right) = {\left( {2x – 3} \right)^2}\left( { – {x^2} + 4x + 21} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {2;5} \right) \hfill \\
25{\left( {2x – 3} \right)^2} = 49{\left( {x – 2} \right)^2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {2;5} \right) \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x = \frac{{29}}{{17}}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow x = \frac{1}{3} \in \left( { – 2;5} \right)\]

Xét: \[y\left( { – 2} \right) = 3;y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2 ;y\left( 5 \right) = 4\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;5} \right]} y = y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2 \]

Suy ra: \[{x_0} = \frac{1}{3};{y_0} = \sqrt 2 \Rightarrow 6{x_0} + y_0^4 = 10\]

Dạng 2. Tìm Max – Min bằng phương pháp đổi biến

Câu 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = si{n^2}x – 4sinx + 2\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = sinx{\text{ }}\left( { – 1 \leqslant t \leqslant 1} \right)\] hàm số đã cho trở thành \[y = f\left( t \right) = {t^2} – 4t + 2\]

Ta có: \[f’\left( t \right) = 2t – 4,{\text{ }}f’\left( t \right) < 0\] với \[\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]\]

Nên hàm số \[f\left( t \right)\] nghịch biến trên \[\left[ { – 1;1} \right]\]

Do đó \[\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = – 1\] và \[\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { – 1} \right) = 7\].

Vậy hàm số đã cho có GTLN là \[7\] và GTNN là \[ – 1\].

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( { – sinx + 2} \right)\]. Giá trị của \[M – m\] bằng?

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = – sinx + 2\] vì \[ – 1 \leqslant sinx \leqslant 1 \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]\]

Xét hàm số \[y = f\left( t \right)\] với \[t \in \left[ {1;3} \right]\]

Từ đồ thị đã cho, ta có:

\[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 3;{\text{ }}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = – 2\] \[ \Rightarrow M – m = 5\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên tập ℝ và có bảng biến thiên như sau:

Gọi \[M\]; \[m\] lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( {{x^2} – 2x} \right)\] trên đoạn \[\left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\]. Tìm tổng \[M + m\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = {x^2} – 2x\] với \[x \in \left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\]

Ta có: \[x \in \left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\] \[ \Leftrightarrow – \frac{5}{2} \leqslant x – 1 \leqslant \frac{5}{2}\] \[ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {x – 1} \right)^2} \leqslant \frac{{25}}{4}\] \[ \Leftrightarrow – 1 \leqslant {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 \leqslant \frac{{21}}{4}\]

Nên \[t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]\]

Xét hàm số \[y = f\left( t \right);{\text{ }}t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]\]

Từ bảng biến thiên suy ra: \[m = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2\]; \[M = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{{21}}{4}} \right) = 5\]

Do đó: \[M + m = 2 + 5 = 7\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ:

Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m\]. Tìm \[m\] để \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[t\left( x \right) = 2{x^3} + x – 1\] với \[x \in \left[ {0;1} \right]\].

Ta có: \[t’\left( x \right) = 6{x^2} + 1 > 0,{\text{ }}\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]

Suy ra hàm số \[t\left( x \right)\] đồng biến nên \[x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1;2} \right]\]

Từ đồ thị hàm số ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\]

Theo yêu cầu bài toán ta cần có: \[3 + m = – 10 \Leftrightarrow m = – 13\]

Dạng 3. Một số bài toán có chứa tham số.

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = – {x^3} – 3{x^2} + m\] trên đoạn \[\left[ { – 1;1} \right]\] bằng \[0\].

Hướng dẫn giải

\[y = f\left( x \right) = – {x^3} – 3{x^2} + m\]

Ta có: \[y’ – 3{x^2} – 6x \cdot y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \in \left[ { – 1;1} \right] \hfill \\
x = – 2 \notin \left[ { – 1;1} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[f\left( { – 1} \right) = m – 2;{\text{ }}f\left( 0 \right) = m;{\text{ }}f\left( 1 \right) = m – 4\]

Ta thấy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} \left[ {f\left( { – 1} \right);f\left( 0 \right);f\left( 1 \right)} \right] = m – 4\]

Suy ra yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow m – 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\]

Câu 2. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right|\] trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\] bằng \[16\]. Tổng tất cả các phần tử của \[S\] bằng?

Cách tìm GTLN, GTNN hàm số trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Tìm nghiệm \[{x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)\] của \[y’ = 0\] thuộc \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Tính các giá trị \[f\left( {{x_i}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\] so sánh các giá trị, suy ra GTLN, GTNN

Hướng giải: Tìm GTLN hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\], ta xét hàm số \[y = f\left( x \right)\]

Bước 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( x \right)\]

Bước 2: GTLN của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] tại \[\max f\left( x \right)\] hoặc \[\min f\left( x \right)\]

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = {x^3} – 3x + m\]

\[g’\left( x \right) = 3{x^2} – 3;{\text{ }}g’\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \in \left( {0;3} \right) \hfill \\
x = 1 \notin \left( {0;3} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[g\left( 0 \right) = m;{\text{ }}g\left( 1 \right) = – 2 + m;{\text{ }}g\left( 3 \right) = 18 + m\]

Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = 18 + m;{\text{ }}\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = – 2 + m\]

Để giá trị lớn nhất hàm số \[y = f\left( x \right)\] là \[16 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
18 + m = 16 \hfill \\
– 2 + m > – 16 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
– 2 + m = – 16 \hfill \\
18 + m < 16 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
m = – 2 \hfill \\
m > – 14 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
m = – 14 \hfill \\
m < – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[S = \left\{ { – 2; – 14} \right\}\] nên tổng là \[ – 2 – 14 = – 16\]

Câu 3. Gọi \[M\] là GTLN của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m} \right|\] trên đoạn \[\left[ { – 1;3} \right]\]. Có bao nhiêu số thực \[m\] để \[M = \frac{{59}}{2}\]?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số: \[u = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m\]

Có \[u’ = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x \Rightarrow u’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Khi đó \[\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = \min \left[ {u\left( { – 1} \right);u\left( 0 \right);u\left( 2 \right);u\left( 3 \right)} \right] = u\left( 2 \right) = m – 32 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = \max \left[ {u\left( { – 1} \right);u\left( 0 \right);u\left( 2 \right);u\left( 3 \right)} \right] = u\left( 3 \right) = m + 27 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do đó: \[M = \max \left( {\left| {m – 32} \right|;\left| {m + 27} \right|} \right) = \frac{{59}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
\left| {m – 32} \right| = \frac{{59}}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\left| {m – 32} \right| \geqslant \left| {m + 27} \right| \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
\left| {m + 27} \right| = \frac{{59}}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\left| {m + 27} \right| \geqslant \left| {m – 32} \right| \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]

Vậy có 1 số thực \[m\] để \[M = \frac{{59}}{2}\]

Câu 4. Xét hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\], với \[a,b\] là tham số. Gọi \[M\] là GTLN của hàm số trên \[\left[ { – 1;3} \right]\]. Khi \[M\] nhận GTNN tính \[T = a + 2b\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\max \left( {\left| A \right|,\left| B \right|} \right) \geqslant \frac{{\left| {A + B} \right|}}{2}{\text{ }}\left( 1 \right)\]. Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[A = B\]

Ta có: \[\max \left( {\left| A \right|,\left| B \right|} \right) \geqslant \frac{{\left| {A – B} \right|}}{2}{\text{ }}\left( 2 \right)\]. Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[A = – B\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = {x^2} + ax + b\], có \[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{a}{2}\]

TH1: \[ – \frac{a}{2} \notin \left[ { – 1;3} \right] \Leftrightarrow a \notin \left[ { – 6;2} \right]\]

Khi đó: \[M = \max \left( {\left| {1 – a + b} \right|,\left| {9 + 3a + b} \right|} \right)\]

Áp dụng bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] ta có: \[M \geqslant \left| {4 + 2a} \right| > 8\]

TH2: \[ – \frac{a}{2} \in \left[ { – 1;3} \right] \Leftrightarrow a \in \left[ { – 6;2} \right]\]

Khi đó: \[M = \max \left( {\left| {1 – a + b} \right|,\left| {9 + 3a + b} \right|,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right)\]

Áp dụng bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có:

\[M \geqslant \max \left( {\left| {5 + a + b} \right|,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right)\]

\[ \Leftrightarrow M \geqslant \frac{1}{8}\left| {20 + 4a + {a^2}} \right|\]

\[ \Leftrightarrow M \geqslant \frac{1}{8}\left| {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^2}} \right|\]

Suy ra: \[M \geqslant 2\]

Ta có \[M\] nhận GTNN có thể được là \[M \geqslant 2\] khi \[\left\{ \begin{gathered}
a = – 2 \hfill \\
5 + a + b = – \frac{{{a^2}}}{2} – b\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
1 – a + b = 9 + 3a + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 2 \hfill \\
b = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[a + 2b = – 4\]

Câu 5. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left| {8{x^4} + a{x^2} + b} \right|\], trong đó \[a,b\] là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa \[a\] và \[b\] để GTLN của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { – 1;1} \right]\] bằng \[1\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = {x^2}\], vì x∈\[\left[ { – 1;1} \right]\] nên \[t \in \left[ {0;1} \right]\]

Ta có: \[g\left( t \right) = 8{t^2} + at + b\], đây là parabol có bề lõm quay lên và có toạ độ đỉnh là \[I\left( { – \frac{a}{6}; – \frac{{{a^2}}}{{32}} + b} \right)\]

TH1: \[ – \frac{a}{6} \in \left[ {0;1} \right]\]. Theo yêu cầu bài toán ta có:

\[\left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant g\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant g\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant – \frac{{{a^2}}}{{32}} + b \leqslant 1\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1 \hfill \\
– 32 \leqslant 32b – {a^2} \leqslant 32 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\
– 32 \leqslant {a^2} – 32b \leqslant 32{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Lấy \[\left( 1 \right)\]+32\[\left( 3 \right)\] ta có: \[ – 64 \leqslant {a^2} \leqslant 64\] do đó \[ – 8 \leqslant a \leqslant 8\]

Lấy \[\left( 3 \right)\]+32\[\left( 2 \right)\] ta có: \[ – 64 \leqslant {a^2} + 32a + 256 \leqslant 64\]

Suy ra: \[{a^2} + 32a + 192 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 24 \leqslant a \leqslant – 8\]

Khi đó ta có: \[a = – 8\] và \[b = 1\]

Thử lại: \[g\left( t \right) = 8{t^2} – 8t + 1 = 2{\left( {2t – 1} \right)^2} – 1\]

Vì \[0 \leqslant t \leqslant 1\] nên \[ – 1 \leqslant 2t – 1 \leqslant 1\] \[ \Rightarrow 0 \leqslant {\left( {2t – 1} \right)^2} \leqslant 1\] \[ \Rightarrow – 1 \leqslant g\left( t \right) = 2{\left( {2t – 1} \right)^2} – 1 \leqslant 1\]

Ta có: \[\max \left| {g\left( t \right)} \right| = 1\] khi \[t = 1 \Rightarrow x = \pm 1\]. Nên \[a = – 8\] và \[b = 1\] (thoả mãn)

TH2: \[ – \frac{a}{6} \notin \left[ {0;1} \right]\]. Theo yêu cầu bài toán ta có:

\[\left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant g\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant g\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow – 2 \leqslant a + 8 \leqslant 2 \Rightarrow – 10 \leqslant a \leqslant – 6\] (loại)

Vậy \[a = – 8\] và \[b = 1\]

Câu 6. Cho hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\], \[\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant 1\], \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]. Tìm GTLN của \[f’\left( 0 \right)\].

Hướng dẫn giải

\[f’\left( x \right) = 2ax + b \Rightarrow f’\left( 0 \right) = b\]

Bài toán trở thành tìm GTLN của \[b\] với điều kiện \[\left| {f\left( x \right)} \right|{\text{ }} \leqslant 1\], \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]

Ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = c \hfill \\
f\left( 1 \right) = a + b + c \hfill \\
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a + b = f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) \hfill \\
a + 2b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – 4f\left( 0 \right) \hfill \\
c = f\left( 0 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – f\left( 1 \right) – 3f\left( 0 \right)\]

\[\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant f\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant f\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant f\left( {\frac{1}{2}} \right) \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + \left[ { – f\left( 1 \right)} \right] + 3\left[ { – f\left( 0 \right)} \right] \leqslant 4 + 1 + 3 = 8\]

Đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 \hfill \\
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
f\left( 0 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c = – 1 \hfill \\
a + b + c = – 1 \hfill \\
\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 1\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 8 \hfill \\
b = 8 \hfill \\
c = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\] \[ \Rightarrow f\left( x \right) = – 8{x^2} + 8x – 1\]

Vậy GTLN của \[f’\left( 0 \right) = 8\]

Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số \[m\] sao cho phương trình \[f\left( {x,m} \right) = 0\] có nghiệm (có ứng dụng GTLN, GTNN).

Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

Bước 2: Đặt \[t = u\left( x \right)\] hoặc \[x = u\left( t \right)\]. Tìm tập giá trị \[K\] của \[t\]. Chuyển bài toán về tìm điều kiện của \[m\] để phương trình \[g\left( t \right) = h\left( m \right)\] có nghiệm thuộc \[K\].

Bước 3: Tìm GTLN, GTNN của \[g\left( t \right)\] hoặc tập giá trị của \[g\left( t \right)\] trên \[K\] để suy ra điều kiện của \[m\].

Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp:

+) Xuất hiện biểu thức đối xứng: \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {ax + b} \pm \sqrt {cx + d} \hfill \\
\sqrt {\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right)} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

PP: Đặt \[t = \sqrt {ax + b} + \sqrt {cx + d} \]

+) Xuất hiện \[\sqrt {a + bx} \] và \[\sqrt {c – bx} \] \[\left( {a + c > 0} \right)\]

PP: Vì \[{\left( {\sqrt {a + bx} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {c – bx} } \right)^2} = a + c\]

Nên đặt \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {a + bx} = \sqrt {a + c} \sin \alpha \hfill \\
\sqrt {c – bx} = \sqrt {a + c} \cos \alpha \hfill \\
\end{gathered} \right.,{\text{ }}\alpha \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]

Và sử dụng hệ thức\[\left\{ \begin{gathered}
\sin \alpha = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
2\tan \frac{\alpha }{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\cos \alpha = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 – {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\end{gathered} \right.\], tiếp tục đặt \[t = \tan \frac{\alpha }{2},{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]

Ta được một phương trình ẩn \[t\].

Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình sau có nghiệm:

\[6 – x + 2\sqrt {2\left( {x – 1} \right)\left( {4 – x} \right)} = m + 4\sqrt {x – 1} + 4\sqrt 2 \cdot \sqrt {4 – x} \]

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \[1 \leqslant x \leqslant 4\]

Phương trình đã cho tương đương:

\[6 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} – 4\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} } \right) = m{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Đặt \[t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \]

Xét hàm số \[t\left( x \right) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \] liên tục trên đoạn \[\left[ {1;4} \right]\], có:

\[t’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} + \frac{{ – 2}}{{2\sqrt {8 – 2x} }} = \frac{{\sqrt {8 – 2x} – 2\sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} \cdot \sqrt {8 – 2x} }}\]

Ta có: \[t’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 – 2x} = 2\sqrt {x – 1} \Leftrightarrow x = 2\]

Lại có: \[t\left( 1 \right) = \sqrt 6 ;{\text{ }}t\left( 2 \right) = 3;{\text{ }}t\left( 4 \right) = \sqrt 3 \]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} t\left( x \right) = t\left( 4 \right) = \sqrt 3 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} t\left( x \right) = t\left( 2 \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vì \[t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \]

\[ \Rightarrow {t^2} = 7 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow {t^2} – 1 = 6 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} \]

Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[{t^2} – 4t – 1 = m{\text{ }}\left( 2 \right)\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} – 4t – 1\] liên tục trên đoạn \[\left[ {\sqrt 3 ;3} \right]\], có: \[f’\left( t \right) = 2t – 4\]

Ta có: \[f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\]

Lại có: \[f\left( {\sqrt 3 } \right) = 2 – 4\sqrt 3 ;{\text{ }}f\left( 2 \right) = – 5;{\text{ }}f\left( 3 \right) = – 4\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = – 5 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left( 1 \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow \left( 2 \right)\] có nghiệm \[{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]}\]

\[ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) \leqslant m \leqslant \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) \Leftrightarrow – 5 \leqslant m \leqslant – 4\]

Vậy \[ – 5 \leqslant m \leqslant – 4\] là các giá trị \[m\] cần tìm.

Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình sau có nghiệm:

\[\left( {2m – 1} \right)\sqrt {x + 3} + \left( {m – 2} \right)\sqrt {1 – x} + m – 1 = 0\]

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \[ – 3 \leqslant x \leqslant 1\]

Phương trình đã cho tương đương:

\[m\left( {2\sqrt {x + 3} + \sqrt {1 – x} + 1} \right) = \sqrt {x + 3} + 2\sqrt {1 – x} + 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x + 3} + 2\sqrt {1 – x} + 1}}{{2\sqrt {x + 3} + \sqrt {1 – x} + 1}} = m{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Ta có: \[{\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {1 – x} } \right)^2} = 4\]. Nên đặt \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {x + 3} = 2\sin a \hfill \\
\sqrt {1 – x} = 2\cos a \hfill \\
\end{gathered} \right.,{\text{ }}a \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]

Sử dụng: \[\left\{ \begin{gathered}
\sin a = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
2\tan \frac{a}{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\cos a = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 – {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\end{gathered} \right.\], và đặt \[t = \tan \frac{a}{2},{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]

Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[\frac{{ – 3{t^2} + 4t + 5}}{{ – {t^2} + 8t + 3}} = m,{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]

Xét hàm số: \[f\left( t \right) = \frac{{ – 3{t^2} + 4t + 5}}{{ – {t^2} + 8t + 3}}\] liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\]

Ta có: \[f’\left( t \right) = \frac{{ – 20{t^2} – 8t – 28}}{{{{\left( { – {t^2} + 8t + 3} \right)}^2}}} < 0,{\text{ }}\forall t \in \left[ {0;1} \right]\]

⇒ Hàm số \[f\left( t \right)\] nghịch biến trên \[\left[ {0;1} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = \frac{3}{5}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = \frac{5}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left( 1 \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ { – 3;1} \right] \Leftrightarrow \left( 2 \right)\] có nghiệm \[t \in \left[ {0;1} \right]\]

\[ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) \leqslant m \leqslant \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{5} \leqslant m \leqslant \frac{5}{3}\]

Vậy \[\frac{3}{5} \leqslant m \leqslant \frac{5}{3}\] là các giá trị \[m\] cần tìm

Dạng 5. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in K\] (có ứng dụng GTLN, GTNN)

Phương pháp

Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {a;b} \right]\]

\[m > f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \geqslant f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m < f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \leqslant f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m > f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \geqslant f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m < f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \leqslant f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {a;b} \right)\]

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để bất phương trình \[6x + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} \leqslant {x^2} + m – 1\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\]

Hướng dẫn giải

Bất phương trình tương đương với \[ – {x^2} + 6x + 16 + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} – 15 \leqslant m\]

Đặt \[t = \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} \], với \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\] thì \[t \in \left[ {0;5} \right]\]

Bất phương trình trở thành \[{t^2} + t – 15 \leqslant m\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} + t – 15\] trên đoạn \[\left[ {0;5} \right]\], ta có bảng biến thiên như hình sau:

Suy ra bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\] khi và chỉ khi \[m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( t \right) = 15\]

Câu 2. Cho phương trình \[4\sqrt {6 + x – {x^2}} – 3x \leqslant m\left( {\sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} } \right)\]. Tìm \[m\] để bất phương trình đã cho có nghiệm thực?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[ – 2 \leqslant x \leqslant 3\]

Đặt \[t = \sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} \] với \[x \in \left[ { – 2;3} \right]\]

Ta có: \[t’ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} – \frac{1}{{\sqrt {3 – x} }} = \frac{{\sqrt {3 – x} – 2\sqrt {x + 2} }}{{2\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {3 – x} }}\]

\[t’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 – x} = 2\sqrt {x + 2} \Leftrightarrow x = – 1\]

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: \[t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\]

Do \[t = \sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} \Leftrightarrow 4\sqrt {6 + x – {x^2}} – 3x = {t^2} – 14\] nên bất phương trình đã cho trở thành:

\[{t^2} – 14 \leqslant mt \Leftrightarrow \frac{{{t^2} – 14}}{t} \leqslant m\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 14}}{t}\] với \[t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\], ta có:

\[f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 14}}{{{t^2}}} > 0,{\text{ }}\forall t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right] \Rightarrow f\left( t \right)\] đồng biến trên \[\left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\]

Bất phương trình đã cho có nghiệm thực \[ \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 5 ;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\sqrt 5 } \right) \Leftrightarrow m \geqslant – \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\]

Câu 3. Tìm \[m\] để bất phương trình \[\sqrt x + \sqrt {9 – x} \geqslant \sqrt { – {x^2} + 9x + m} {\text{ }}\left( 1 \right)\] có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[0 \leqslant x \leqslant 9\]

Ta có: \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 9 – x + 2\sqrt {x\left( {9 – x} \right)} \geqslant – {x^2} + 9x + m\]

\[ \Leftrightarrow 9 + 2\sqrt { – {x^2} + 9x} \geqslant – {x^2} + 9x + m{\text{ }}\left( 2 \right)\]

Đặt \[t = \sqrt { – {x^2} + 9x} \] do \[0 \leqslant x \leqslant 9\] suy ra \[0 \leqslant t \leqslant \frac{9}{2}\]

Nên \[\left( 2 \right)\] trở thành \[9 + 2t \geqslant {t^2} + m \Leftrightarrow – {t^2} + 2t + 9 \geqslant m{\text{ }}\left( 3 \right)\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = – {t^2} + 2t + 9,{\text{ }}0 \leqslant t \leqslant \frac{9}{2}\]

Bảng biến thiên

Suy ra \[\left( 1 \right)\] có nghiệm khi và chỉ khi \[\left( 3 \right)\] có nghiệm \[t \in \left[ {0;\frac{9}{2}} \right]\], nên \[ – \frac{9}{4} \leqslant m \leqslant 10\]

Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên ℝ. Hàm số \[y = f’\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ

Tìm \[m\] sao cho bất phương trình \[f\left( {2\sin x} \right) – 2{\sin ^2}x < m\] đúng với mọi \[x \in \left( {0;\pi } \right)\]?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \sin x \in \left( {0;1} \right]\]

Đặt \[t = 2\sin x{\text{ }}\left( {t \in \left( {0;2} \right]} \right)\] ta có:

\[f\left( {2\sin x} \right) – 2{\sin ^2}x < m\] đúng với mọi \[x \in \left( {0;\pi } \right)\]

\[ \Leftrightarrow f\left( t \right) – \frac{1}{2}{t^2} < m\] đúng với mọi \[t \in \left( {0;2} \right]\]

Xét \[g\left( t \right) = f\left( t \right) – \frac{1}{2}{t^2}\] với \[t \in \left( {0;2} \right]\]

\[g’\left( t \right) = f’\left( t \right) – {t^2}\]

Từ đồ thị của hàm số \[y = f’\left( x \right)\] và \[y = x\] (hình vẽ) ta có BBT của \[g\left( t \right)\] như sau:

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left( {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) – \frac{1}{2}\]

Vậy yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow m > g\left( 1 \right) \Leftrightarrow m > f\left( 1 \right) – \frac{1}{2}\]

Dạng 6. Bài toán thực tế

Phương pháp

Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước.

Chú ý:

Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Một số bất đẳng thức thường dùng.

+) Bất đẳng thức AM-GM:

• Cho hai số thực \[a,b \geqslant 0\] ta có: \[\frac{{a + b}}{2} \geqslant \sqrt {ab} \] hay \[a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b\]

• Cho ba số thực \[a,b,c \geqslant 0\] ta có: \[\frac{{a + b + c}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{abc}}\] hay \[a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}\]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = c\]

+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

• Cho hai bộ số thực \[\left( {a;b} \right)\], \[\left( {x;y} \right)\] ta có:

\[\left| {ax + by} \right| \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[ay = bx\]

• Cho hai bộ số thực \[\left( {a;b;c} \right)\], \[\left( {x;y;z} \right)\] ta có:

\[\left| {ax + by + cz} \right| \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} \]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a:b:c = x:y:z\]

Câu 1. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[S\left( t \right) = – \frac{1}{4}{t^4} + 3{t^2} – 2t – 4\], trong đó \[t\] tính bằng giây \[\left( s \right)\] và \[S\] tính bằng mét \[\left( m \right)\]. Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt GTLN?

Hướng dẫn giải

Vận tốc của chuyển động được xác định bởi \[v\left( t \right) = S’\left( t \right) = – {t^3} + 6t – 2\]

Ta có: \[v’\left( t \right) = – 3{t^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = \sqrt 2 \hfill \\
t = – \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do \[t{\text{ }} > {\text{ }}0\], nên ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra vận tốc của chuyển động đạt GTLN tại \[t = \sqrt 2 \].

Câu 2. Hằng ngày mực nước của hồ thuỷ điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian \[t\] (giờ) trong ngày cho bởi công thức:

\[h\left( t \right) = – \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t{\text{ }}\left( {t > 0} \right)\]

Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

Hướng dẫn giải

Xét \[h\left( t \right) = – \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t{\text{ }}\left( {t > 0} \right)\]

Ta có: \[h’\left( t \right) = – {t^2} + 10t + 24\]

\[h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – {t^2} + 10t + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 12 \hfill \\
t = – 2 \notin \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.

Câu 3. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \[F\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2}\left( {30 – x} \right)\], trong đó \[x\] là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (\[x\] được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[F\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2}\left( {30 – x} \right){\text{ }}\left( {0 < x < 30} \right)\]

\[ \Rightarrow F’\left( x \right) = \frac{1}{{40}}\left( { – 3{x^2} + 60x} \right)\]

\[F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{40}}\left( { – 3{x^2} + 60x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \notin \left( {0;30} \right) \hfill \\
x = 20 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Ta có huyết áp giảm nhiều nhất \[ \Leftrightarrow F\left( x \right)\] lớn nhất trên \[\left( {0; + \infty } \right)\].

Dựa vào BBT ta thấy \[\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} F\left( x \right) = F\left( {20} \right) = 100\] nên liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân là \[x = 20\].

Câu 4. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là \[60{\text{ }}cm\], thể tích \[96000{\text{ }}c{m^3}\]. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành \[70000{\text{ }}vnd/{m^2}\] và loại kính để làm mặt đáy có giá thành \[100000{\text{ }}vnd/{m^2}\]. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

Hướng dẫn giải

Gọi \[x,y\] \[\left( m \right)\] \[\left( {x > 0,y > 0} \right)\] là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.

Khi đó theo đề ta suy ra: \[0,6xy = 0,096\] hay \[y = \frac{{0,16}}{x}\]

Giá thành của bể cá được xác định theo giá trị hàm số sau:

\[f\left( x \right) = 2 \cdot 0,6\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) \cdot 70000 + 100000 \cdot x \cdot \frac{{0,16}}{x}\]

Ta có: \[f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000\]

Suy ra: \[f’\left( x \right) = 84000\left( {1 – \frac{{0,16}}{{{x^2}}}} \right)\] \[ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\]

Bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là \[f\left( {0,4} \right) = 83200{\text{ }}vnd\]

Câu 5. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận được \[32\] lít và \[72\] lít xăng trong một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là \[10\] lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu.

Hướng dẫn giải

Gọi \[x\] (lít) \[\left( {0 < x < 10} \right)\] là số xăng An sử dụng trong 1 ngày.

Khi đó: \[10 – x\] (lít) là số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày.

Suy ra: \[f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 – x}},{\text{ }}x \in \left( {0;10} \right)\] là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được khoán.

Xét hàm số \[f\left( x \right)\] ta có: \[f’\left( x \right) = – \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 – x} \right)}^2}}}\]

\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 – x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4 \hfill \\
x = – 20 \notin \left( {0;10} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 – x}},{\text{ }}x \in \left( {0;10} \right)\]

Dựa vào BBT ta có sau ít nhất \[20\] ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán.

Câu 6. Người ra cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \[200{\text{ }}{m^3}\]. Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là \[300000{\text{ }}vnd/{m^2}\] (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi pí thấp nhất để xây bể (làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng)

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của khối hộp là \[x\] \[\left( m \right)\], \[x > 0\] \[ \Rightarrow \] chiều dài của khối hộp là \[2x\] và chiều cao của khối hộp là \[\frac{{200}}{{2x \cdot x}} = \frac{{100}}{{{x^2}}}\]. Ta có:

Diện tích xung quanh của bể chứ là \[{S_{xq}} = 2\left( {x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}} + 2x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}}} \right)\]

Diện tích mặt đáy của bể là S\[{S_1} = 2 \cdot x \cdot x\]

Do đó diện tích xây dựng của bể là:

\[S = {S_{xq}} + {S_1} = 2\left( {x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}} + 2x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}}} \right) + 2 \cdot x \cdot x = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}{\text{ }}\left( {{m^2}} \right)\]

Chi phí xây dựng bể là:

\[C\left( x \right) = \left( {2{x^2} + \frac{{600}}{x}} \right) \cdot 3 \cdot {10^5}\] (đồng)

Tìm GTNN của \[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}\] khi \[x > 0\]

Vì \[x > 0\] nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm ta được

\[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{600}}{x} = 2{x^2} + \frac{{300}}{x} + \frac{{300}}{x} \geqslant 3\sqrt[3]{{2 \cdot 300 \cdot 300}}\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{gathered}
2{x^2} = \frac{{300}}{x}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{150}}\]

Do đó: \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt[3]{{150}}} \right) = 3\sqrt[3]{{180000}}\]

Chi phí thấp nhất để xây bể là:

\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) \cdot 300 = 3\sqrt[3]{{180000}} \cdot 300 \approx 50,81595\] triệu đồng

Vậy chi phí thấp nhất để xây bể xấp xỉ là \[51\] triệu đồng.

Bài viết Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và điểm \[{x_0} \in \left( {a;b} \right)\]

+) Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\] với mọi \[x \in \left( {{x_0}–h;{x_0} + h} \right)\] và \[x \ne {x_0}\] thì ta nói hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực đại tại \[{x_0}\].

+) Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\] với mọi \[x \in \left( {{x_0}–h;{x_0} + h} \right)\] và \[x \ne {x_0}\] thì ta nói hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực tiểu tại \[{x_0}\].

Chú ý:

+) Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực đại tại \[{x_0}\] thì \[{x_0}\] được gọi là điểm cực đại của hàm số;f(\[{x_0}\]) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là \[{f_{C\rlap{–} D}}\] \[\left( {{f_{CT}}} \right)\], còn điểm \[M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\] được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\]. Khi đó nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì \[f’\left( x \right) = 0\]

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[K = ({x_0}–h;{x_0} + h)\] và có đạo hàm trên K hoặc trên \[K\backslash \{ {x_0}\} \], với \[h > 0\].

+) Nếu \[f’\left( x \right) > 0\] trên khoảng \[({x_0}–h;{x_0})\] và \[f’\left( x \right) < 0\] trên \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực đại của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

+) Nếu \[f’\left( x \right) < 0\] trên khoảng \[({x_0}–h;{x_0})\] và \[f’\left( x \right) > 0\] trên \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực tiểu của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Minh họa bằng bảng biến thiên

Chú ý:

+) Giá trị cực đại f(\[{x_0}\]) của hàm số \[y = f\left( x \right)\] nói chung không phải là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên tập xác định của nó.

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng \[0\] hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng \[0\] tại điểm \[{x_0}\] nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\].

Định lí 3:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm cấp hai trong khoảng \[K = ({x_0}–h;{x_0} + h)\] với \[h > 0\]. Khi đó:

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) > 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực tiểu.

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) < 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực đại.

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) = 0\] thì phải lập bảng biến thiên để kết luận.

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \[f’\left( x \right)\]. Tìm các điểm tại đó \[f’\left( x \right)\] bằng \[0\] hoặc \[f’\left( x \right)\] không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \[f’\left( x \right)\]. Giải phương trình \[f’\left( x \right) = 0\] và ký hiệu \[{x_i}\left( {i = 1, 2, 3, …} \right)\] là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính \[f”\left( x \right)\] và \[f”\left( {{x_i}} \right)\]

Bước 4: Dựa vào dấu của \[f”\left( {{x_i}} \right)\] suy ra tính chất cực trị của điểm \[{x_i}\].

Hệ thống bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho bởi biểu thức.

Câu 1. Tìm cực trị của hàm số \[y = {x^3}–3{x^2}–9x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có: \[y’ = 3{x^2}–6x–9\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}–6x–9 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Cách 1: Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \[x = – 1\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 6\] và đạt cực tiểu tại \[x = 3\], \[{y_{CT}} = – 26\]

Cách 2: \[y” = 6x–6\]

\[y”\left( { – 1} \right) = – 12 < 0\] \[ \Rightarrow \] Hàm số đạt cực đại tại \[x = – 1\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 6\]

\[y”\left( 3 \right) = 12 > 0\] \[ \Rightarrow \] Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 3\], \[{y_{CT}} = – 26\]

Câu 2. Tìm cực trị của hàm số \[y = – 2{x^3}–3{x^2}–6x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = – 6{x^2} – 6x – 6 = – 6\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right] < 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Câu 3. Tìm cực trị của hàm số \[y = {\left( {1–x} \right)^3}{\left( {3x–8} \right)^2}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = 15{\left( {1–x} \right)^2}\left( {3x–8} \right)\left( {2–x} \right)\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{8}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ta có bảng biến thiên

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \[x = \frac{8}{3}\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 0\] và hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\], \[{y_{CT}} = – 4\]

Dạng 2. Riêng về cực trị hàm bậc 3

Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right){\text{ }}\left( 1 \right)\]

+) Ta có: \[y’ = 3a{x^2} + 2bx + c\]; \[\Delta’ = {b^2}–3ac\]

• Hàm số không có điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ \leqslant 0\].
• Hàm số có hai điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ > 0\].

+) Trong trường hợp \[\Delta’ > 0\] , gọi \[A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \[\left( 1 \right)\], trong đó \[{x_1}\], \[{x_2}\] là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \[y’ = 0\].

Ta có: \[f\left( x \right) = \left( {mx + n} \right) \cdot f’\left( x \right) + r\left( x \right)\], với \[r\left( x \right)\] là nhị thức bậc nhất.

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{y_1} = f\left( {{x_1}} \right) = r\left( {{x_1}} \right) \hfill \\
{y_2} = f\left( {{x_2}} \right) = r\left( {{x_2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra tọa độ \[A\], \[B\] thỏa mãn phương trình \[y = r\left( x \right)\]

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị \[A\], \[B\] là \[y = r\left( x \right)\]

Công thức tính nhanh:

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, của đồ thị hàm số \[\left( 1 \right)\] là:

\[y = r\left( x \right) = – \frac{{2\Delta’}}{{9a}}x + \frac{{9ad – bc}}{{9a}}\]

Cách dùng MTCT

+) Nhập biểu thức: \[a{x^3} + b{x^2} + cx + d – \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {\frac{x}{3} + \frac{b}{{9a}}} \right)\]

+) Cho \[x = i\] ta được kết quả \[Ai + B\]. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \[y = Ax + B\]

Câu 1. Với giá trị nào của tham số \[m\] thì hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 4m + 3} \right)x + 2021 – 2020m\] có cực trị?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = {x^2}–2mx + \left( {{m^2}–4m + 3} \right)\]

Hàm số có cực đại, cực tiểu \[ \Leftrightarrow \] \[y’ = 0\] có 2 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ = {m^2}–\left( {{m^2}–4m + 3} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow \] \[4m–3 > 0\] \[ \Leftrightarrow \] \[m > \frac{3}{4}\]

Vậy \[m > \frac{3}{4}\] thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = m{x^3}–\left( {2m–1} \right){x^2} + 2mx–m–1\] có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình \[m{x^3}–\left( {2m–1} \right){x^2} + 2mx–m–1\] có 2 nghiệm phân biệt

Ta có: \[m{x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + 2mx – m – 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left[ {m{x^2} – \left( {m – 1} \right)x + m + 1} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
m{x^2} – \left( {m – 1} \right)x + m + 1 = 0{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt \[\left( * \right)\] có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m – \left( {m – 1} \right) + m + 1 \ne 0 \hfill \\
{\left( {m – 1} \right)^2} – 4m\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m + 2 \ne 0 \hfill \\
– 3{m^2} – 6m + 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m \ne – 2 \hfill \\
\frac{{ – 3 – 2\sqrt 3 }}{3} < m < \frac{{ – 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do \[m \in \mathbb{Z}\] \[ \Rightarrow \] \[m = – 1\]

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số thoả mãn đề bài.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: \[y’ = {x^2} – 2mx + m + 2\]

\[y’ = 0\]\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2} – 2mx + m + 2 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( * \right)\]

Phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của hàm số là

\[y = \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)x + \frac{1}{3}m\left( {m + 2} \right)\]

Gọi \[A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, khi đó để hàm số có giá trị cực đại và cực tiểu dương thì \[{y_1} + {y_2} > 0\] và đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

Theo định lý Viet ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2m\].

Nên \[{y_1} + {y_2} > 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{2}{3}m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)\left( {2m} \right) + \frac{2}{3}m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow 2m\left( { – 2{m^2} + 3m + 6} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {57} }}{4}} \right) \cup \left( {0;\frac{{3 + \sqrt {57} }}{4}} \right){\text{ }}\left( {**} \right)\]

Để đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình \[y = 0\] có 1 nghiệm đơn duy nhất, khi đó \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\] có một nghiệm đơn duy nhất.

Ta có: \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3mx + 3m + 6} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} – 3mx + 3m + 6 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có một nghiệm duy nhất thì phương trình \[\left( 3 \right)\] vô nghiệm, khi đó điều kiện là \[\Delta = 9{m^2} – 12m – 24 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2 – 2\sqrt 7 }}{3} < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}{\text{ }}\left( {***} \right)\]

Kết hợp \[\left( * \right)\], \[\left( {**} \right)\], \[\left( {***} \right)\] ta được tập các giá trị của \[m\] thoả mãn là \[2 < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\]

Cách 2:

Ta có: \[y’ = {x^2} – 2mx + m + 2\]

\[y’ = 0\]\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2} – 2mx + m + 2 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt, khi đó:

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]

Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dương thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất và giá trị tại điểm uốn luôn dương.

Để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình \[y = 0\] có 1 nghiệm duy nhất, khi đó \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\] có một nghiệm đơn duy nhất.

Ta có: \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3mx + 3m + 6} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} – 3mx + 3m + 6 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có một nghiệm duy nhất thì phương trình \[\left( 3 \right)\] vô nghiệm, khi đó điều kiện là \[\Delta = 9{m^2} – 12m – 24 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2 – 2\sqrt 7 }}{3} < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}{\text{ }}\left( {**} \right)\]

Để giá trị tại điểm uốn luôn dương:

\[{y’ = {x^2} – 2mx + m + 2}\]

\[{y” = 2x – 2m}\]

\[{y” = 0 \Leftrightarrow 2x – 2m = 0 \Leftrightarrow x = m}\]

Ta có: \[{y_{\left( m \right)}} > 0 \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{3} – {m^3} + m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m\left( { – 2{m^2} + 3m + 6} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {57} }}{4}} \right) \cup \left( {0;\frac{{3 + \sqrt {57} }}{4}} \right){\text{ }}\left( {***} \right)\]

Kết hợp \[\left( * \right)\], \[\left( {**} \right)\], \[\left( {***} \right)\] ta được tập các giá trị của \[m\] thoả mãn là \[2 < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\]

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^2} + 3\] có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\[y’ = 3{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} – 2\] có \[\Delta’ = – 2{m^2} + 2m + 7\]

Để đồ thị hàm số \[y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^2} + 3\] có hai cực trị thì \[{y’}\] đổi dấu hai lần, tức là \[{y’}\] có hai nghiệm phân biệt, tương đương

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow – 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – \sqrt {15} }}{2} < m < \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\]

Vì \[m \in \mathbb{Z}\] nên được \[m \in \left\{ { – 1;0;1;2} \right\}\]

Lúc này hai nghiệm \[{x_1}\];\[{x_2}\] của \[{y’}\] lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số.

Hai điểm cực trị đó nằm cùng 1 phía đối với trục hoành khi và chỉ khi \[f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) > 0\], tương đương đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm, tức là, phương trình \[{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^3} = 0\] có duy nhất một nghiệm thực.

Xét \[m = – 1\] thì phương trình là \[{x^3} – x + 2 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = – 1\]

Xét \[m = 0\] thì phương trình là \[{x^3} – {x^2} – 2x + 3 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = 0\]

Xét \[m = 1\] thì phương trình là \[{x^3} – 2{x^2} – x + 2 = 0\]: phương trình này có ba nghiệm thực phân biệt nên loại \[m = 1\]

Xét \[m = 2\] thì phương trình là \[{x^3} – 3{x^2} + 2x – 1 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = 2\]

Vậy \[m \in \left\{ { – 1;0;2} \right\}\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = {x^3} – 6mx + 4\] có đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\] cắt đường tròn tâm \[I\left( {1;0} \right)\], bán kính \[\sqrt 2 \] tại hai điểm phân biệt \[A\]; \[B\] sao cho tam giác \[IAB\] có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[y = {x^3} – 6mx + 4\] có tập xác định \[\mathbb{R}\].

\[y’ = 3{x^2} – 6m\]; \[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2m\]

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] \[{y’}\] đổi dấu 2 lần

\[ \Leftrightarrow \] \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Ta có: \[y = \frac{1}{3}y’x – 4mx + 4\]

Gọi \[M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
y’\left( {{x_1}} \right) = y’\left( {{x_2}} \right) = 0 \hfill \\
{y_1} = y\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{3}y’\left( {{x_1}} \right){x_1} – 4m{x_1} + 4 \hfill \\
{y_2} = y\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{3}y’\left( {{x_2}} \right){x_2} – 4m{x_2} + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{y_1} = – 4m{x_1} + 4 \hfill \\
{y_2} = – 4m{x_2} + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra \[M\], \[N\] thuộc đường thẳng \[d\] có phương trình \[y = – 4mx + 4\]

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của \[\left( {{C_m}} \right)\] là \[y = – 4mx + 4\]

Gọi \[\left( T \right)\] là đường tròn có tâm \[I\left( {1;0} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt 2 \]

Đường thẳng \[d\] cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \[A\], \[B\] và tạo thành tam giác \[IAB\]

\[ \Leftrightarrow 0 < d\left( {I;d} \right) < R\]

\[ \Leftrightarrow 0 < d\left( {I;d} \right) < \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 1 \hfill \\
\frac{{\left| { – 4m + 4} \right|}}{{\sqrt {16{m^2} + 1} }} < \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Cách 1:

Do đường thẳng \[d\] luôn đi qua điểm \[K\left( {0;4} \right)\],\[IK = \sqrt {17} > R\] \[ \Rightarrow \] \[K\] nằm ngoài đường tròn nên tồn tại hai điểm \[A\], \[B\] là giao điểm của \[d\] với đường tròn để tam giác \[IAB\] vuông tại \[I\].

Do đó: \[{S_{IAB}} = \frac{1}{2}IA \cdot IB \cdot \sin \widehat {AIB} \leqslant \frac{1}{2}IA \cdot IB\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow IA \bot IB\]

\[ \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 4m + 4} \right|}}{{\sqrt {16{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{32}}\]

Bình luận: Nếu đường thẳng \[d\] luôn đi qua điểm \[K\] cố định mà \[IK < \frac{R}{{\sqrt 2 }}\] thì sẽ không có vị trí của đường thẳng \[d\] để tam giác \[IAB\] vuông tại \[I\]. Khi đó, nếu làm như trên sẽ bị sai. Trong trường hợp đón thì ta phải đặt \[d\left( {I;d} \right) = t\] \[\left( {0 < t \leqslant l} \right)\], với \[l\] là độ dài đoạn thẳng \[IK\], rồi tính \[{S_{\Delta IAB}}f\left( t \right)\] và tìm giá trị lớn nhất của \[f\left( t \right)\] trên nửa khoảng \[\left( {0;l} \right]\].

Cách 2:

Phương trình đường tròn là: \[{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2{\text{ }}\left( C \right)\]

Xét hệ \[\left\{ \begin{gathered}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2 \hfill \\
y = – 4mx + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {{{\left( {16{m^2} + 1} \right)}^2} – 2\left( {16m + 1} \right)x + 15 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)} \right.\]

\[d\] cắt \[\left( C \right)\] tại 2 điểm phân biệt \[A\], \[B\] \[ \Leftrightarrow \] \[\left( 1 \right)\] có 2 nghiệm phân biệt \[a\], \[b\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {16m + 1} \right)^2} – 15\left( {16m + 1} \right) > 0\]

Khi đó: \[A\left( {a; – 4ma + 4} \right)\], \[B\left( {b; – 4mb + 4} \right)\] \[ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
\overrightarrow {IA} = \left( {a – 1; – 4ma + 4} \right) \hfill \\
\overrightarrow {IB} = \left( {b – 1; – 4mb + 4} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} = ab – \left( {a + b} \right) + 16\left[ {{m^2}a – m\left( {a + b} \right) + 1} \right] + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow ab – \left( {a + b} \right) + 16{m^2}ab – 16m\left( {a + b} \right) + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {16{m^2} + 1} \right)ab – \left( {16m + 1} \right)\left( {a + b} \right) + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 15 – \frac{{2{{\left( {16m + 1} \right)}^2}}}{{16{m^2} + 1}} + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {16m + 1} \right)}^2}}}{{16{m^2} + 1}} = 16\]

\[ \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{32}}\]

Dạng 3. Riêng về cực trị hàm trùng phương

Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số: \[y = a{x^4} + b{x^2} + c\] \[\left( {a \ne 0} \right)\] có đồ thị là \[\left( C \right)\].

+) Đồ thị \[\left( C \right)\] có đúng một điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có đúng một nghiệm \[ \Leftrightarrow \] \[ab \geqslant 0\]

+) Đồ thị \[\left( C \right)\] có ba điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có 3 nghiệm phân biệt\[ \Leftrightarrow \] \[ab < 0\]

Khi đó ba điểm cực trị là: \[A\left( {0;c} \right)\], \[B\left( { – \sqrt { – \frac{b}{{2a}}} ; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\], \[C\left( {\sqrt { – \frac{b}{{2a}}} ; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\] với \[\Delta = {b^2} – 4ac\]

Độ dài các đoạn thẳng: \[AB = AC = \sqrt {\frac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} – \frac{b}{{2a}}} \], \[BC = 2\sqrt { – \frac{b}{{2a}}} \]  và tam giác \[{\text{ABC}}\] luôn là tam giác cân tại \[A\].

Công thức nhanh một số trường hợp thường gặp

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để hàm số \[y = 2{x^4} – \left( {m + 1} \right){x^2} + 4\] có ba điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: \[y’ = 8{x^3} – 2\left( {m + 1} \right)x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \frac{{m + 1}}{4}{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \] \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt khác \[0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{4} > 0 \Leftrightarrow m > – 1\]

Cách 2: Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi \[ab < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > – 1\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để đồ thị của

hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3} – 4\left( {m + 1} \right)x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} = m + 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > – 1{\text{ }}\left( * \right)\]

Khi đó, ba điểm cực trị là: \[A\left( {0;{m^2}} \right)\], \[B\left( {\sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\], \[C\left( { – \sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\]

Ta thấy \[A \in Oy\], \[B\], \[C\] đối xứng nhau qua \[Oy\] nên tam giác \[{\text{ABC}}\] cân tại \[A\].

Do đó tam giác \[{\text{ABC}}\] vuông cân tại A khi và chỉ khi tam giác \[{\text{ABC}}\] vuông tại \[A\] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\]

\[\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {m + 1} ; – {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { – \sqrt {m + 1} ; – {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\]

Suy ra: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} – \left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = – 1{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\
m = 0{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[m = 0\] là giá trị cần tìm

Chú ý có thể sử dụng điều kiện sau:

Gọi \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] thì \[H\left( {0; – 2m – 1} \right)\]

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi \[{b^3} + 8a = 0 \Leftrightarrow – 8{\left( {m + 1} \right)^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow m = 0\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2m{x^2} + m – 1\], với \[m\] là tham số thực. Xác định các giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số có ba cực trị đồng thời các điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3} – 4mx\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} – m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} = m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Hàm số có ba điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt và \[{y’}\] đổi dấu qua các nghiệm đó \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\[A\left( {0;m – 1} \right)\], \[B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + m – 1} \right)\], \[C\left( {\sqrt m ; – {m^2} + m – 1} \right)\]

Cách 1: Ta có: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{y_B} – {y_A}} \right| \cdot \left| {{x_C} – {x_B}} \right| = {m^2}\sqrt m \] và \[AB = \sqrt {{m^2} + m} \], \[BC = 2\sqrt m \]

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp:

\[R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\left( {{m^2} + m} \right) \cdot 2\sqrt m }}{{4{m^2}\sqrt m }}\]

\[R = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{m^2} + m} \right) \cdot \sqrt m }}{{2{m^2}\sqrt m }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m}} = 1\]

Cách 2: Gọi \[M\], \[H\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[BC\] và \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\]

\[AB = \sqrt {{m^2} + m} \], \[AH = {m^2}\]

Ta có: \[\Delta AMI \sim \Delta AHB\]

\[ \Rightarrow R = \frac{{A{B^2}}}{{2AH}}\]

\[R = 1 \Leftrightarrow \frac{{A{B^2}}}{{2AH}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + m}}{{2{m^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m}} = 1 \Leftrightarrow m = 1\]

Vậy \[m = 1\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2m{x^2} + m\], với \[m\] là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\[y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x\left( {{x^2} – m} \right)\]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có 3 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Khi đó: \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm \sqrt m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Khi đó toạ độ ba điểm cực trị: \[A\left( {0;m} \right)\], \[B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + m} \right)\], \[C\left( {\sqrt m ; – {m^2} + m} \right)\]

Gọi \[H\] là trung điểm của cạnh \[BC\]. Ta có: \[H\left( {0; – {m^2} + m} \right)\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4R}} \Leftrightarrow A{B^2} = 2AH \cdot R\]  trong đó \[\left\{ \begin{gathered}
AH = {m^2} \hfill \\
AB = \sqrt {m + {m^4}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra: \[m + {m^4} = 2{m^2}\]

\[ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} – 2m + 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} + m – 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 0 \hfill \\
m = 1 \hfill \\
m = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
m = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[S = \left\{ {1;\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\]

Dạng 4. Cực trị của hàm \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\], \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\]

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\
– f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}f\left( x \right) < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do đó đồ thị hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] như sau:

Từ đồ thị suy ra hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] có 5 điểm cực trị

Công thức tính nhanh: Số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] và số lần đổi dấu của hàm số \[f\left( x \right)\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau :

Hàm số \[y = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\] có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\]

Ta có: \[g’\left( x \right) = {\left[ {f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)} \right]^\prime } = {\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)^\prime }.f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right) = \frac{{x – 3}}{{\left| {x – 3} \right|}} \cdot f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\]

Có \[g’\left( x \right)\] không xác định tại \[x = 3\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left| {x – 3} \right| = – 2 \hfill \\
\left| {x – 3} \right| = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 7 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \[y = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\] có 3 điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + \left( {2 – m} \right)x + 2\]. Tập tất cả các giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có 5 điểm cực trị là \[\left( {\frac{a}{b};c} \right)\] với \[a\], \[b\], \[c\] là các số nguyên và \[{\frac{a}{b}}\] là phân số tối giản. Tính \[a + b + c\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[f’\left( x \right) = 3{x^2} – 2\left( {2m – 1} \right)x + \left( {2 – m} \right)\]

Đồ thị hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có 5 điểm cực trị

\[ \Leftrightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + \left( {2 – m} \right)x + 2\] có 2 điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung

\[ \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 0\] có 2 nghiệm dương phân biệt

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta ‘ > 0 \hfill \\
S > 0 \hfill \\
P > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{\left( {2m – 1} \right)^2} – 3\left( {2 – m} \right) > 0 \hfill \\
2m – 1 > 0 \hfill \\
2 – m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
4{m^2} – m – 5 > 0 \hfill \\
\frac{1}{2} < m < 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > \frac{5}{4}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\frac{1}{2} < m < 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2\]

\[ \Rightarrow \left( {\frac{a}{b};c} \right) = \left( {\frac{5}{4};2} \right) \Rightarrow a = 5,b = 4,c = 2\]

Vậy \[a + b + c = 11\]

Bài viết Cực trị của hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Lý thuyết

Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên K với K là một khoảng.

+) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

\[\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\]

+) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

\[\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\]

+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

Định lý

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên khoảng K.

+) Nếu \[f’\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in K\] và \[f’\left( x \right) = 0\] xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng K.

+) Nếu \[f’\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in K\] và \[f’\left( x \right) = 0\] xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng K.

Lưu ý:

+) Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f’\left( x \right) > 0,{\text{ }}\forall x \in \left( {a;{\text{ }}b} \right)\] thì ta nói hàm số đồng biến trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f’\left( x \right) < 0,{\text{ }}\forall x \in \left( {a;{\text{ }}b} \right)\] thì ta nói hàm số nghịch biến trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng.

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên tập xác định

Bước 1: Tìm tập xác định D

Bước 2: Tính đạo hàm \[y’ = f’\left( x \right)\]

Bước 3: Tìm nghiệm của \[f’\left( x \right)\] hoặc những giá trị x làm cho \[f’\left( x \right)\] không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Kết luận

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT.

+) Cách 1: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được về tính tăng, giảm giá trị của \[f\left( x \right)\] và dự đoán.

+) Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba).

Bài tập tự luận

Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức

Câu 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = {x^3}–3{x^2} + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 3{x^2}–6x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}–6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x{\text{ }} = {\text{ }}2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\], nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]

Câu 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + 4x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = {x^2} + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

Câu 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y =  – \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2} – 26x – 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = – {x^2} + 10x–26 = – {\left( {x–5} \right)^2}–1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

Câu 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 9x – 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = {x^2} + 6x + 9 = {\left( {x + 3} \right)^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow x = – 3\]

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; + \infty } \right)\]

Câu 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \[y = {x^4}–2{x^2}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3}–4x = 4x\left( {{x^2}–1} \right)\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0{\text{ }} \hfill \\ x = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\], nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {0;1} \right)\]

Dạng 2. Xét tính đơn điệu của hàm hợp cho bởi bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] hoặc \[y = f’\left( x \right)\]

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \[y = f\left( {2x + 1} \right)\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right)\]. Ta có: \[g’\left( x \right) = 2 \cdot f’\left( {2x + 1} \right)\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số \[f\left( {2x + 1} \right)\] đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \[y = f\left( { – 2x + 6} \right)\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 6} \right)\]. Ta có: \[g’\left( x \right) = – 2 \cdot f’\left( { – 2x + 6} \right)\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( { – 2x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
– 2x + 6 = 0 \hfill \\
– 2x + 6 = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số \[y = f\left( { – 2x + 6} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;3} \right)\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên. Hàm số \[y = f’\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g(x) = \[f\left( x \right)\] + x + 1

Hướng dẫn giải

Ta có: g’(x) = \[f’\left( x \right)\] + 1

Dựa vào đồ thị \[y = f’\left( x \right)\] ta có:

\[f’\left( x \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) > – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
1 < x < 3 \hfill \\
x > 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[f’\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x < 1 \hfill \\
3 < x < 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) + x + 1\] đồng biến trên các khoảng \[\left( {1;3} \right)\] và \[\left( {5; + \infty } \right)\], nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right)\] và \[\left( {3;5} \right)\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên

Hỏi hàm số \[y = f\left( {f\left( x \right)} \right)\] đồng biến trên những khoảng nào?

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right)\]. Ta có: \[g’\left( x \right) = f’\left( x \right) \cdot f’\left( {f\left( x \right)} \right)\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
f’\left( x \right) = 0 \hfill \\
f’\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
f\left( x \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Xét \[f’\left( {f\left( x \right)} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x > 2 \hfill \\
x < – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( { – 2;0} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Biết \[1 < f\left( x \right) < 3,\forall x \in \mathbb{R}\]. Hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) + {x^3} – 6{x^2} – 1\] có ít nhất bao nhiêu khoảng đồng biến?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[g’\left( x \right) = f’\left( x \right) \cdot f’\left( {f\left( x \right)} \right) + 3{x^2} – 12x\]

Dựa vào bảng xét dấu \[f’\left( x \right)\] đề bài cho, vì \[1 < f\left( x \right) < 3,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f’\left( {f\left( x \right)} \right) \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Bảng xét dấu \[y’ = g’\left( x \right)\]:

Vậy hàm số có ít nhất một khoảng đồng biến

Câu 6. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị hàm số \[y = f’\left( x \right)\] như hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( { – 2x + 4} \right)\]

Hướng dẫn giải

\[{ + ){\text{ }}g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( { – 2x + 4} \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)}\]

\[{ \Rightarrow g’\left( x \right) = – 2f’\left( { – 2x + 1} \right)–4x + 2 = – 2\left[ {f’\left( { – 2x + 1} \right) + 2x–1} \right]}\]

\[{ + ){\text{ }}g’\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f’\left( { – 2x + 1} \right) + 2x–1 < 0 \Leftrightarrow {\text{ }}f’\left( { – 2x + 1} \right) < – 2x + 1{\text{ }}\left( 1 \right)}\]

Đặt \[t = – 2x + 1\] thì (1) trở thành \[f’\left( t \right) < t\]

Quan sát đồ thị hàm số \[y = f’\left( t \right)\] và \[y = t\] trên cùng một hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta thấy với \[t \in \left( { – \infty ; – 3} \right)\] và \[t \in \left( {2;5} \right)\] thì đồ thị hàm số \[y = f’\left( t \right)\] luôn nằm phía dưới đường thẳng \[y = t\].

Suy ra:

\[f’\left( t \right) < t \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t < – 3 \hfill \\
2 < t < 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Như vậy:

\[f’\left( { – 2x + 1} \right) < – 2x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
– 2x + 1 < – 3 \hfill \\
2 < – 2x + 1 < 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x > 2 \hfill \\
– 2 < x < – \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( { – 2x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( { – 2x + 4} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và \[\left( { – 2; – \frac{1}{2}} \right)\]

Dạng 3. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp

Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\]

+) Tìm tập xác định D.

+) Đổi biến \[t = u\left( x \right)\]. Tìm điều kiện cần và đủ của t, giả sử \[t \in K\].

+) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số \[f\left( t \right)\] trên K.

+) Kết luận khoảng đơn điệu của hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\].

Chú ý:

+) Nếu hàm số \[t = u\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\], ta có:

• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].
• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].

+) Nếu hàm số \[t = u\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\], ta có:

• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].
• Hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {\alpha ;\beta } \right)\] ⇔ Hàm số \[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {u\left( \alpha \right);u\left( \beta \right)} \right)\].

Câu 1. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = {x^2} – 6x + 6\sqrt {2x + 1}  – 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[\left[ { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\]

Đặt \[t = \sqrt {2x + 1} \left( {t \in \left[ {0; + \infty } \right)} \right) \Rightarrow x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}\]

Xét hàm số

\[y = {\left( {\frac{{{t^2} – 1}}{2}} \right)^2} – 6{\left( {\frac{{{t^2} – 1}}{2}} \right)^2} + 6t – 1\] \[ = \frac{1}{4}\left( {{t^4} – 14{t^2} + 24t + 9} \right)\]

\[y’ = {t^3} – 7t + 6\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 1 \hfill \\
t = 2 \hfill \\
t = – 3{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Với \[\left[ \begin{gathered}
t = 1 \Rightarrow x = 0 \hfill \\
t = 2 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ta có bảng dấu của \[{y’}\]

Dễ thấy hàm số \[y = \sqrt {2x + 1} \] đồng biến trên khoảng \[\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\]

Vậy hàm số \[y = {x^2} – 6x + 6\sqrt {2x + 1}  – 1\] đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \frac{1}{2};0} \right),\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\].

Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền

Câu 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

a) \[y = {x^3} + 3{x^2} + mx + my = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\]

b) \[y = m{x^3}–\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 2} \right)x–2\]

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 3{x^2} + 6x + m\]

Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y’ \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta’ \leqslant 0{\text{ }}\left( {{\text{do }}a = 3 > 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 9 – 3m \leqslant 0\]

\[ \Leftrightarrow m \geqslant 3\]

Vậy \[m \geqslant 3\] thì hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

b) TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

+) Với \[m = 0\], hàm số trở thành \[y = – {x^2} + 2x–2\]. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right)\].

Vậy \[m = 0\] không thoả mãn.

+) Với \[m \ne 0\], ta có: \[y’ = 3m{x^2} – 2\left( {2m + 1} \right)x + m + 2\]

Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y’ \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta’ \leqslant 0 \hfill \\
3m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
4{m^2} + 4m + 1 – 3m\left( {m + 2} \right) \leqslant 0 \hfill \\
m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{\left( {m – 1} \right)^2} \leqslant 0 \hfill \\
m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 1{\text{ }}\left( {TM} \right)\]

Vậy \[m = 1\].

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \[y = \frac{{x – m}}{{2x – 1}}\] đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]. Ta có: \[y’ = \frac{{ – 1 + 2m}}{{{{\left( {2x – 1} \right)}^2}}}\]

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \[ \Leftrightarrow y’ \geqslant 0,\forall x \in D\] \[ \Leftrightarrow – 1 + 2m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\]

Vậy \[m > \frac{1}{2}\]

Câu 3. Tìm m để hàm số \[y = – {x^3} + 3{x^2} + \left( {m–1} \right)x + m\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có: \[y’ = – 3{x^2} + 6x + m–1\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\] \[ \Leftrightarrow y’ \leqslant 0,\forall x \in \left( { – 1; + \infty } \right)\]

\[ \Leftrightarrow m \leqslant 3{x^2} – 6x + 1,\forall x \in \left( { – 1; + \infty } \right){\text{ }}\left( 1 \right)\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = 3{x^2}–6x + 1\] trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\]

\[g’\left( x \right) = 6x–6\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \[\mathop {\min }\limits_{\left( { – 1; + \infty } \right)} g\left( x \right) =  – 2\]

Do đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left( { – 1; + \infty } \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \leqslant  – 2\]

Vậy \[m \leqslant – 2\] thoả yêu cầu bài toán

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \frac{{x + 6}}{{x + 5m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {10; + \infty } \right)\]?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {5m} \right\}\]

Ta có: \[y’ = \frac{{5m – 6}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\]. Để hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {10; + \infty } \right)\] thì

\[\left\{ \begin{gathered}
y’ < 0 \hfill \\
– 5m \notin \left( {10; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
5m – 6 < 0 \hfill \\
– 5m \leqslant 10 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m < \frac{6}{5}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
m \geqslant – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 2; – 1;0;1} \right\}\]

Câu 5. Tìm m để hàm số \[y = – {x^3} + 3{x^2} + \left( {m–1} \right)x + 2m–3\] đồng biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 3?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có: \[y’ = – 3{x^2} + 6x + m–1\]

Vì hệ số của \[{x^2}\] của \[{y’}\] là \[ – 3 < 0\] nên hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 3 khi và chỉ khi \[y’ = 0\] có 2 nghiệm \[{x_1},{x_2}\] phân biệt thoả mãn \[\left| {{x_2} – {x_1}} \right| = 3\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta’ = 9 + 3\left( {m – 1} \right) > 0 \hfill \\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 9 \hfill \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]

Theo Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = 2 \hfill \\
{x_1}{x_2} = \frac{{1 – m}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do đó:

\[\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m > – 2 \hfill \\
4 + 4 \cdot \frac{{m – 1}}{3} = 9\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m > – 2 \hfill \\
m = \frac{{19}}{4}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\] \[ \Leftrightarrow m = \frac{{19}}{4}\]

Vậy \[m = \frac{{19}}{4}\]

Bài viết Tính đơn điệu của hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa tâm đối xứng là gì dễ hiểu nhất

Những hình nếu như có một điểm cố định ở giữa mà khi quay nửa vòng quanh điểm đó, bạn được vị trí mới của hình chồng khít so với trước khi quay thì được gọi là hình có tâm đối xứng. Và điểm đó sẽ chính là tâm đối xứng của vật hoặc hình đang xác định. Có một số hình ảnh giúp bạn dễ liên tưởng đến tâm đối xứng ở giữa như:

• Bông hoa: Chúng sẽ có một tâm đối xứng nằm ngay chính giữa bông hoa. Khi thực hiện quay nửa vòng tròn quanh điểm trên, bạn sẽ thấy vị trí mới giống i đúc như ban đầu.
• Chong chóng 4 cạnh: Chọn điểm cố định nằm giữa là phần đầu của trục chong chóng. Tương tự như ví dụ trên, bạn tiến hành quay điểm cố định nửa vòng tròn sẽ phát hiện vị trí mới trùng với vị trí ban đầu.

Một vài loại tâm đối xứng trong toán học nhất định phải biết

• Tâm đối xứng của đoạn thẳng: Giả sử có một đoạn thẳng EF với A là trung điểm của EF. Vậy, suy ra A chính là tâm đối xứng của đoạn EF nêu trên.
• Tâm đối xứng của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi: Đây đều là các hình đa giác trong 1 mặt phẳng và tâm đối xứng của chúng chính là giao điểm hai đường chéo trong hình.
• Tâm đối xứng hình tròn: Chính là tâm của hình tròn đó.
• Tâm đối xứng của hình lục giác đều: Để tìm ra tâm đối xứng của hình này, bạn cần tìm ra giao điểm của các đường chéo chính. Lưu ý rằng, tam giác đều, ngũ giác đều, tam giác cân, hình thang cân sẽ là các hình không có tâm đối xứng.
• Tâm đối xứng còn xuất hiện trong chữ cái in hoa: Ví dụ cụ thể nhất sẽ chính là tâm của các chữ N, O, S.

Tổng hợp các dạng bài tập về tâm đối xứng thường gặp

Sau khi đã hiểu được tâm đối xứng là gì, bạn cần tìm hiểu thêm các dạng bài tập liên quan đến chủ đề trên. Có như vậy thì bạn mới dễ dàng chinh phục được mọi đề thi toán học khó nhằn trong thời gian tới.

Dạng 1: Kiểm tra xem hình có tâm đối xứng không

Khi nghe nhắc đến tâm của hình, bạn cần tư duy ngay đó là điểm nằm chính giữa hình. Để xác định xem điểm đó có phải tâm đối xứng hay không, bạn cần lấy một điểm bất kỳ trên hoặc trong hình, khi lấy đối xứng qua ta được một điểm:

• Nếu như điểm đó vẫn thuộc hình thì hình đó có tâm đối xứng
• Nếu điểm đó không thuộc hình thì đó sẽ không có tâm đối xứng.

Dạng 2: Tìm ra tâm đối xứng của hình

• Một đặc điểm giúp bạn tìm ra tâm đối xứng của hình đó chính là số cạnh (viền ngoài) sẽ là số chẵn. Còn đối với những hình ảnh có sẵn ngoài thiên nhiên như cỏ bốn lá hay bông hoa thì tâm đối xứng sẽ là phần nhuỵ.
• Ngoài ra, hình có số bằng nhau và là số chẵn thì tâm đối xứng cần tìm là giao của các đường chéo.

Dạng 3: Chữ có tâm đối xứng

Để đánh giá xem chữ đề bài cho có tâm đối xứng hay không thì bạn cần phán đoán xem tâm của chúng và thường sẽ nằm ở giữa hình. Tiếp đến, hãy lấy một điểm bất kỳ, nên chọn các vị trí đặc biệt để kiểm tra. Nếu có một điểm khác đối xứng với điểm vừa chọn mà vẫn nằm trong chữ thì đó chính là tâm đối xứng.

Dạng 4: Thực hiện vẽ hình đối xứng qua một điểm

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O. Để tìm ra A’ ta cần thực hiện như sau: Đầu tiên cần dựng đường tròn tâm O với bán kính là OA. Đường tròn này lại cắt đường thẳng OAO tại một điểm A’ khác. Vậy, A’ sẽ là tâm đối xứng của A qua O.

Dạng 5: Tìm chu vi, độ dài và diện tích của hình có tâm đối xứng

Sau khi tìm ra được của dài của các cạnh hoặc đường chéo trong hình có tâm đối xứng, bạn sẽ dễ dàng vận dụng công thức để tính được chu vi hoặc diện tích của chúng theo kiến thức đã học từ trước.

Một số bài tập vận dụng về tâm đối xứng (có đáp án) mới nhất

Bài 1: Cho tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua điểm O. Biết rằng, chu vi của tam giác A’B’C’ sẽ là 40 cm. Hãy tính chu vi của tam giác ABC.

Lời giải:

Vì tam giác ABC và A’B’C’ đối xứng với nhau nên suy ra:

\[\Delta ABC=\Delta MNP\Rightarrow AB=MN;AC=MP;BC=NP \] nên  \[\AB+AC+BC= MN +NP + MP \Rightarrow P_{ABC}=P_{MNP}\]

Do đó chu vi của tam giác \[ABC=40cm \]

Bài 2: Biết tam giác ABC có đường cao AH, trong đó BC = 30cm, AH = 18cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm của cạnh BC. Diện tích của tam giác tạo thành là:

Gọi tam giác A’BC đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm cạnh BC

Suy ra \[\DeltaABC=\DeltaA^{\prime}BC

Nên \[S_{ABC}=S_{A^{\prime}BC}\]

Ta có: \[S_{ABC}=\frac12AH\times\;BC \]

\[=12\times18\times30=270cm^2 \]

Nên \[S_{A^{\prime}BC}=270cm^2 \]

Bài viết trên đã phần nào giúp bạn hiểu được tâm đối xứng là gì hình thế nào thì được gọi là có tâm đối xứng. Mong rằng, các bạn học sinh đã có thể gom nhặt cho mình nhiều kiến thức mới mẻ và đạt được thành tích tốt trong quá trình học tập sắp tới.

Bài viết Bật mí tâm đối xứng là gì và các dạng bài tập phổ biến mà bạn nên biết đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Tổng hợp các cách tính diện tích hình thoi và những dạng bài tập phổ biến hiện nay

Giới thiệu sơ lược về hình thoi

Hình thoi được biết đến như một dạng hình học khá đặc biệt thuộc nhóm tứ giác. Đặc điểm cơ bản nhất của hình thoi là có bốn cạnh bằng nhau. Nó xuất hiện khá nhiều trong lĩnh vực kiến trúc, thiết kế và trong tự nhiên. Có khá nhiều hình ảnh tượng trưng cho hình thoi như mái nhà, kim cương, hoa văn,… Sau đây là một vài đặc điểm của hình thoi trong toán học:

• Hình thoi sẽ có bốn cạnh bằng nhau và hai đường chéo của chúng sẽ vuông góc với nhau.
• Đặc biệt, các góc đối của hình thoi cũng sẽ bằng nhau.

Bật mí công thức tính diện tích hình thoi chính xác nhất

Công thức tính diện tích hình thoi chuẩn nhất sẽ bằng tích của hai đường chéo trong hình chia đôi. Bởi lẽ, hai đường này sẽ chia hình thoi thành bốn tam giác bằng nhau. Và diện tích của nó sẽ bằng tổng diện tích của bốn tam giác kể trên. Công thức sẽ được biểu diễn như sau:

\[ S=(d1\times d2)/2 \]

Trong đó:

• S: Là diện tích của hình thoi
• \[d_{1}\], \[d_{2}\]: Lần lượt sẽ là độ dài của hai đường chéo

Tổng hợp một số dạng toán tính diện tích hình thoi phổ biến

Nhìn chung thì các bài toán về diện tích hình thoi thường gặp sẽ là tính bằng độ dài đường chéo, tính bằng công thức lượng giác, hay tính bằng độ dài của cạnh và góc. Lưu ý rằng, mỗi dạng sẽ có cách giải khác nhau, bạn cần phân tích dữ kiện đề bài cho để tìm ra đáp án chính xác mà không cần tốn quá nhiều thời gian.

Dạng 1: Tìm diện tích hình thoi thông qua độ dài hai đường chéo

• Bước 1: Đọc kĩ đề bài và ghi lại kích thước của hai đường chéo
• Bước 2: Tiến hành nhân hai đường chéo lại với nhau
• Bước  3: Chia kết quả vừa tìm được cho 2 và chốt đáp án.

Với đề bài này, việc xác định đúng độ dài của đường chéo sẽ là kim chỉ nam giúp bạn tìm ra diện tích của hình thoi. Vì thế, cần phân tích rõ các dữ kiện, tư duy thật nhanh và nhập chính xác số vào công thức.

Dạng 2: Tìm ra diện tích hình thoi thông qua chiều cao và cạnh đáy

Bởi vì hình thoi là tứ giác đặc biệt sẽ có bốn cạnh bằng nhau nên bạn có thể áp dụng cách tính nhanh với công thức sau:

\[s=a\times h\]

Trong đó:

• a: Độ dài cạnh đáy hình thoi
• h: Chiều cao của hình thoi

Dạng 3: Tìm diện tích hình thoi bằng công thức lượng giác

Khi đọc đề bài và thấy có các thông tin về góc và cạnh, bạn có thể thực hiện tính diện tích của hình bằng cách dùng công thức diện tích tam giác hoặc tích hình chữ nhật. Tuy nhiên, hình thoi thì các góc đối sẽ bằng nhau nên bạn có thể giải như sau:

\[S=a^{2}.sin\alpha \]

Trong đó:

• S: Diện tích hình thoi cần tìm
• a: Độ dài cạnh bên
• \[\alpha:\] Số đo mỗi góc bất kỳ trong hình thoi

Bài tập vận dụng tìm diện tích hình thoi (có đáp án) mới nhất

Bài 1: Hãy tính diện tích của hình thoi, cho biết độ dài cạnh là 20cm và kích thước của đường chéo dài 24cm.

Lời giải:

Gọi hình thoi EFGH có đường chéo và cạnh bên lần lượt là \[d_{1}\]=24cm, a=20cm và đường chéo d2.

Theo tính chất hình thoi, thì hai đường chéo sẽ cắt nhau và vuông góc tại trung điểm, tạo thành bốn tam giác vuông đồng dạng.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta sẽ tìm ra được kích thước \[d_{2}\]

\[d2=2\times\surd(20^2-12^2)=2\times16=32cm \]

Diện tích hình thoi EFGH=\[1/2\times(24\times 32)=384 cm^2 \]

Bài 2: Hãy tính diện tích của hình thoi biết độ dài cạnh là 100mm và chiều cao là 8cm.

Lời giải:

Đổi: 100mm= 10cm

Cạnh đáy của hình thoi là a=10cm

Áp dụng công thức ta có: \[S=a\times h=10\times 8=80 cm^2 \]

Bài 3: Tìm diện tích hình thoi ABCD, biết cạnh bên là 5cm, và \[\widehat{A}=40\degree \]

Lời giải:

Với \[a=5cm \], \[\alpha=40/degree \] thì:

\[S=5^2\times\sin{40\degree}\thickapprox 16,07 cm^2 \]

Những lưu ý cần biết khi giải bài tập tính diện tích hình thoi

Khi làm bài tập hằng ngày hay kiểm tra định kỳ sẽ thường có nhiều bài toán liên quan đến tính chu vi, diện tích của hình thoi được lồng ghép vào nhau khá phức tạp. Vì thế, để tìm ra đáp án chính xác và đạt được điểm số cao cần đọc kỹ đề bài và tuân thủ một vài lưu ý như sau:

• Khi trong đề xuất hiện nhiều đơn vị đo khác nhau của độ dài cạnh thì việc đầu tiên phải làm chính là chuyển đổi tất cả về chung một đơn vị duy nhất.
• Nếu gặp phải bài có yêu cầu so sánh diện tích các hình thì cần chú ý đến đơn vị diện tích xem đã giống nhau hay chưa. Nếu không, hãy thực hiện chuyển đổi trước khi thực hiện so sánh để tránh bị nhầm lẫn.
• Để tăng độ chính xác khi giải bài tập, bạn nên kiểm tra lại kết quả ít nhất hai lần trước khi kết thúc.

Bài viết trên đã cung cấp nhiều thông tin xoay quanh về chủ đề diện tích hình thoi. Mong rằng, bạn đã có được cho mình cách tính toán chính xác và phù hợp với bản thân. Từ đó, bạn sẽ nâng cao được kiến thức cũng như đạt được kết quả tốt hơn trong quá trình học tập.

Bài viết Bật mí cách tính diện tích hình thoi nhanh và chính xác nhất đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Mô tả: Hệ thức Vi-et có thể ứng dụng để giải nhiều dạng bài tập như tìm tổng và tích của phương trình bậc 2, viết lại phương trình gốc. 

Bài viết 

Hệ thức Vi-et là gì? Ứng dụng và bài tập ví dụ kèm lời giải

Trong chương trình đại số THCS và THPT, hệ thức Vi-et là một trong những phần kiến thức quan trọng, được ứng dụng vào nhiều dạng bài tập. Hệ thức này chỉ ra mối quan hệ giữa tổng và tích của các nghiệm trong đa thức với hệ số tương ứng. 

Hệ thức Vi-et là gì?

Hệ thức Vi-et hay còn gọi là định lý Vi-et được phát triển bởi nhà toán học người Pháp François Viète. Định lý này chỉ ra mối quan hệ giữa các ẩn số hay nghiệm của đa thức. 

Với phương trình bậc hai: \[ax^{2}+bx+c=0\] 

Điều kiện ở đây là a ≠ 0, \[x_{1}\] và \[x_{2}\] lần lượt là nghiệm của phương trình trên nếu:

\[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}&\\x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}&\\\end{matrix}\right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a} \hfill \\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ví dụ: Cho phương trình \[2x^{2}+x-3=0\] , vì \[\Delta=25>0\] nên theo hệ thức Vi-et ta có: \[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{-1}{2}&\\x_{1}x_{2}=\frac{-3}{2}&\\\end{matrix}\right.\]

Ứng dụng của hệ thức Vi-et trong giải toán 

Thông qua mối quan hệ giữa từng nghiệm trong đa thức, bạn sẽ không khó để ứng dụng định lý Vi-et vào giải một số bài tập. Sau đây là phần giới thiệu những dạng toán phổ biến có thể áp dụng Vi-et. 

Tìm tổng và tích của nghiệm trong phương trình bậc 2

Theo hệ thức Vi-et, chúng ta có thể áp dụng vào dạng toán tìm tổng và tích của các nghiệm trong phương trình bậc 2.

Ví dụ: Tìm tổng và tích của hai nghiệm trong phương trình \[2x^{2}-5x+3=0\]

Giải:

Dựa vào mối quan hệ giữa các nghiệm trong đa thức theo Vi-et ta có: 

\[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}&\\x_{1}x_{2}=\frac{3}{2}&\\\end{matrix}\right.\]

Lập phương trình khi biết tổng và tích của hai nghiệm

Trường hợp biết tổng và tích của hai nghiệm, chúng ta có thể dễ dàng viết lại phương trình gốc. Dạng toán này tuy không phổ biến nhưng vẫn có khả năng xuất hiện trong một số đề thi. 

Ví dụ: Biết một phương trình bậc hai có nghiệm \[x_{1}=4,x_{2}=7\], hãy viết lại phương trình này. 

Giải: Theo Vi-et ta có: 

\[\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=11&\\x_{1}x_{2}=28&\\\end{matrix}\right.\]

Như vậy, phương trình gốc cần tìm ở đây là \[x^{2}-11x+28=0\] 

Tính giá trị của biểu thức theo nghiệm của phương trình cho trước 

Với dạng toán này, bạn cần tính giá trị theo biểu thức đề bài cho.

Cho phương trình \[x^{2}-5x+6=0\], hãy tìm giá trị biểu thức \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\]

Giải: \[{x_1}^2 + {x_2}^2 = {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2}\]

Ở dạng bài tập tính giá trị theo biểu thức cho trước, bạn nên triển khai biểu thức thành dạng hằng đẳng thức, không nhất thiết phải tốn thời gian tìm giá trị của từng nghiệm. Như vậy, quá trình tính toán sẽ nhanh hơn. 

Xét dấu các nghiệm của phương trình 

Trong nhiều đề thi, bạn có thể bắt gặp dạng toán yêu cầu xét dấu từng nghiệm trong phương trình. Với dạng toán này bạn không cần phải giải phương trình mà nên áp dụng hệ thức Vi-et.

Ví dụ: Chứng minh hai nghiệm của phương trình \[x^{2}-6x+8=0\] đều là số dương.

Giải: Dựa vào hệ thức Vi-et ta có: 

Tổng hai nghiệm \[x_{1}+x_{2}=6\] 

Tích hai nghiệm \[x_{1}x_{2}=8\]  

Dễ thấy rằng vì tổng và tích của hai nghiệm đều lớn hơn 0 nên hai nghiệm đó đều là số dương.

Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước 

Đây là dạng toán khá phổ biến trong chương trình phổ thông. Để tìm giá trị số nguyên trong một phương trình cho trước, bạn hãy thử áp dụng hệ thức Vi-et.

Ví dụ: Cho phương trình \[x^{2}-(m+1)x+m=0\], xác định số nguyên m để phương trình có nghiệm.

Giải: 

Theo quan hệ giữa các nghiệm trong đa thức theo hệ thức Vi-et ta có:

 \[x_{1}+x^{2}=m+1,x_{1}x_{2}=m\] 

Lần lượt thay m bằng giá trị 2, 6, -2, -6 ta có các nghiệm nguyên của phương trình thỏa mãn điều kiện. 

Ngoài là một số dạng cơ bản trên, hệ thức Vi-et còn được ứng dụng trong giải phương trình bậc cao, tìm giá trị cực trị cùng nhiều dạng toán khác.

Lưu ý khi ứng dụng hệ thức Vi-et để giải bài tập 

Khi sử dụng hệ thức Vi-et để giải bài tập, bạn cần nắm rõ mối liên hệ giữa tổng và tích của các nghiệm với hệ số tương ứng trong phương trình. Phần lớn bài tập cơ liên quan đến ứng dụng Vi-et đều không yêu cầu quá phức tạp. Tuy nhiên, nếu muốn giải nhanh, bạn cần nắm rõ các hằng đẳng thức, so sánh điều kiện đề bài. 

Trong đó với phương trình bậc hai, hệ số a luôn phải khác 0. Trường hợp a = 0 thì phương trình thường chỉ có một nghiệm. Lúc này, hệ thức Vi-et không còn phù hợp để áp dụng. 

Một số bài tập tự luyện kèm đáp án 

Đề bài: 

Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau: 

1. \[x^{2}-5x+6=0\] 
2. \[2x^{2}+3x-2=0\] 
3. \[2x^{2}-7x+3=0\] 

Bài 2: Tìm m để phương trình \[x^{2}-3x+m=0\] có nghiệm, sao cho \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\] .

Bài 3: So sánh tổng và tích của hai nghiệm trong phương trình \[x^{2}-5x+6=0\].

Đáp án: 

Bài 1: 

1. \[x_{1}=2,x_{2}=3\] 
2. \[x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=-2\]
3. \[x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=2\] 

Bài 2: \[m=\frac{9}{2}\] 

Bài 3: \[x_{1}+x_{2}<x_{1}x_{2}\] 

Lời kết 

Trong chương trình đại số, hệ thức Vi-et được ứng dụng để giải nhiều dạng bài tập như tìm nghiệm của phương trình, xác định giá trị hệ số để phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó, viết lại phương trình gốc khi biết tổng và tích của hai nghiệm,… Hy vọng thông qua bài viết trên đây, bạn đã phần nào nắm rõ tính chất cơ bản và cách thức ứng dụng hệ thức này trong giải toán! 

Bài viết Công thức vi ét – Hệ thức viet đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Hàng của số thập phân trong toán lớp 5

Khi học số thập phân, điều đầu tiên mà học sinh cần hiểu rõ đó chính là cấu trúc và cách phân chia hàng của số thập phân. Trong số thập phân, ta có hai phần cơ bản: phần nguyên và phần thập phân.

Phần nguyên và phần thập phân

Phần nguyên của một số thập phân là phần nằm bên trái dấu phẩy. Ví dụ, trong số 12.34, phần nguyên là 12.

Phần thập phân nằm bên phải dấu phẩy. Trong ví dụ trên, phần thập phân là 34.

Hai phần này kết hợp với nhau tạo thành số thập phân, và việc hiểu rõ về chúng sẽ hỗ trợ học sinh trong việc đọc và viết số thập phân hiệu quả hơn.

Các hàng trong số thập phân

Trong số thập phân, chúng ta thường gặp các hàng như đơn vị, mười, trăm, rồi đến phần thập phân là phần mười, phần trăm, phần nghìn. Cách phân chia này giúp học sinh dễ dàng nhận diện giá trị của từng chữ số trong số thập phân.

Ví dụ, trong số 12.345, hàng đơn vị là 2, hàng mười là 1, hàng trăm là 3, hàng nghìn là 4. Khi đi vào phần thập phân, số 3 nằm ở vị trí phần mười và số 5 ở vị trí phần trăm.

Ý nghĩa của việc phân định hàng

Việc phân định hàng trong số thập phân không chỉ đơn giản là việc xác định vị trí mà nó còn liên quan đến ý nghĩa của từng chữ số trong số đó. Điều này rất quan trọng trong các bài toán liên quan đến số thập phân, giúp cho học sinh có thể tính toán, so sánh và sử dụng số thập phân một cách hiệu quả.

Cách đọc và viết số thập phân lớp 5

Khi học về số thập phân, việc đọc và viết đúng cách là rất quan trọng. Có những quy tắc cụ thể mà học sinh cần nắm để có thể sử dụng số thập phân một cách chính xác.

Quy tắc đọc số thập phân

Khi đọc số thập phân, học sinh cần chú ý đến cấu trúc của số. Đầu tiên, phần nguyên được đọc như thông thường và sau đó đọc phần thập phân theo thứ tự vị trí.

Ví dụ, số 45.678 được đọc là “bốn mươi lăm phẩy sáu bảy tám”. Điều này có nghĩa là mỗi chữ số trong phần thập phân được đọc riêng biệt sau khi nói về phần nguyên.

Cách viết số thập phân

Cách viết số thập phân cũng cần phải tuân theo những quy tắc nhất định. Học sinh cần biết cách đặt dấu phẩy giữa phần nguyên và phần thập phân.

Một điều cần lưu ý là khi viết số thập phân, không nên có nhiều số không cần thiết ở phần thập phân. Ví dụ, thay vì viết 3.5000, ta chỉ cần viết 3.5 hoặc 3.50.

Tầm quan trọng của kỹ năng đọc và viết số thập phân

Kỹ năng đọc và viết số thập phân không chỉ giúp học sinh học tốt môn Toán mà còn hữu ích trong cuộc sống hàng ngày. Ví dụ, khi mua sắm, đọc giá cả, đo lường… đều liên quan đến việc sử dụng số thập phân.

Việc nắm vững kỹ năng này còn giúp học sinh tự tin hơn khi làm bài tập, tham gia vào các hoạt động thực tiễn khác liên quan đến số thập phân.

Giới thiệu về số thập phân cho học sinh lớp 5

Số thập phân là một phần quan trọng trong toán học và nó thường gắn liền với nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống. Việc giới thiệu số thập phân cho học sinh lớp 5 là một bước quan trọng trong quá trình học tập.

Khái niệm số thập phân

Số thập phân là số được viết dưới dạng phần nguyên và phần thập phân, được ngăn cách bởi dấu phẩy. Số thập phân có thể đại diện cho các giá trị khác nhau như chiều dài, khối lượng, thời gian…

Ứng dụng của số thập phân trong đời sống

Số thập phân xuất hiện hằng ngày trong cuộc sống. Chẳng hạn, khi bạn đi siêu thị để mua hàng hóa, giá cả thường được thể hiện bằng số thập phân. Hay trong các môn học khác như khoa học, địa lý, số thập phân cũng có vai trò quan trọng trong việc đo lường và nghiên cứu.

Sự chuyển đổi giữa số nguyên và số thập phân

Học sinh cũng cần nắm được cách chuyển đổi giữa số nguyên và số thập phân. Đây là một kỹ năng quan trọng giúp các em dễ dàng hơn trong việc xử lý các bài toán liên quan đến số thập phân. Ví dụ, 3 có thể viết là 3.0, điều này giúp học sinh nhận thức rõ hơn về sự liên kết giữa hai loại số này.

Cách xác định hàng của số thập phân

Để đọc và viết số thập phân một cách chính xác, học sinh cần biết cách xác định hàng của số thập phân. Điều này bao gồm việc xác định vị trí của từng chữ số trong số thập phân.

Xác định hàng của phần nguyên

Phần nguyên của số thập phân có cấu trúc tương tự như số nguyên bình thường. Học sinh cần biết cách đếm từ phải sang trái để xác định hàng của từng chữ số.

Ví dụ, trong số 1234, hàng đơn vị là 4, hàng mười là 3, hàng trăm là 2 và hàng nghìn là 1. Việc nắm vững cách xác định này sẽ giúp học sinh dễ dàng hơn khi làm các phép toán với số thập phân.

Xác định hàng của phần thập phân

Tương tự như phần nguyên, phần thập phân cũng cần được xác định hàng. Tuy nhiên, cách đếm lúc này sẽ diễn ra từ trái sang phải. Hàng đầu tiên bên phải dấu phẩy là hàng mười, tiếp theo là hàng phần trăm, hàng phần nghìn…

Ví dụ, trong số 12.345, số 3 là hàng mười (1/10) và số 5 là hàng phần trăm (1/100). Cách hiểu này giúp học sinh nhận thức rõ giá trị của chữ số trong phần thập phân.

Thực hành xác định hàng

Để củng cố kiến thức, học sinh có thể thực hành nhiều bài tập xác định hàng của số thập phân. Điều này không chỉ giúp các em ghi nhớ mà còn tăng cường khả năng tính toán và xử lý số liệu nhanh chóng.

Bài tập thực hành số thập phân lớp 5

Để nâng cao kỹ năng đọc và viết số thập phân, học sinh cần thực hành thường xuyên thông qua các bài tập. Dưới đây là một số bài tập mà học sinh lớp 5 có thể thực hiện.

Bài tập đọc số thập phân

Học sinh có thể bắt đầu với việc đọc các số thập phân khác nhau. Giáo viên có thể đưa ra danh sách các số thập phân cho học sinh đọc to và kiểm tra xem các em có đọc đúng không.

Ví dụ: Đọc các số như 7.25, 1.5, 13.456, 99.99…

Bài tập viết số thập phân

Tiếp theo, học sinh nên thực hành viết các số thập phân mà mình đã đọc. Giáo viên có thể hỏi học sinh viết lại các số từ verbal thành số thập phân.

Ví dụ: Giáo viên nói “bốn phẩy năm” thì học sinh cần viết là 4.5.

Bài tập giải bài toán có liên quan đến số thập phân

Cuối cùng, giáo viên có thể đưa ra một số bài toán thực tế có liên quan đến số thập phân để học sinh thực hành. Điều này giúp các em áp dụng kiến thức vào thực tế và thấy được sự hữu ích của số thập phân trong cuộc sống hàng ngày.

Bài viết Hàng của số thập phân. Đọc, viết số thập phân lớp 5 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản

Phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ thuật quan trọng trong toán học, cho phép chúng ta tìm ra các yếu tố cơ bản tạo nên một đa thức. Có nhiều phương pháp khác nhau để thực hiện việc này, và mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng.

Phương pháp chia sẻ nhân tử chung lớn nhất (GCF)

Một trong những phương pháp phổ biến nhất để phân tích đa thức thành nhân tử là sử dụng phương pháp chia sẻ nhân tử chung lớn nhất (GCF). Phương pháp này dựa trên việc tìm ra các yếu tố chung lớn nhất giữa các hệ số hoặc các số mũ của các đa thức, sau đó chia chúng ra để tách các nhân tử.

Ví dụ, xét đa thức \[4x^3 – 8x^2 + 12x\]. Chúng ta có thể thấy rằng các hệ số 4, -8 và 12 có ước chung lớn nhất là 4, và các số mũ 3, 2 và 1 cũng có ước chung lớn nhất là 1. Do đó, ta có thể viết lại đa thức này dưới dạng \[4x(x^2 – 2x + 3)\].

Phương pháp GCF rất hữu ích khi phân tích các đa thức có hệ số hoặc số mũ chung, tuy nhiên nó có thể gặp khó khăn khi áp dụng cho các đa thức bậc cao hơn.

Phương pháp nhận dạng hình thức đặc biệt

Một phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử là sử dụng phương pháp nhận dạng hình thức đặc biệt. Phương pháp này dựa trên việc nhận ra các mẫu hoặc khuôn mẫu đặc biệt trong cấu trúc của đa thức, sau đó áp dụng các quy tắc hoặc công thức cụ thể để phân tích chúng.

Ví dụ, xét đa thức \[x^2 – 9\]. Chúng ta có thể nhận ra rằng đây là một dạng khác của biểu thức \[a^2 – b^2\], và áp dụng công thức \[(a + b)(a – b)\] để phân tích nó thành \[(x + 3)(x – 3)\].

Phương pháp này rất hữu ích khi áp dụng cho các dạng đa thức đặc biệt, nhưng đòi hỏi người dùng phải nắm vững các mẫu và công thức cụ thể.

Phương pháp nhóm

Một phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử là sử dụng phương pháp nhóm. Phương pháp này dựa trên việc chia đa thức thành các nhóm nhỏ hơn, sau đó áp dụng các kỹ thuật phân tích trên từng nhóm.

Ví dụ, xét đa thức \[3x^4 + 2x^3 – 5x^2 + 7x – 9\]. Chúng ta có thể chia nó thành các nhóm như sau:

\](3x^4 + 2x^3) + (-5x^2) + (7x) + (-9)\]

Sau đó, chúng ta có thể áp dụng các kỹ thuật khác như GCF hoặc nhận dạng hình thức đặc biệt trên từng nhóm để tìm ra các nhân tử.

Phương pháp nhóm rất linh hoạt và có thể được áp dụng cho nhiều loại đa thức khác nhau, tuy nhiên nó đòi hỏi người dùng phải có kỹ năng phân tích và chia tách đa thức một cách hiệu quả.

Hướng dẫn chi tiết về phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ năng quan trọng trong toán học, và có nhiều phương pháp khác nhau để thực hiện việc này. Trong phần này, chúng ta sẽ đi sâu vào từng phương pháp và cung cấp hướng dẫn chi tiết về cách áp dụng chúng.

Phương pháp chia sẻ nhân tử chung lớn nhất (GCF)

Như đã đề cập ở trên, phương pháp GCF dựa trên việc tìm ra các yếu tố chung lớn nhất giữa các hệ số và số mũ của đa thức, sau đó chia chúng ra để tách các nhân tử. Dưới đây là các bước cụ thể để áp dụng phương pháp này:

Bước 1: Xác định các hệ số và số mũ của đa thức. Bước 2: Tìm ước chung lớn nhất (GCF) của các hệ số và số mũ. Bước 3: Chia các hệ số và số mũ cho GCF để tách ra các nhân tử. Bước 4: Viết lại đa thức dưới dạng sản phẩm của GCF và các nhân tử.

Ví dụ, xét đa thức \[4x^3 – 8x^2 + 12x\]:

Bước 1: Các hệ số là 4, -8 và 12. Các số mũ là 3, 2 và 1. Bước 2: GCF của các hệ số là 4, và GCF của các số mũ là 1. Bước 3: Chia các hệ số và số mũ cho GCF: \[\frac = 1\]. Bước 4: Viết lại đa thức dưới dạng \[4x(x^2 – 2x + 3)\].

Phương pháp GCF rất hữu ích khi phân tích các đa thức có hệ số hoặc số mũ chung, nhưng có thể gặp khó khăn khi áp dụng cho các đa thức bậc cao hơn.

Phương pháp nhận dạng hình thức đặc biệt

Phương pháp nhận dạng hình thức đặc biệt dựa trên việc nhận ra các mẫu hoặc khuôn mẫu đặc biệt trong cấu trúc của đa thức, sau đó áp dụng các quy tắc hoặc công thức cụ thể để phân tích chúng. Dưới đây là một số ví dụ về các hình thức đặc biệt và cách áp dụng:

Hình thức \[(a^2 – b^2)\]: Áp dụng công thức \[(a + b)(a – b)\]. Hình thức \[(a^2 + 2ab + b^2)\]: Áp dụng công thức \[(a + b)^2\]. Hình thức \[(a^2 – 2ab + b^2)\]: Áp dụng công thức \[(a – b)^2\].

Ví dụ, xét đa thức \[x^2 – 9\]. Chúng ta có thể nhận ra rằng đây là một dạng khác của biểu thức \[a^2 – b^2\], và áp dụng công thức \[(a + b)(a – b)\] để phân tích nó thành \[(x + 3)(x – 3)\].

Phương pháp này đòi hỏi người dùng phải nắm vững các mẫu và công thức cụ thể, nhưng rất hữu ích khi áp dụng cho các dạng đa thức đặc biệt.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm

Phương pháp nhóm là một phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp này dựa trên việc chia đa thức thành các nhóm nhỏ hơn, sau đó áp dụng các kỹ thuật phân tích trên từng nhóm.

Chia đa thức thành các nhóm

Bước đầu tiên khi sử dụng phương pháp nhóm là chia đa thức thành các nhóm nhỏ hơn. Có nhiều cách để thực hiện việc này, như chia theo các hệ số, các số mũ, hoặc các dạng đặc biệt.

Ví dụ, xét đa thức \[3x^4 + 2x^3 – 5x^2 + 7x – 9\]. Chúng ta có thể chia nó thành các nhóm như sau:

\](3x^4 + 2x^3) + (-5x^2) + (7x) + (-9)\]

Trong ví dụ này, chúng ta đã chia đa thức thành 4 nhóm, dựa trên các số mũ của biến \[x\].

Áp dụng các kỹ thuật phân tích trên từng nhóm

Sau khi chia đa thức thành các nhóm, chúng ta có thể áp dụng các kỹ thuật phân tích như GCF hoặc nhận dạng hình thức đặc biệt trên từng nhóm để tìm ra các nhân tử.

Ví dụ, với đa thức \[3x^4 + 2x^3 – 5x^2 + 7x – 9\], chúng ta có thể áp dụng như sau:

\](3x^4 + 2x^3)\]: Có GCF là \[x^3\], do đó có thể viết lại là \[x^3(3x + 2)\]. \[(-5x^2)\]: Đây là một số âm, nên có thể viết lại là \[-5x^2\]. \[(7x)\]: Đây là một số dương, nên có thể giữ nguyên. \[(-9)\]: Đây là một số âm, nên có thể giữ nguyên.

Kết hợp lại, chúng ta có thể viết đa thức này dưới dạng \[x^3(3x + 2) – 5x^2 + 7x – 9\].

Phương pháp nhóm rất linh hoạt và có thể được áp dụng cho nhiều loại đa thức khác nhau. Tuy nhiên, nó đòi hỏi người dùng phải có kỹ năng phân tích và chia tách đa thức một cách hiệu quả.

Sử dụng quy tắc tích phân để phân tích đa thức thành nhân tử

Một phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử là sử dụng quy tắc tích phân. Phương pháp này dựa trên việc tìm ra các nhân tử của đa thức bằng cách tích phân các biểu thức liên quan.

Tìm nhân tử bằng cách tích phân

Để áp dụng phương pháp này, chúng ta cần tìm một biểu thức tích phân của đa thức, sau đó áp dụng các quy tắc tích phân để tìm ra các nhân tử.

Ví dụ, xét đa thức \[x^4 – 4x^2 + 3\]. Chúng ta có thể viết lại đa thức này dưới dạng \[\int (x^4 – 4x^2 + 3) dx\]. Sau đó, áp dụng các quy tắc tích phân như sau:

\]\int (x^4 – 4x^2 + 3) dx = \frac + 3x + C\]

Từ đây, chúng ta có thể nhận ra rằng đa thức này có thể được viết dưới dạng \[(x^5/5 – 2x^3/3 + 3x) + C\]. Điều này意味着đa thức ban đầu có thể được phân tích thành \[(x)(x^4 – 2x^2 + 3)\].

Ứng dụng của phương pháp tích phân

Phương pháp sử dụng quy tắc tích phân để phân tích đa thức thành nhân tử rất hữu ích, đặc biệt là khi áp dụng chocác đa thức phức tạp hoặc khi gặp khó khăn trong việc nhận dạng các nhân tử truyền thống. Bằng cách áp dụng quy tắc tích phân, ta có thể khai thác được các đặc tính của biểu thức để làm nổi bật các yếu tố chính có trong nó.

Một ưu điểm lớn của phương pháp này là khả năng tìm kiếm các cấu trúc ẩn trong đa thức mà có thể không dễ dàng nhận thấy bằng những cách thông thường. Khi thực hiện tích phân, chúng ta không chỉ đang tìm kiếm các nhân tử mà còn có thể khám phá ra những thông tin khác về đa thức như tính chất đối xứng hay sự phân bố của các gốc.

Kết luận về quy tắc tích phân

Phương pháp tích phân cung cấp cho người học một công cụ mạnh mẽ để phân tích và hiểu sâu hơn về các đa thức. Dù rằng đây không phải là phương pháp phổ biến nhất trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, nhưng nó mở ra những góc nhìn mới, giúp giải quyết các bài toán phức tạp và khuyến khích sự sáng tạo trong tư duy toán học.

Người học nên cân nhắc sử dụng phương pháp này khi họ cảm thấy mình bị bế tắc với các kỹ thuật truyền thống. Từ đó, việc phân tích trở nên phong phú hơn và có thể tiếp cận được những kết quả không ngờ tới.

Cách phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử

Khi nói đến việc phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử, quá trình này thường phức tạp hơn so với các đa thức bậc thấp. Với độ phức tạp gia tăng, yêu cầu về sự kiên nhẫn và chiến lược phân tích cũng cần được nâng cao.

Nhận diện các loại đa thức bậc cao

Để phân tích một đa thức bậc cao, bước đầu tiên là nhận diện loại đa thức mà bạn đang làm việc. Các loại đa thức như đa thức bậc ba, bậc bốn hoặc thậm chí bậc năm có thể mang lại những thách thức khác nhau. Việc nhận diện đúng loại sẽ giúp bạn lựa chọn phương pháp phù hợp cho từng trường hợp cụ thể.

Ví dụ, đối với đa thức bậc ba, bạn có thể sử dụng quy tắc phân chia hoặc phương pháp nhóm. Trong khi đó, đa thức bậc bốn có thể yêu cầu bạn áp dụng những công thức đặc biệt hơn hoặc thậm chí phân tích các nhân tử phức tạp hơn.

Sử dụng định lý cơ bản về đa thức

Một trong những cách hiệu quả để phân tích các đa thức bậc cao là áp dụng định lý cơ bản về đại số. Định lý này cho biết rằng bất kỳ đa thức bậc n nào cũng sẽ có ít nhất n nghiệm (có thể là số thực hoặc số phức). Điều này có nghĩa là bạn có thể bắt đầu bằng việc tìm các nghiệm của đa thức và sau đó viết lại đa thức theo dạng nhân tử tương ứng.

Khi bạn đã xác định được các nghiệm, bạn có thể viết lại đa thức dưới dạng nhân tử. Ví dụ, nếu bạn tìm được các nghiệm của đa thức là a, b, c, bạn có thể viết lại đa thức dưới dạng \[(x – a)(x – b)(x – c)\].

Phân tích đa thức bậc cao với hệ số hữu tỷ

Khi đa thức bậc cao có hệ số hữu tỷ, việc áp dụng phương pháp thử nghiệm để tìm nghiệm có thể rất hiệu quả. Bạn có thể thử một vài giá trị nguyên hoặc phân số cho x để xem liệu chúng có phải là nghiệm của đa thức hay không. Nếu tìm thấy một nghiệm, bạn có thể chia đa thức ban đầu cho \[(x – r)\], nơi r là nghiệm tìm được, và tiếp tục phân tích phần còn lại.

Việc phân tích các đa thức bậc cao đòi hỏi người học cần có tính kiên trì và khả năng tư duy linh hoạt. Một bài học quan trọng từ việc này là không bao giờ bỏ cuộc; ngay cả khi bạn gặp khó khăn, hãy thử các phương pháp khác nhau và luôn sẵn sàng điều chỉnh kế hoạch của mình.

Phân tích đa thức thành nhân tử với hệ số hữu tỷ

Trong toán học, việc phân tích đa thức thành nhân tử với hệ số hữu tỷ có thể đem lại nhiều lợi ích, đặc biệt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hoặc tìm nghiệm của phương trình. Hệ số hữu tỷ cho phép chúng ta áp dụng nhiều phương pháp phân tích khác nhau một cách linh hoạt.

Khái niệm về hệ số hữu tỷ

Hệ số hữu tỷ là những số có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Khi nói về các đa thức có hệ số hữu tỷ, điều này có nghĩa là tất cả các hệ số trong đa thức đều là số hữu tỷ. Đặc điểm này giúp cho quá trình phân tích trở nên đơn giản hơn bởi vì chúng ta có thể áp dụng nhiều quy tắc toán học căn bản mà không cần phải lo lắng về sự phức tạp của các số vô tỷ.

Sử dụng phương pháp tìm nghiệm

Một cách phổ biến để phân tích đa thức có hệ số hữu tỷ là sử dụng phương pháp tìm nghiệm. Bằng cách kiểm tra các giá trị nguyên hoặc phân số dựa trên hệ số của đa thức, bạn có thể nhanh chóng xác định được nghiệm. Khi tìm thấy một nghiệm, bạn có thể sử dụng phương pháp chia synthetic để phân tích đa thức thành các nhân tử.

Chẳng hạn, nếu bạn có đa thức \[2x^3 + 3x^2 – 8x + 4\], hãy thử dùng các giá trị như 1, -1, 2, -2,… để tìm nghiệm. Sau khi tìm nghiệm, bạn có thể tiếp tục phân tích phần còn lại của đa thức.

Khám phá tính chất của đa thức

Dù rằng cách tiếp cận bằng hệ số hữu tỷ có thể khá đơn giản, nhưng cũng cần lưu ý rằng mỗi đa thức đều có những đặc điểm riêng. Khi phân tích, hãy chú ý đến các điều kiện như tính đồng nhất hay sự phân bố của các nghiệm. Những yếu tố này có thể ảnh hưởng đến cách bạn chọn phương pháp phân tích.

Nhìn chung, việc phân tích đa thức có hệ số hữu tỷ là một hành trình thú vị và đầy thách thức. Nó không chỉ giúp người học nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.

Bài tập minh họa phân tích đa thức thành nhân tử

Một trong những cách tốt nhất để làm quen với việc phân tích đa thức là thông qua việc thực hành. Các bài tập minh họa không chỉ giúp củng cố lý thuyết mà còn cho phép bạn áp dụng các phương pháp vào những tình huống thực tế.

Bài tập 1: Phân tích đa thức bậc hai

Cho đa thức sau: \[x^2 – 5x + 6\].

Hãy phân tích đa thức này thành nhân tử. Đây là một ví dụ đơn giản giúp bạn làm quen với việc nhận diện hình thức đặc biệt. Trong trường hợp này, bạn có thể nhận thấy rằng đa thức này có thể viết lại thành \[(x – 2)(x – 3)\].

Bài tập 2: Phân tích đa thức bậc ba

Tiếp theo, xét đa thức: \[2x^3 – 4x^2 – 6x\].

Thực hiện phân tích để tìm các nhân tử. Đầu tiên, bạn có thể lấy GCF ra ngoài, sau đó phân tích phần còn lại. Kết quả sẽ là \[2x(x^2 – 2x – 3)\], và tiếp tục phân tích phần còn lại dẫn đến kết quả cuối cùng là \[2x(x – 3)(x + 1)\].

Bài tập 3: Đa thức bậc cao

Cuối cùng, hãy thử sức với một bài tập phức tạp hơn: \[x^4 – 5x^2 + 4\].

Bài tập này yêu cầu bạn nhận diện và áp dụng những kỹ thuật đã học để phân tích. Bạn có thể bắt đầu bằng cách đặt \[y = x^2\], biến đa thức thành dạng bậc hai: \[y^2 – 5y + 4\]. Phân tích biểu thức này sẽ dẫn bạn đến \[(y – 1)(y – 4)\], từ đó quay lại với biến x, và cuối cùng bạn sẽ có \[(x^2 – 1)(x^2 – 4)\], rồi tiếp tục phân tích để có kết quả cuối cùng là \[(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)\].

Bài viết Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương chia 2

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương chia 2 mà chúng tôi muốn chia sẻ cho các bạn.

Bảng Cửu Chương Chia 2

Mẹo học bảng cửu chương 2 nhanh:

Học thuộc bảng cửu chương nhanh không phải là một chuyện dễ dàng đối với nhiều người, đặc biệt là với các bạn nhỏ vì phải ghi nhớ quá nhiều con số. Vì vậy, đó là lý do chúng tôi đưa ra vài phương pháp dưới đây giúp các em dễ dàng ghi nhớ bảng cửu chương nhanh và lâu hơn.

Mẹo 1: Học thuộc bảng cửu chương từ dễ đến khó

Học thuộc bảng cửu chương là vô cùng quan trọng nhưng không phải ai cũng biết cách học hiệu quả và tạo sự hứng thú khi học cho trẻ. Ở Việt Nam, bảng cửu chương thông thường sẽ là từ bảng 2 đến bảng 9, vì vậy bố mẹ thường sẽ bắt ép các con học theo thứ tự, cách làm này sẽ khiến cho trẻ khó ghi nhớ và làm cho trẻ chán nản với việc học Toán.

Bố mẹ nên áp dụng phương pháp học từ bảng cửu chương dễ đến bảng khó; thay vì bắt trẻ học thuộc theo thứ tự từ bảng 2 đến bảng 9 thì cho trẻ học theo bảng có phép tính đơn giản dễ nhớ trước và tăng dần độ khó lên như là 5, 2, 3, 6, 9, 4, 8, 7.

Mẹo 2: Học bảng cửu chương bằng cách luyện tập liên tục

Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn, học thuộc liên tục: thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Vì học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Mẹo 3: Học thuộc bảng cửu chương qua bài hát

Trẻ em thường rất khó nhớ những con số và tất nhiên là không thể tập trung học lâu được. Vì vậy, nếu học thuộc bảng cửu chương qua những lời bài hát có các giai điệu bắt tay sẽ giúp cho các bé thích thú và ghi nhớ nhanh hơn.

Mẹo 4: Treo hình ảnh bảng cửu chương

Với cách này, bố mẹ chỉ cần in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.

Ví dụ bảng cửu chương chia 2:

Ví dụ 1:: Có tất cả 8 cái kẹo được chia đều vào 2 hộp. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Có tất cả: 8 cái kẹo

Chia đều: 2 hộp

Mỗi hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số cái kẹo mỗi hộp có tất cả là:

8 : 2 = 4 (cái kẹo)

=> Kết luận: Mỗi hộp có 4 cái kẹo.

Ví dụ 2: Có 12 cái bánh được xếp đều vào 2 hộp. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu cái bánh?

Tóm tắt:

Có: 12 cái bánh

Xếp đều: 2 hộp

Mỗi hộp: ? cái bánh

Bài giải:

Số cái bánh có ở trong mỗi hộp là:

12 : 2 = 6 (cái bánh)

=> Kết luận: Mỗi hộp có 6 cái bánh.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Chia 2 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 7

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương nhân 7 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến các bạn.

Bảng cửu chương của 7 là một bảng thể hiện phép nhân của số 7 với các số nguyên khác. Ghi nhớ bảng cửu chương 7 sẽ phát triển kỹ năng ghi nhớ và kỹ năng tính toán nhanh, điều này sẽ rất hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến phép nhân và phép chia, vì sẽ làm cho các phép tính đơn giản hơn.

Mẹo học bảng cửu chương 7 nhanh:

• Cộng 7 liên tiếp để tìm đáp án: Phép nhân 7 cũng giống như việc cộng 7 nhiều lần lại với nhau. Dưới đây là ví dụ để giúp bạn dễ hiểu hơn:

  Ví dụ:

  Tìm kết quả của phép tính 7 x 3

  Đầu tiên, 7 x 3 cũng có thể được viết là 7 + 7 + 7

  Sau đó, 7 + 7 + 7 = 21

  Ta có, 7 x 3 = 21

  Vậy kết quả của phép tính 7 x 3 = 21

• Treo hình bảng cửu chương: Giúp bé làm quen với bảng nhân 7 bằng cách in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và luyện tập thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn và học thuộc liên tục; thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Ví dụ bảng cửu chương 7:

Ví dụ 1: Trong mỗi buổi học, người ta xếp 7 hàng ghế, mỗi hàng có 6 người. Hỏi buổi học đó có bao nhiêu người ngồi học?

Tóm tắt:

Người ta xếp: 7 hàng ghế

Mỗi hàng có: 6 người

Buổi học đó: ? người ngồi học.

Bài giải:

Số người ngồi học trong buổi học đó là :

7 x 6 = 42 (người)

=> Kết luận: Có 42 người ngồi học trong buổi học đó.

Ví dụ 2: Mỗi hộp có 7 cái kẹo. Hỏi 8 hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Mỗi hộp có: 7 cái kẹo

8 hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số kẹo có ở trong 8 hộp là:

7 x 8 = 56 (cái kẹo)

=> Kết luận: có tất cả 16 cái kẹo trong 8 hộp.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Nhân 7 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 9

Dưới đây là hình ảnh của bảng cửu chương nhân 9 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến các bạn.

Bảng Cửu Chương Nhân 9

Bảng cửu chương của 9 là một bảng thể hiện phép nhân của số 9 với các số nguyên khác. Ghi nhớ bảng cửu chương 9 sẽ phát triển kỹ năng ghi nhớ và kỹ năng tính toán nhanh, điều này sẽ rất hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến phép nhân và phép chia, vì sẽ làm cho các phép tính đơn giản hơn.

Mẹo học bảng cửu chương 9 nhanh:

• Cộng 9 liên tiếp để tìm đáp án: Phép nhân 9 cũng giống như việc cộng 9 nhiều lần lại với nhau. Dưới đây là ví dụ để giúp bạn dễ hiểu hơn:

  Ví dụ:

  Tìm kết quả của phép tính 9 x 3

  Đầu tiên, 9 x 3 cũng có thể được viết là 9 + 9 + 9

  Sau đó, 9 + 9 + 9 = 27

  Ta có, 9 x 3 = 27

  Vậy kết quả của phép tính 9 x 3 = 27

• Treo hình bảng cửu chương: Giúp bé làm quen với bảng nhân 9 bằng cách in hình bảng cửu chương ra và dán hình ảnh vào nơi mà trẻ dễ nhìn thấy nó thường xuyên nhất, điều này sẽ làm cho trẻ tiếp xúc với bảng cửu chương mỗi ngày, nếu như quên thì trẻ có thể nhìn thấy đáp án được luôn mà không cần mở sách, điều này giúp việc học bảng cửu chương của trẻ trở nên dễ dàng hơn.
• Luyện tập thường xuyên: Học thuộc 1 thứ gì đó đòi hỏi sự lặp đi lặp lại nhiều lần và luyện tập thường xuyên sẽ làm bạn nhớ kiến thức lâu hơn. Thay vì cứ bắt ép trẻ ngồi vào bàn và học thuộc liên tục; thì hàng ngày bố mẹ có thể thường xuyên đặt ra các câu hỏi hoặc câu đố liên quan đến bảng cửu chương để kích thích tư duy và khả năng trả lời của trẻ. Với cách này sẽ giúp cho trẻ cảm thấy không bị nhàm chán, vì tính cách của chúng thích chinh phục những câu hỏi, điều này sẽ giúp chúng ghi nhớ bảng cửu chương lâu hơn một cách rất tự nhiên và tạo phản xạ nhanh cho trẻ.

Ví dụ bảng cửu chương 9:

Ví dụ 1: Trong mỗi buổi học, người ta xếp 9 hàng ghế, mỗi hàng có 6 người. Hỏi buổi học đó có bao nhiêu người ngồi học?

Tóm tắt:

Người ta xếp: 9 hàng ghế

Mỗi hàng có: 6 người

Buổi học đó: ? người ngồi học.

Bài giải:

Số người ngồi học trong buổi học đó là :

9 x 6 = 54 (người)

=> Kết luận: Có 54 người ngồi học trong buổi học đó.

Ví dụ 2: Mỗi hộp có 9 cái kẹo. Hỏi 8 hộp có bao nhiêu cái kẹo?

Tóm tắt:

Mỗi hộp có: 9 cái kẹo

8 hộp có: ? cái kẹo

Bài giải:

Số kẹo có ở trong 8 hộp là:

9 x 8 = 72 (cái kẹo)

=> Kết luận: có tất cả 16 cái kẹo trong 8 hộp.

Bảng cửu chương

Bài viết Bảng Cửu Chương Nhân 9 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương nhân 17 cho học sinh

Nhiều học sinh thường gặp khó khăn khi học đến các bảng cửu chương lớn hơn, và bảng cửu chương nhân 17 cũng không phải là ngoại lệ. Phần này sẽ trình bày chi tiết bảng cửu chương này, phân tích cấu trúc và đưa ra những phương pháp tiếp cận phù hợp để học sinh dễ dàng nắm bắt và ghi nhớ.

Cấu trúc của bảng cửu chương nhân 17

Như các bảng cửu chương khác, bảng cửu chương nhân 17 bao gồm các phép nhân từ 17 x 1 đến 17 x 10. Điều đáng chú ý là kết quả của các phép nhân này thường có hai chữ số và đôi khi là ba chữ số, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tính nhẩm tốt hơn. Một trong những đặc điểm thú vị của bảng cửu chương nhân 17 là sự lặp lại của một số chữ số ở hàng đơn vị trong kết quả. Ví dụ, 17 x 3 = 51 và 17 x 8 = 136 đều có chữ số 1 ở hàng đơn vị. Sự lặp lại này, dù không theo quy luật rõ ràng, có thể được sử dụng như một mẹo nhỏ để kiểm tra lại kết quả khi học thuộc.

Nhìn chung, bảng cửu chương nhân 17 không tuân theo quy luật cộng dồn dễ nhận thấy như bảng cửu chương nhân 9. Tuy nhiên, nếu phân tích kỹ, chúng ta có thể thấy một số mối liên hệ thú vị giữa các phép nhân. Ví dụ, 17 x 5 = 85, và 17 x 10 = 170 (chỉ cần thêm một số 0 vào sau). Hay như 17 x 2 = 34, nếu ta làm một phép tính nhân đôi 34 lên sẽ ra 17×4 =68, đây là một cách học khá hay ho. Việc tìm ra những mối liên hệ này sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của phép nhân và không còn cảm thấy quá e ngại với các con số lớn.

Phương pháp tiếp cận cho học sinh tiểu học

Đối với học sinh tiểu học, việc học bảng cửu chương nhân 17 nên được tiếp cận một cách từ từ và có hệ thống. Thay vì yêu cầu học sinh học thuộc lòng ngay lập tức, giáo viên và phụ huynh nên bắt đầu bằng việc giải thích ý nghĩa của phép nhân, cho học sinh làm quen với các con số và tập tính nhẩm các phép nhân đơn giản. Các trò chơi, bài hát, và hoạt động tương tác sẽ là những công cụ hữu ích để kích thích hứng thú học tập của trẻ. Hoạt động tương tác bao gồm như viết phép tính ra giấy, đọc to phép tính và kết quả.

Bên cạnh đó, việc ứng dụng bảng cửu chương nhân 17 vào các bài toán thực tế cũng rất quan trọng. Ví dụ, giáo viên có thể đặt ra các tình huống như: “Nếu mỗi bạn trong lớp có 17 quyển vở, thì 5 bạn sẽ có bao nhiêu quyển vở?”. Những bài toán như vậy sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của bảng cửu chương trong cuộc sống và tạo động lực để học tập. Qua làm các bài tập thực tế, học sinh sẽ nhận ra tầm quan trọng của bảng cửu chương giúp ích cuộc sống hằng ngày.

Phương pháp tiếp cận cho học sinh trung học cơ sở

Học sinh trung học cơ sở đã có nền tảng toán học tốt hơn, do đó, việc học bảng cửu chương nhân 17 có thể được tiếp cận ở một mức độ cao hơn. Giáo viên có thể khuyến khích học sinh tự tìm ra các quy luật, mối liên hệ giữa các phép nhân trong bảng cửu chương. Việc phân tích, so sánh và tìm ra điểm chung giữa các phép nhân sẽ giúp học sinh ghi nhớ bảng cửu chương một cách logic và sâu sắc hơn.

Ngoài ra, việc sử dụng các phần mềm học tập, ứng dụng di động cũng là một phương pháp hiệu quả. Các ứng dụng này thường được thiết kế với giao diện thân thiện, tích hợp nhiều trò chơi và bài tập tương tác, giúp học sinh vừa học vừa giải trí. Việc luyện tập thường xuyên trên các ứng dụng này sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng tính toán của mình. Tự học là một trong những yếu tố cốt lõi để học sinh có thể tự học mọi lúc mọi nơi, không chỉ riêng bảng cửu chương nhân 17.

Hướng dẫn cách học bảng cửu chương nhân 17

Việc học bảng cửu chương, đặc biệt là bảng cửu chương nhân 17, đòi hỏi sự kiên trì và phương pháp học tập phù hợp. Dưới đây là một số hướng dẫn chi tiết giúp bạn học bảng cửu chương này một cách hiệu quả. Cách học thông minh sẽ đem lại cho bạn một kết quả học tập mĩ mãn.

Học từng phần nhỏ

Thay vì cố gắng học thuộc toàn bộ bảng cửu chương nhân 17 cùng một lúc, bạn nên chia nhỏ thành từng phần để học. Ví dụ, bạn có thể bắt đầu với việc học từ 17 x 1 đến 17 x 5, sau đó mới chuyển sang học từ 17 x 6 đến 17 x 10. Việc chia nhỏ như vậy sẽ giúp bạn dễ dàng tập trung và ghi nhớ hơn. Một cách chia nhỏ hợp lý sẽ giúp việc học dễ dàng hơn, nên chia làm 2 phần 17×1 đến 17×5 và 17×6 đến 17×10 để học và ghi nhớ.

Khi học từng phần, bạn nên lặp đi lặp lại nhiều lần, cả bằng cách đọc to và viết ra giấy. Việc kết hợp giữa việc đọc và viết sẽ giúp bạn ghi nhớ thông tin tốt hơn, bởi vì nó kích thích cả thị giác và thính giác của bạn. Bạn cũng có thể sử dụng các thẻ ghi nhớ (flashcards) để tự kiểm tra kiến thức của mình. Việc học thuộc bảng cửu chương giống như xây dựng một ngôi nhà, cần phải xây dựng từ nền móng vững chắc.

Tìm ra các mối liên hệ

Như đã đề cập ở trên, bảng cửu chương nhân 17 có một số mối liên hệ thú vị giữa các phép nhân. Việc tìm ra những mối liên hệ này sẽ giúp bạn ghi nhớ bảng cửu chương một cách logic và có hệ thống hơn. Ví dụ, bạn có thể nhận thấy rằng 17 x 2 = 34, và 17 x 4 = 68 (gấp đôi kết quả của 17 x 2). Việc ghi nhớ 17 x 2 cũng đồng thời giúp bạn nhớ kết quả của 17 x 4.

Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm ra các mối liên hệ giữa bảng cửu chương nhân 17 với các bảng cửu chương khác. Ví dụ, 17 x 3 = 51, và 51 cũng là kết quả của phép nhân 3 x 17 trong bảng cửu chương nhân 3. Việc tìm ra những mối liên hệ như vậy sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về bản chất của phép nhân và củng cố kiến thức toán học của mình.

Luyện tập thường xuyên

“Có công mài sắt, có ngày nên kim” – câu tục ngữ này hoàn toàn đúng với việc học bảng cửu chương. Việc luyện tập thường xuyên là chìa khóa để bạn có thể ghi nhớ bảng cửu chương nhân 17 một cách thành thạo. Mỗi ngày, bạn nên dành ra một khoảng thời gian nhất định để ôn tập bảng cửu chương, có thể là 15-20 phút trước khi đi ngủ hoặc sau khi thức dậy.

Ngoài việc tự học, bạn cũng có thể luyện tập cùng với bạn bè hoặc người thân. Việc học nhóm sẽ giúp bạn có thêm động lực và có thể học hỏi từ nhau. Bạn có thể tổ chức các trò chơi, cuộc thi nhỏ để việc học trở nên thú vị hơn. Chăm chỉ luyện tập bảng cửu chương nhân 17 thường xuyên sẽ đem lại hiệu quả học tập tốt và nhanh chóng nhất.

Các bài tập thực hành với bảng cửu chương nhân 17

Học đi đôi với hành, việc thực hành các bài tập liên quan đến bảng cửu chương nhân 17 là vô cùng quan trọng để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng tính toán. Dưới đây là một số dạng bài tập thực hành mà bạn có thể áp dụng. Các bài tập thực hành sẽ bao gồm từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh củng cố kiến thức sau khi học.

Bài tập điền vào chỗ trống

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu bạn điền kết quả còn thiếu vào các phép nhân trong bảng cửu chương nhân 17. Ví dụ:

• 17 x 3 = …
• 17 x … = 85
• … x 7 = 119

Dạng bài tập này giúp bạn rèn luyện khả năng ghi nhớ và tính nhẩm nhanh. Bạn có thể tự tạo ra các bài tập tương tự bằng cách che đi một phần của bảng cửu chương và cố gắng điền vào các ô trống. Hoặc nhờ sự giúp đỡ của người thân, bạn bè hỗ trợ ra đề bài để luyện tập.

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm thường đưa ra một phép nhân trong bảng cửu chương nhân 17 và yêu cầu bạn chọn đáp án đúng trong số các phương án cho trước. Ví dụ:

17 x 6 = ?

• A. 92
• B. 102
• C. 112
• D. 122

Dạng bài tập này giúp bạn rèn luyện khả năng phản xạ nhanh và kiểm tra kiến thức một cách toàn diện. Bạn có thể tìm thấy các bài tập trắc nghiệm về bảng cửu chương nhân 17 trên mạng internet hoặc trong các sách bài tập. Các dạng bài tập trắc nghiệm sẽ được phân loại theo mức độ khó dễ khác nhau, các bạn nên luyện tập từ mức độ dễ trươc rồi nâng cao độ khó.

Bài tập ứng dụng

Đây là dạng bài tập đòi hỏi bạn phải vận dụng bảng cửu chương nhân 17 vào giải quyết các bài toán thực tế. Ví dụ:

• Một cửa hàng bán 17 thùng nước ngọt, mỗi thùng có 9 chai. Hỏi cửa hàng đó có tất cả bao nhiêu chai nước ngọt?
• Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 17 mét và chiều rộng 6 mét. Tính diện tích của khu vườn đó.
• Một đội công nhân cần lát gạch cho một con đường dài 170 mét. Mỗi ngày, họ lát được 17 mét. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì đội công nhân lát xong con đường?

Những bài tập dạng vận dụng như vậy không chỉ giúp bạn củng cố kiến thức về bảng cửu chương mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và giải quyết vấn đề. Bạn có thể tự đặt ra các tình huống thực tế và áp dụng bảng cửu chương nhân 17 để giải quyết. Đó là một trong những cách học vừa đem lại hứng thú mà còn hiệu quả cao.

Tổng hợp bảng cửu chương nhân 17

Để thuận tiện cho việc học tập và tra cứu, dưới đây là bảng tổng hợp đầy đủ bảng cửu chương nhân 17:

• 17 x 1 = 17
• 17 x 2 = 34
• 17 x 3 = 51
• 17 x 4 = 68
• 17 x 5 = 85
• 17 x 6 = 102
• 17 x 7 = 119
• 17 x 8 = 136
• 17 x 9 = 153
• 17 x 10 = 170

In bảng cửu chương nhân 17 ra giấy

Việc in bảng cửu chương nhân 17 ra giấy và dán ở những nơi dễ nhìn như bàn học, tủ lạnh, hay cửa phòng sẽ giúp bạn thường xuyên tiếp xúc và ghi nhớ bảng cửu chương một cách tự nhiên. Mỗi khi nhìn thấy bảng cửu chương, bạn có thể nhẩm lại một lượt hoặc tập trung vào những phép nhân mà mình chưa thuộc.

Bạn có thể sử dụng các mẫu bảng cửu chương có sẵn trên mạng internet hoặc tự thiết kế một bảng cửu chương theo ý thích của mình. Việc sử dụng màu sắc, hình ảnh sinh động sẽ làm cho bảng cửu chương trở nên bắt mắt và dễ nhớ hơn.

Sử dụng bảng cửu chương nhân 17 để tra cứu

Khi làm bài tập hoặc giải quyết các bài toán, bạn có thể sử dụng bảng cửu chương nhân 17 để tra cứu kết quả một cách nhanh chóng. Việc này đặc biệt hữu ích khi bạn mới bắt đầu học bảng cửu chương và chưa thuộc lòng hết các phép nhân.

Tuy nhiên, bạn không nên quá phụ thuộc vào việc tra cứu. Hãy cố gắng tự tính nhẩm trước, sau đó mới sử dụng bảng cửu chương để kiểm tra lại kết quả. Việc này sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng tính toán và ghi nhớ bảng cửu chương tốt hơn.

Kết hợp bảng cửu chương nhân 17 với các bảng cửu chương khác

Khi đã nắm vững bảng cửu chương nhân 17, bạn có thể kết hợp nó với các bảng cửu chương khác để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Ví dụ, để tính 17 x 12, bạn có thể tách thành 17 x (10 + 2) = (17 x 10) + (17 x 2) = 170 + 34 = 204.

Việc kết hợp các bảng cửu chương như vậy không chỉ giúp bạn rèn luyện kỹ năng tính toán mà còn giúp bạn hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các con số và các phép tính. Đây là nền tảng quan trọng để bạn học tốt các kiến thức toán học nâng cao hơn.

Lợi ích của việc thuộc lòng bảng cửu chương nhân 17

Việc thuộc lòng bảng cửu chương nhân 17 không chỉ đơn thuần là ghi nhớ các con số, mà nó còn mang lại nhiều lợi ích thiết thực cho việc học tập và cuộc sống. Dưới đây là một số lợi ích quan trọng của việc thuộc lòng bảng cửu chương này. Giúp học sinh tính toán nhanh và chính xác hơn.

Nâng cao khả năng tính nhẩm

Thuộc lòng bảng cửu chương nhân 17 giúp bạn tính nhẩm nhanh hơn và chính xác hơn. Khi gặp các phép nhân liên quan đến số 17, bạn có thể đưa ra kết quả ngay lập tức mà không cần phải suy nghĩ hay tính toán nhiều. Điều này đặc biệt hữu ích trong các kỳ thi, khi mà thời gian là yếu tố quan trọng quyết định kết quả.

Khả năng tính nhẩm tốt không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán nhanh hơn mà còn giúp bạn tự tin hơn khi làm toán. Bạn sẽ không còn cảm thấy e ngại khi gặp các con số lớn hay các phép tính phức tạp.

Phát triển tư duy logic

Việc học thuộc và vận dụng bảng cửu chương nhân 17 đòi hỏi bạn phải tư duy logic và có hệ thống. Bạn cần phải tìm ra các mối liên hệ giữa các phép nhân, ghi nhớ các quy luật và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán khác nhau.

Quá trình này giúp rèn luyện khả năng tư duy phân tích, tổng hợp và suy luận, những kỹ năng quan trọng không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác của cuộc sống. Tư duy logic tốt sẽ giúp bạn giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả và đưa ra các quyết định sáng suốt.

Ứng dụng trong thực tế

Bảng cửu chương nhân 17 không chỉ có ích trong việc học tập mà còn có thể được ứng dụng trong nhiều tình huống thực tế. Ví dụ, khi đi mua sắm, bạn có thể sử dụng bảng cửu chương để tính tổng số tiền phải trả cho 17 món hàng cùng loại. Hoặc khi làm các công việc liên quan đến đo đạc, tính toán diện tích, bạn cũng có thể vận dụng bảng cửu chương này để đưa ra kết quả nhanh chóng và chính xác.

Việc ứng dụng bảng cửu chương vào thực tế không chỉ giúp bạn giải quyết các công việc hàng ngày một cách dễ dàng hơn mà còn giúp bạn nhận ra tầm quan trọng của toán học trong cuộc sống. Từ đó, bạn sẽ có thêm động lực để học tập và khám phá những kiến thức toán học mới.

Bảng cửu chương nhân 17 và những mẹo ghi nhớ

Nhiều người cho rằng học thuộc bảng cửu chương nhân 17 là một công việc khó khăn và nhàm chán. Tuy nhiên, với những mẹo ghi nhớ sáng tạo và thú vị, việc học bảng cửu chương này có thể trở nên dễ dàng và hấp dẫn hơn. Dưới đây là một số mẹo mà bạn có thể áp dụng.

Sử dụng âm nhạc và nhịp điệu

Âm nhạc và nhịp điệu có tác động mạnh mẽ đến trí nhớ của con người. Bạn có thể tận dụng điều này để học bảng cửu chương nhân 17 bằng cách tạo ra các bài hát, bài vè có nội dung là các phép nhân trong bảng cửu chương. Việc lặp đi lặp lại các phép nhân theo nhịp điệu của bài hát sẽ giúp bạn ghi nhớ chúng một cách tự nhiên và dễ dàng.

Bạn có thể tự sáng tác các bài hát đơn giản hoặc tìm kiếm các bài hát về bảng cửu chương trên mạng internet. Việc học bảng cửu chương thông qua âm nhạc không chỉ giúp bạn dễ nhớ hơn mà còn tạo ra sự hứng thú và niềm vui trong học tập.

Sử dụng hình ảnh và liên tưởng

Não bộ của con người ghi nhớ hình ảnh tốt hơn là các con số khô khan. Do đó, bạn có thể sử dụng hình ảnh và các liên tưởng để ghi nhớ bảng cửu chương 17. Ví dụ, bạn có thể liên tưởng số 17 với hình ảnh một chú hươu cao cổ (vì hươu cao cổ có cái cổ dài giống số 1), và số 7 với hình ảnh cầu vồng (vì cầu vồng có 7 màu). Khi đó, để nhớ phép nhân 17 x 7, bạn có thể tưởng tượng hình ảnh một chú hươu cao cổ đang ngắm cầu vồng.

Bạn cũng có thể vẽ các hình ảnh minh họa cho các phép nhân trong bảng cửu chương. Việc tự tay vẽ và tô màu các hình ảnh sẽ giúp bạn ghi nhớ các phép nhân một cách sâu sắc hơn, đồng thời kích thích sự sáng tạo và trí tưởng tượng của bạn. Đó là một trong những cách học rất thú vị.

Sử dụng các câu chuyện và tình huống

Một cách thú vị khác để ghi nhớ bảng cửu chương nhân 17 là sử dụng các câu chuyện và tình huống. Bạn có thể tự sáng tạo ra các câu chuyện có nội dung liên quan đến các phép nhân trong bảng cửu chương. Ví dụ, để nhớ phép nhân 17 x 3 = 51, bạn có thể tưởng tượng câu chuyện về 3 anh em, mỗi người có 17 viên bi, tổng cộng họ có 51 viên bi.

Bạn cũng có thể đặt ra các tình huống thực tế và áp dụng bảng cửu chương nhân 17 để giải quyết. Ví dụ, bạn có thể tưởng tượng mình đang đi mua sắm và cần mua 17 món đồ, mỗi món có giá 9 nghìn đồng. Khi đó, bạn sẽ cần phải tính nhẩm 17 x 9 để biết tổng số tiền phải trả. Việc học bảng cửu chương thông qua các câu chuyện và tình huống không chỉ giúp bạn dễ nhớ hơn mà còn giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của bảng cửu chương trong cuộc sống.

Video hướng dẫn bảng cửu chương17

Trong thời đại công nghệ số, video đã trở thành một công cụ học tập hiệu quả và phổ biến. Việc học bảng cửu chương nhân 17 thông qua video mang lại nhiều lợi ích, đặc biệt là đối với những người học theo phương pháp nghe nhìn. Dưới đây là một số cách mà bạn có thể tận dụng video để học bảng cửu chương này.

Tìm kiếm video hướng dẫn trên YouTube

YouTube là một kho tàng video khổng lồ, trong đó có rất nhiều video hướng dẫn học bảng cửu chương 17. Bạn có thể tìm thấy các video được thiết kế dành riêng cho trẻ em với hình ảnh sinh động, âm nhạc vui nhộn và cách dẫn dắt dễ hiểu. Bạn cũng có thể tìm thấy các video dành cho người lớn với phương pháp giảng dạy chi tiết và logic hơn.

Khi xem video, bạn nên chú ý lắng nghe, quan sát và ghi chép lại những thông tin quan trọng. Bạn cũng có thể tua đi tua lại các đoạn video để hiểu rõ hơn và ghi nhớ các phép nhân trong bảng cửu chương.

Sử dụng video làm công cụ ôn tập

Ngoài việc học kiến thức mới, bạn cũng có thể sử dụng video để ôn tập bảng cửu chương 17. Việc xem lại các video hướng dẫn sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và ghi nhớ bảng cửu chương một cách lâu dài hơn.

Bạn có thể tạo ra một danh sách phát (playlist) các video yêu thích và xem lại chúng thường xuyên, đặc biệt là trước các kỳ thi hoặc khi cần sử dụng bảng cửu chương để giải quyết các bài toán.

Tự tạo video hướng dẫn

Một cách học sáng tạo và hiệu quả là tự tạo ra các video hướng dẫn về bảng cửu chương 17. Bạn có thể sử dụng điện thoại thông minh hoặc máy tính bảng để quay video mình đang giảng giải về bảng cửu chương, hoặc tạo ra các video hoạt hình đơn giản với các nhân vật và tình huống thú vị.

Quá trình tự tạo video không chỉ giúp bạn củng cố kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng thuyết trình, sáng tạo và sử dụng công nghệ. Bạn cũng có thể chia sẻ các video của mình với bạn bè hoặc đăng tải lên các nền tảng mạng xã hội để lan tỏa kiến thức và truyền cảm hứng học tập cho người khác.

Bài viết Bảng cửu chương nhân 17 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Số tự nhiên là gì? Định nghĩa và ví dụ

Số tự nhiên là một khái niệm cơ bản trong toán học, đại diện cho những số dương được sử dụng để đếm và đo lường. Chúng ta có thể hình dung số tự nhiên như các đối tượng cụ thể, ví dụ như số quả táo, số người trong lớp, số cây bút trong hộp… Số tự nhiên được biểu diễn bằng các ký hiệu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và các tổ hợp của chúng.

Định nghĩa số tự nhiên

Số tự nhiên còn được gọi là số nguyên dương, bao gồm tập hợp các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,… cho đến vô cùng. Số 0 cũng được coi là một số tự nhiên. Do đó, tập hợp các số tự nhiên được biểu diễn bằng ký hiệu N =

Lời giải: Để tìm số tự nhiên lớn nhất và nhỏ nhất trong tập hợp . Tìm tổng của các số trong tập hợp A.

Lời giải: Để tìm tổng của các số trong tập hợp A = . Tìm tích của các số trong tập hợp B.

Lời giải: Để tìm tích của các số trong tập hợp B = . Tìm ước số chung lớn nhất của các số trong tập hợp C.

Lời giải: Để tìm ước số chung lớn nhất của các số trong tập hợp C = . Tìm bội số chung nhỏ nhất của các số trong tập hợp D.

Lời giải: Để tìm bội số chung nhỏ nhất của các số trong tập hợp D = , ta thực hiện như sau:

• Bội số chung nhỏ nhất của các số trong tập hợp D là 180.

Thông qua các bài tập trên, chúng ta có thể nắm vững hơn về các khái niệm và tính chất của số tự nhiên, từ đó vận dụng chúng một cách hiệu quả trong quá trình học tập và giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

Cách nhận biết số tự nhiên thông qua bài tập

Để nhận biết số tự nhiên, chúng ta có thể dựa vào các bài tập liên quan đến số tự nhiên. Dưới đây là một số ví dụ:

Bài tập về đếm số lượng

Ví dụ: “Có 5 quả táo, 8 quả cam và 3 quả lê trên bàn. Hãy tính tổng số quả trên bàn.” Để giải bài tập này, chúng ta cần nhận biết rằng các số 5, 8 và 3 là số tự nhiên, vì chúng đại diện cho số lượng các đối tượng cụ thể. Việc tính tổng các số này cũng là một phép tính với số tự nhiên.

Bài tập về so sánh số

Ví dụ: “Trong tập hợp , số lớn nhất là số nào?” Để giải bài tập này, chúng ta cần nhận biết rằng các số 7, 12, 4, 9 là số tự nhiên, và việc so sánh chúng để tìm số lớn nhất là một phép toán với số tự nhiên.

Bài tập về phép tính toán

Ví dụ: “Tính 15 + 27 – 8 x 3.” Để giải bài tập này, chúng ta cần nhận biết rằng các số 15, 27, 8, 3 là số tự nhiên, và việc thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân với chúng là các phép tính với số tự nhiên.

Thông qua các bài tập, chúng ta có thể nhận biết số tự nhiên dựa vào các đặc điểm sau:

• Số tự nhiên được dùng để đếm số lượng các đối tượng cụ thể.
• Số tự nhiên được sử dụng trong các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia.
• Số tự nhiên được sử dụng để so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
  

  Bài tập về phân tích số tự nhiên

  Ví dụ: “Hãy phân tích số 18 thành tổng của các số tự nhiên.” Để giải bài tập này, chúng ta nhận biết rằng số 18 có thể được phân tích thành tổng của nhiều cặp số tự nhiên khác nhau như 15 + 3, 10 + 8, hoặc 9 + 9. Việc phân tích số là một trong những cách để hiểu hơn về cấu trúc của nó và các số tự nhiên mà nó bao gồm.

Bài tập tìm số nguyên tố

Ví dụ: “Trong tập hợp , hãy tìm tất cả các số nguyên tố.” Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ chia hết cho chính nó và 1. Trong trường hợp này, các số 2, 3, 5, và 7 là số nguyên tố. Việc nhận biết số nguyên tố không chỉ giúp ta nắm bắt kiến thức số học còn nâng cao khả năng tư duy logic.

Bài tập giải phương trình đơn giản

Ví dụ: “Tìm x trong phương trình x + 5 = 12.” Để giải bài toán này, ta lấy 12 trừ đi 5, dẫn đến x = 7. Số 7 là một số tự nhiên, và việc giải phương trình là một ứng dụng thực tiễn của số tự nhiên trong việc tìm kiếm giá trị tương ứng.

Qua những bài tập trên, ta thấy rằng việc nhận biết số tự nhiên là cực kỳ quan trọng trong toán học. Nó không chỉ giúp chúng ta làm quen với các khái niệm cơ bản mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học các cấp độ phức tạp hơn. Các bài tập này cũng mở rộng khả năng phân tích và tư duy logic, từ đó giúp chúng ta giải quyết các vấn đề trong đời sống hàng ngày hiệu quả hơn.

Phương pháp giải bài tập về số tự nhiên

Giải bài tập liên quan đến số tự nhiên đòi hỏi người học phải có một phương pháp rõ ràng và hệ thống. Dưới đây là một số phương pháp hữu ích:

Phân tích bài toán

Trước tiên, cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu. Việc phân tích bài toán sẽ giúp bạn xác định các yếu tố cần thiết và hướng đi đúng đắn.

Khi phân tích, bạn nên đặt ra câu hỏi như:

• Đối tượng nào đang được nhắc đến?
• Cần tính toán hoặc so sánh gì?
• Có điều kiện nào cần lưu ý không?

Từ những câu hỏi này, bạn sẽ có cái nhìn tổng quát và dễ dàng hơn trong việc tìm lời giải.

Sử dụng hình ảnh trực quan

Một trong những công cụ hữu ích là sử dụng hình ảnh hoặc biểu đồ để hình dung rõ hơn về bài toán. Ví dụ, khi cần tìm tổng số lượng quả, bạn có thể vẽ hình minh họa về số lượng từng loại quả. Điều này không chỉ giúp bạn dễ dàng tính toán mà còn giữ hứng thú hơn trong quá trình học tập.

Áp dụng quy tắc và công thức

Có nhiều quy tắc và công thức liên quan đến số tự nhiên mà bạn có thể áp dụng. Ví dụ, trong việc tìm tổng của một dãy số tự nhiên liên tiếp, bạn có thể sử dụng công thức (T = \frac), trong đó (n) là số phần tử trong dãy.

Việc ghi nhớ và sử dụng linh hoạt các quy tắc này sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và tăng hiệu suất học tập.

Kiểm tra kết quả

Cuối cùng, sau khi hoàn thành bài tập, hãy dành thời gian kiểm tra lại kết quả. Điều này có thể bao gồm việc thử nghiệm lại các phép tính, xem xét lại các bước đã thực hiện hay thậm chí là thay đổi cách tiếp cận bài toán để so sánh kết quả.

Kiểm tra không chỉ giúp bạn khẳng định được độ chính xác của lời giải mà còn đem lại cho bạn sự tự tin hơn trong các bài tập tiếp theo.

Số tự nhiên và các phép toán cơ bản

Số tự nhiên là nền tảng cho nhiều phép toán cơ bản trong toán học. Để hiểu rõ hơn về mối quan hệ này, chúng ta sẽ tìm hiểu các phép toán chủ yếu mà số tự nhiên tham gia.

Phép cộng

Phép cộng là phép toán đầu tiên mà trẻ em thường được học trong toán học. Khi cộng hai số tự nhiên với nhau, ta luôn nhận được một số tự nhiên khác. Ví dụ, 3 + 5 = 8, tất cả đều là số tự nhiên.

Điều thú vị là phép cộng cũng có tính chất giao hoán và kết hợp. Nghĩa là, nếu bạn thay đổi thứ tự các số thì kết quả vẫn không đổi, ví dụ như 4 + 6 = 6 + 4. Tính chất này giúp cho việc tính toán trở nên linh hoạt hơn.

Phép trừ

Phép trừ là một phép toán quan trọng không kém. Khi bạn trừ một số tự nhiên khỏi một số khác, bạn có thể thu được một số tự nhiên nếu số bị trừ nhỏ hơn hoặc bằng số trừ. Ví dụ 10 – 3 = 7, nhưng 3 – 10 thì không thuộc tập hợp số tự nhiên.

Một điều cần chú ý là phép trừ không có tính chất giao hoán, nghĩa là 5 – 2 không bằng 2 – 5. Điều này làm cho việc quản lý phép tính trở nên phức tạp hơn và yêu cầu người học phải nắm rõ thứ tự thực hiện.

Phép nhân

Phép nhân có thể coi là phép cộng lặp lại. Khi nhân hai số tự nhiên với nhau, bạn thu được một số tự nhiên khác. Chẳng hạn, 3 x 4 có thể hiểu là 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Qua phép nhân, ta thấy rằng số tự nhiên có thể được biến đổi qua lại giữa các phép toán.

Tương tự như phép cộng, phép nhân cũng có tính chất giao hoán và kết hợp. Nhờ vào tính chất này, việc thực hiện các phép toán trở nên dễ dàng hơn và giúp tối ưu hóa quá trình tính toán.

Phép chia

Phép chia cho số tự nhiên cũng rất quan trọng, tuy nhiên, không phải lúc nào phép chia cũng cho ra số tự nhiên. Ví dụ, 7 ÷ 3 không cho ra số tự nhiên, nhưng 6 ÷ 2 = 3 thì có. Điều này khiến phép chia trở thành một phép toán cần cân nhắc kỹ lưỡng khi thao tác với số tự nhiên.

Từ những phép toán cơ bản này, ta có thể thấy rõ rằng số tự nhiên đóng vai trò rất quan trọng và đa dạng trong toán học. Hiểu rõ các phép toán và đặc điểm của số tự nhiên không chỉ giúp bạn nắm vững kiến thức mà còn hỗ trợ bạn trong việc giải quyết nhiều vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.

Bài viết Số tự nhiên là gì? Lý thuyết và bài tập lớp 6 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Bảng cửu chương chia từ 2 đến 9: Khái quát

Bảng cửu chương chia là một bảng chứa các kết quả của các phép chia từ 2 đến 9. Mỗi hàng trong bảng tương ứng với một số và hiển thị kết quả khi chia nó cho các số từ 1 đến 9. Việc nắm vững bảng cửu chương chia giúp học sinh có thể thực hiện các phép tính chia một cách nhanh chóng và chính xác.

Tầm quan trọng của bảng cửu chương chia

• Giúp học sinh nắm vững các phép tính chia cơ bản.
• Phát triển khả năng tính toán nhanh chóng và chính xác.
• Tạo nền tảng vững chắc cho các khái niệm toán học phức tạp hơn.
• Tăng cường kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic.
• Hỗ trợ học tập và thành tích học tập tốt hơn.

Cấu trúc của bảng cửu chương chia

Bảng cửu chương chia thường được trình bày dưới dạng một bảng các số, với các hàng tương ứng với các số từ 2 đến 9, và các cột tương ứng với các số từ 1 đến 9. Ô giao nhau giữa hàng và cột sẽ hiển thị kết quả của phép chia tương ứng.

Ví dụ:

Cách học bảng cửu chương chia hiệu quả

Để có thể nắm vững bảng cửu chương chia, các em học sinh cần phải thực hành và luyện tập thường xuyên. Dưới đây là một số phương pháp học tập hiệu quả:

Phương pháp học từng bảng cửu chương chia

Thay vì cố gắng học toàn bộ bảng cửu chương chia cùng lúc, hãy tập trung vào từng bảng cửu chương chia một. Bắt đầu từ bảng cửu chương chia 2, sau đó lần lượt học các bảng từ 3 đến 9. Điều này sẽ giúp các em dễ dàng nắm bắt và ghi nhớ từng bảng một.

Sử dụng các phương pháp ghi nhớ

Sử dụng các kỹ thuật ghi nhớ như lập bảng, viết lại, tạo câu chuyện hoặc mnemonic sẽ giúp các em dễ dàng ghi nhớ các phép chia trong bảng cửu chương chia.

Thực hành thường xuyên

Luyện tập thường xuyên là chìa khóa để nắm vững bảng cửu chương chia. Hãy tìm các ứng dụng, game hoặc bài tập để thực hành liên tục. Điều này sẽ giúp các em ghi nhớ và tự động hóa các phép tính chia.

Tạo môi trường học tập hấp dẫn

Để giữ được sự tập trung và hứng thú của học sinh, hãy tạo môi trường học tập hấp dẫn. Ví dụ, các em có thể học bảng cửu chương chia thông qua các trò chơi, hoạt động nhóm hoặc sử dụng các công cụ học tập trực tuyến.

Áp dụng kiến thức vào thực tế

Sau khi học và thực hành bảng cửu chương chia, hãy tìm cách áp dụng kiến thức này vào các tình huống thực tế. Điều này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của bảng cửu chương chia.

Ý nghĩa của bảng cửu chương chia trong toán học

Bảng cửu chương chia không chỉ là một công cụ tính toán cơ bản, mà còn có nhiều ý nghĩa quan trọng trong toán học.

Nền tảng cho các khái niệm toán học cao cấp

Việc nắm vững bảng cửu chương chia là nền tảng cho việc hiểu và vận dụng các khái niệm toán học cao cấp hơn, như đại số, giải tích, xác suất và thống kê.

Phát triển tư duy logic và giải quyết vấn đề

Khi thực hành bảng cửu chương chia, các em học sinh sẽ tập luyện khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề. Điều này sẽ giúp các em trở thành những người có năng lực toán học tốt.

Tăng cường kỹ năng tính toán nhanh chóng

Việc thành thạo bảng cửu chương chia sẽ giúp các em tăng cường khả năng tính toán nhanh chóng và chính xác, điều này rất cần thiết trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống.

Ứng dụng trong đời sống hàng ngày

Bảng cửu chương chia có nhiều ứng dụng thiết thực trong đời sống hàng ngày, như tính toán chi phí, đo lường, lập kế hoạch tài chính và nhiều hoạt động khác.

Nền tảng cho các môn học khác

Việc nắm vững bảng cửu chương chia không chỉ quan trọng trong môn toán, mà còn là nền tảng cho các môn học khác như vật lý, hóa học và khoa học tự nhiên.

Các phương pháp ghi nhớ bảng cửu chương chia

Để giúp các em học sinh dễ dàng ghi nhớ bảng cửu chương chia, có nhiều phương pháp hiệu quả.

Sử dụng các câu chuyện gắn với từng bảng cửu chương chia

Hãy tạo ra các câu chuyện ngắn gắn liền với từng bảng cửu chương chia. Ví dụ, câu chuyện về 2 con sư tử đang ăn 3 miếng thịt, hoặc 4 cô gái đang mua 5 chiếc áo. Điều này sẽ giúp các em dễ dàng liên tưởng và ghi nhớ các phép chia.

Sử dụng mnemonic (phương pháp ghi nhớ)

Các em có thể tạo ra các mnemonic (như câu thơ, câu khẩu hiệu) để ghi nhớ các phép chia. Ví dụ: “Bảng 3, ba lần ba là chín” hoặc “Bảng 7, bảy lần bảy là bốn mươi chín”.

Tạo ra các biểu đồ, sơ đồ trực quan

Việc sử dụng các biểu đồ, sơ đồ trực quan sẽ giúp các em dễ dàng hình dung và ghi nhớ bảng cửu chương chia. Ví dụ, các em có thể vẽ các hình vuông đại diện cho từng phép chia.

Liên kết với các kiến thức có sẵn

Hãy liên kết các phép chia trong bảng cửu chương chia với các kiến thức toán học mà các em đã có sẵn. Điều này sẽ giúp các em dễ dàng liên tưởng và ghi nhớ.

Sử dụng các trò chơi và ứng dụng học tập

Các trò chơi, ứng dụng điện tử và phần mềm học tập sẽ giúp các em học bảng cửu chương chia một cách vui vẻ và hiệu quả.

Bảng cửu chương chia từ 2: Cách thực hành

Bảng cửu chương chia 2 là một trong những bảng cơ bản và quan trọng nhất. Dưới đây là các hướng dẫn chi tiết để các em có thể nắm vững bảng cửu chương chia 2.

Làm quen với bảng cửu chương chia 2

Trước tiên, hãy để các em làm quen với cấu trúc và nội dung của bảng cửu chương chia 2. Hãy để các em quan sát, đọc to và viết lại bảng cửu chương chia 2 nhiều lần.

Tập trung vào các mẫu số

Hãy giúp các em nhận ra các mẫu số trong bảng cửu chương chia 2, như: số 2, 4, 6, 8, 10, 12, v.v. Điều này sẽ giúp các em dễ dàng ghi nhớ và hiểu về quy luật của bảng cửu chương chia 2.

Thực hành bằng các ví dụ đời sống

Tạo ra các ví dụ liên quan đến đời sống hàng ngày sẽ giúp các em dễ dàng liên tưởng và áp dụng các phép chia trong bảng cửu chương chia 2. Ví dụ, “Nếu bạn có 6 quả táo và chia đều cho 2 người, mỗi người sẽ được bao nhiêu quả?”.

Sử dụng trò chơi và ứng dụng

Khuyến khích các em sử dụng các trò chơi, ứng dụng và phần mềm học tập liên quan đến bảng cửu chương chia 2. Điều này sẽ giúp các em học tập một cách vui vẻ và hiệu quả.

Tích hợp với các môn học khác

Hãy tìm cách tích hợp bảng cửu chương chia 2 vào các môn học khác, như Vật lý, Hóa học hoặc Sinh học. Điều này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về ý nghĩa và ứng dụng của bảng cửu chương chia 2.

Bảng cửu chương chia từ 3: Hướng dẫn chi tiết

Bảng cửu chương chia 3 là bảng tiếp theo quan trọng mà các em cần nắm vững. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết về cách học và thực hành bảng cửu chương chia 3.

Làm quen với bảng cửu chương chia 3

Bắt đầu bằng việc để các em quan sát, đọc to và viết lại bảng cửu chương chia 3 nhiều lần. Điều này sẽ giúp các em làm quen với cấu trúc và nội dung của bảng.

Tìm ra các quy luật và mẫu số

Hãy giúp các em nhận ra các quy luật và mẫu số trong bảng cửu chương chia 3, như: số 3, 6, 9, 12, 15, v.v. Điều nàysẽ hỗ trợ các em trong việc ghi nhớ và hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động của bảng cửu chương chia 3.

Thực hành với ví dụ cụ thể

Tạo ra các tình huống thực tế để áp dụng bảng cửu chương chia 3 sẽ giúp các em dễ dàng tiếp cận với kiến thức. Ví dụ, “Nếu bạn có 15 viên bi và muốn chia cho 3 người, mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu viên bi?” Cách đặt câu hỏi này không chỉ giúp các em thực hành tính toán mà còn kích thích tư duy logic.

Sử dụng phương pháp học tương tác

Khuyến khích các em tham gia vào các trò chơi học tập hoặc ứng dụng điện tử dành riêng cho bảng cửu chương chia 3, nơi các em có thể làm bài tập và kiểm tra mức độ hiểu biết của mình. Việc học qua hình thức tương tác không chỉ giúp các em cảm thấy hứng thú mà còn nâng cao khả năng nhớ lâu hơn.

Liên kết với các khái niệm toán học khác

Để củng cố kiến thức về bảng cửu chương chia 3, hãy liên kết các phép chia với các khái niệm khác trong toán học mà các em đã học trước đó. Ví dụ, việc tìm kiếm mối quan hệ giữa phép chia và phép nhân, hay ứng dụng bảng cửu chương trong giải quyết các bài toán hình học đơn giản. Điều này không chỉ giúp các em mở rộng tầm nhìn mà còn tạo ra sự liên kết vững chắc giữa các môn học.

Bảng cửu chương chia từ 4 đến 9: Tổng hợp

Bảng cửu chương chia từ 4 đến 9 là những phần còn lại trong hệ thống cửu chương chia. Để giúp các em nắm bắt hiệu quả, chúng ta cần tổng hợp và phân tích cách tiếp cận cho từng bảng.

Bảng cửu chương chia 4: Lợi ích và ứng dụng

Bắt đầu với bảng cửu chương chia 4, việc nắm vững bảng này sẽ giúp các em có khả năng giải quyết nhanh chóng nhiều bài toán liên quan đến số lượng lớn. Tương tự như các phần trước, các em cần làm quen bằng cách đọc, viết lại và thực hành với các bài toán cụ thể.

Hãy sử dụng những tình huống gần gũi, như “Chia 20 chiếc bánh cho 4 người, mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu chiếc bánh?”. Kiểu bài tập này sẽ giúp các em không chỉ hiểu rõ hơn về phép chia, mà còn có thể nhìn nhận vấn đề từ góc độ thực tiễn.

Bảng cửu chương chia 5 và những nét đặc trưng

Tiếp theo là bảng cửu chương chia 5. Các em có thể nhận thấy rằng tất cả các kết quả đều là bội số của 5, điều này tạo ra một quy luật đơn giản giúp các em dễ dàng ghi nhớ. Hãy khuyến khích các em nghĩ về các tình huống hàng ngày trong đó phép chia 5 đóng vai trò quan trọng, chẳng hạn như khi chia tiền thừa trong một buổi đi chơi cùng bạn bè.

Lập kế hoạch để thực hành thường xuyên với bảng cửu chương chia 5 sẽ góp phần giúp các em trở thành những “bậc thầy” trong lĩnh vực này.

Bảng cửu chương chia từ 6 đến 9: Khái quát và luyện tập

Cuối cùng, đối với các bảng cửu chương chia từ 6 đến 9, các em cần phải chú ý nhiều hơn đến sự đa dạng trong các phép chia. Hãy hướng dẫn các em thực hành qua các bài tập mẫu, cũng như đưa ra các bài tập thực tế trong cuộc sống hàng ngày để tăng cường khả năng tự tin khi đối diện với các phép chia phức tạp hơn.

Sự kết hợp giữa lý thuyết và thực hành chính là chìa khóa để giúp các em nắm vững bảng cửu chương chia từ 6 đến 9 một cách hiệu quả nhất.

Bảng cửu chương chia và những mẹo học tập

Khi học bảng cửu chương chia, việc áp dụng những mẹo học tập sáng tạo sẽ giúp các em tiếp cận dễ dàng hơn và nâng cao hiệu quả học tập. Dưới đây là một số mẹo hữu ích.

Thay đổi cách học truyền thống

Thay vì chỉ ngồi học thuộc lòng, hãy thử áp dụng phương pháp học thông qua nhạc điệu hoặc vần điệu. Việc tạo ra các bài hát ngắn với nội dung bảng cửu chương chia sẽ giúp các em ghi nhớ một cách vui vẻ và hiệu quả hơn. Âm nhạc có sức mạnh kỳ diệu trong việc kích thích trí nhớ và tăng cường khả năng học hỏi.

Khuyến khích học tập nhóm

Học tập nhóm là một phương pháp tuyệt vời để các em tương tác và chia sẻ kiến thức lẫn nhau. Tạo ra các trò chơi học tập nhóm, nơi các em có thể thi đua giải quyết các bài tập từ bảng cửu chương chia. Điều này không chỉ giúp các em cải thiện kỹ năng giao tiếp mà còn tạo ra một môi trường học tập thú vị và năng động.

Thực hành định kỳ và đánh giá kết quả

Cuối cùng, việc thực hành định kỳ rất quan trọng. Hãy thiết lập một lịch trình học tập rõ ràng và kiên trì thực hiện. Sau mỗi khoảng thời gian, hãy thử thách bản thân bằng các bài kiểm tra nhỏ để xem xét mức độ tiến bộ của mình. Phân tích kết quả và điều chỉnh phương pháp học để đạt hiệu quả tốt nhất.

Bài viết Bảng cửu chương chia: Bảng cửu chương chia từ 2 đến 9 đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Khái Niệm Số Nguyên Tố Là Gì?

Số nguyên tố, còn được gọi là số tố hoặc số đơn vị, là những số nguyên dương lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó. Nói cách khác, số nguyên tố là những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó mà không chia hết cho bất kỳ số nào khác.

Ví dụ về số nguyên tố

Một số ví dụ về số nguyên tố bao gồm: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, v.v. Những số này chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, không chia hết cho bất kỳ số khác.

Số 1 không được coi là số nguyên tố vì nó chỉ có 1 ước số, đó là chính nó. Số nguyên tố phải có ít nhất 2 ước số.

Tại sao số 1 không phải là số nguyên tố?

Mặc dù số 1 chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó, nhưng theo định nghĩa, số nguyên tố phải lớn hơn 1. Do đó, số 1 không được xem là số nguyên tố.

Số nguyên tố liên tiếp

Các số nguyên tố thường xuất hiện liên tiếp, như 2, 3, 5, 7, 11, 13, v.v. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng như vậy. Ví dụ, số 17 và 19 cách nhau 2 đơn vị, nhưng vẫn là số nguyên tố.

Việc tìm ra các số nguyên tố liên tiếp là một chủ đề rất quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết số và toán học. Các nhà toán học đang không ngừng nghiên cứu về các quy luật và tính chất của các số nguyên tố liên tiếp này.

Bảng Các Số Nguyên Tố Hóa Học

Trong hóa học, bảng các số nguyên tố là một công cụ rất hữu ích. Nó liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 100, thường được sử dụng để xác định cấu trúc của các hợp chất hóa học.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 100

Bảng các số nguyên tố thường chỉ liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 100, vì các số lớn hơn 100 ít được sử dụng trong hóa học. Dưới đây là bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Như có thể thấy, các số nguyên tố xuất hiện theo một quy luật không rõ ràng, chúng không nằm cách đều nhau mà thường xuất hiện theo cụm.

Tầm quan trọng của bảng số nguyên tố trong hóa học

Bảng số nguyên tố rất quan trọng trong hóa học vì nó giúp xác định cấu trúc của các phân tử và hợp chất. Nhiều công thức hóa học sử dụng các số nguyên tố để mô tả cấu trúc phân tử, chẳng hạn như công thức phân tử C6H6 (benzen) hay C12H22O11 (saccaroza).

Hiểu rõ các số nguyên tố và sử dụng bảng số nguyên tố hợp lý là rất cần thiết cho các nhà hóa học trong công việc nghiên cứu và phân tích các hợp chất hóa học.

Cách Đọc Bảng Các Số Nguyên Tố

Bảng các số nguyên tố được thiết kế để dễ dàng tham khảo và sử dụng. Việc đọc và hiểu bảng số nguyên tố là một kỹ năng quan trọng mà mọi nhà hóa học cần phải nắm vững.

Cách đọc bảng số nguyên tố

Để đọc bảng số nguyên tố, ta chỉ cần nhìn vào danh sách các số được liệt kê. Các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, bắt đầu từ số 2 và kết thúc ở số 97 (hoặc số lớn hơn tùy theo bảng).

Lưu ý rằng số 1 không được xem là số nguyên tố, vì vậy nó không xuất hiện trong bảng.

Ví dụ về cách đọc bảng số nguyên tố

Ví dụ, nếu ta cần tìm số nguyên tố gần nhất với 50, chúng ta sẽ nhìn vào bảng và thấy số 47 và 53 là các số nguyên tố xung quanh 50.

Hoặc nếu muốn biết số nguyên tố lớn nhất trong bảng, chúng ta sẽ thấy đó là số 97.

Như vậy, việc đọc bảng số nguyên tố chỉ đơn giản là nhìn vào danh sách các số được liệt kê và tìm kiếm số cần tìm.

Tính Chất Các Số Nguyên Tố Hóa Học

Các số nguyên tố có nhiều tính chất đặc biệt, khiến chúng trở thành một khái niệm quan trọng trong toán học và hóa học. Hiểu rõ các tính chất này sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về vai trò của số nguyên tố.

Tính chất cơ bản của số nguyên tố

Các tính chất cơ bản của số nguyên tố bao gồm:

• Chỉ có 2 ước số: 1 và chính nó
• Lớn hơn 1
• Không thể chia hết cho bất kỳ số nào khác ngoài 1 và chính nó

Những đặc điểm này phân biệt số nguyên tố với các số nguyên khác.

Tính chất toán học của số nguyên tố

Số nguyên tố còn có một số tính chất toán học đặc biệt, như:

• Vô hạn: Có vô số số nguyên tố
• Không tuần hoàn: Các số nguyên tố xuất hiện không theo một quy luật nhất định
• Phân bố không đều: Các số nguyên tố không phân bố đều trên trục số mà thường xuất hiện theo cụm

Các tính chất toán học này đã thu hút sự quan tâm và nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong suốt lịch sử.

Ý nghĩa của các tính chất số nguyên tố

Các tính chất của số nguyên tố không chỉ có ý nghĩa về mặt toán học, mà còn ảnh hưởng rất lớn đến các ứng dụng thực tế của chúng, đặc biệt là trong lĩnh vực hóa học và mã hóa thông tin.

Hiểu rõ các tính chất này giúp chúng ta nắm vững được bản chất của số nguyên tố, từ đó ứng dụng chúng một cách hiệu quả trong các lĩnh vực khoa học.

Vai Trò Của Số Nguyên Tố Trong Khoa Học

Số nguyên tố không chỉ là một khái niệm toán học quan trọng, mà còn có vai trò rất lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là trong hóa học và mã hóa thông tin.

Vai trò trong hóa học

Trong hóa học, số nguyên tố đóng vai trò then chốt trong việc mô tả cấu trúc của các hợp chất hóa học. Công thức phân tử của các hợp chất thường sử dụng các số nguyên tố để biểu diễn số lượng và tỷ lệ các nguyên tố trong phân tử.

Ví dụ, công thức phân tử của nước là H2O, trong đó H là nguyên tố hidro và O là nguyên tố oxy. Các số 2 và 1 trong công thức thể hiện tỷ lệ của các nguyên tố này trong phân tử nước.

Hiểu rõ các số nguyên tố giúp các nhà hóa học phân tích, thiết kế và tổng hợp các hợp chất hóa học một cách hiệu quả hơn.

Vai trò trong mã hóa thông tin

Số nguyên tố còn đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực mã hóa thông tin, đặc biệt là trong mã hóa khóa công khai (public-key cryptography).

Các thuật toán mã hóa như RSA dựa trên tính chất của số nguyên tố, sử dụng các số nguyên tố lớn để tạo ra khóa mã. Việc phân tích các số nguyên tố lớn là rất khó khăn, do đó giúp bảo mật thông tin hiệu quả.

Ngoài ra, số nguyên tố còn được ứng dụng trong các lĩnh vực khác như lý thuyết số, phân tích dữ liệu, lập trình, v.v.

Danh Sách Các Số Nguyên Tố Quan Trọng

Dưới đây là danh sách một số số nguyên tố quan trọng thường được sử dụng trong hóa học và các lĩnh vực khoa học khác:

Các số nguyên tố nhỏ

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Các số nguyên tố nhỏ này rất quan trọng vì chúng thường xuất hiện trong công thức hóa học của nhiều hợp chất.

Các số nguyên tố lớn

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Các số nguyên tố lớn hơn 100 cũng rất quan trọng, đặc biệt trong lĩnh vực mã hóa thông tin khi cần sử dụng các số nguyên tố lớn để tăng độ bảo mật.

Các số nguyên tố đặc biệt

Ngoài ra, còn có một số số nguyên tố đặc biệt như:

• Số nguyên tố Mersenne: 2^n – 1, với n là số nguyên dương
• Số nguyên tố Fermat: 2^(2^n) + 1, với n là số nguyên dương
• Số nguyên tố Gaussian: số nguyên tố dạng a + bi, với a và b là số nguyên

Các loại số nguyên tố đặc biệt này cũng rất quan trọng trong toán học và khoa học máy tính.

Các Bài Tập Về Số Nguyên Tố Và Giải Thích

Để hiểu rõ hơn về số nguyên tố, chúng ta hãy cùng giải quyết một số bài tập liên quan đến chủ đề này.

Bài tập 1: Kiểm tra số nguyên tố

Hãy viết một chương trình kiểm tra xem một số nguyên dương bất kỳ có phải là số nguyên tố hay không.

Để kiểm tra một số có phải là số nguyên tố, ta chỉ cần kiểm tra xem nó có ước số nào khác 1 và chính nó hay không. Nếu không, thì đó là số nguyên tố.

Ví dụ, với số 17:

• Các ước số của 17 là 1 và 17
• Vì 17 chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó, nên nó là một số nguyên tố.

Ngược lại, với số 18:

• Các ước số của 18 bao gồm 1, 2, 3, 6, 9 và 18
• Vì 18 có nhiều ước số khác 1 và chính nó, nên nó không phải là số nguyên tố.

Thông qua bài tập này, chúng ta không chỉ rèn luyện kỹ năng lập trình mà còn củng cố hiểu biết về khái niệm số nguyên tố.

Bài tập 2: Danh sách số nguyên tố trong khoảng cho trước

Hãy viết một chương trình để tạo ra danh sách tất cả các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến N (N là một số nguyên dương do người dùng nhập vào).

Để giải quyết bài tập này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp Sàng Eratosthenes. Bằng cách đánh dấu những số không phải là số nguyên tố trong khoảng, chúng ta cuối cùng sẽ tìm được danh sách các số nguyên tố.

Ví dụ, nếu N = 30, chương trình của bạn sẽ trả về danh sách: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Bài tập này không chỉ giúp ôn tập khái niệm số nguyên tố, mà còn phát triển tư duy lập trình và thuật toán.

Bài tập 3: Tính tổng các số nguyên tố trong khoảng cho trước

Viết một chương trình nhận đầu vào là hai số nguyên a và b, sau đó tính tổng tất cả các số nguyên tố nằm trong khoảng từ a đến b.

Cách tiếp cận có thể tương tự như bài tập trước, nhưng lần này chúng ta cần lưu ý đến việc cộng dồn giá trị của các số nguyên tố. Bạn có thể xây dựng một danh sách các số nguyên tố trong khoảng trước khi thực hiện phép tính tổng.

Bằng cách này, chúng ta không chỉ nắm vững kiến thức lý thuyết về số nguyên tố, mà còn tích lũy kinh nghiệm thực hành hữu ích.

Bài viết Số nguyên tố là gì? Bảng các số nguyên tố Hóa Học đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Căn bậc hai là gì?

Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x bình phương bằng a. Nói cách khác, nếu x² = a, với a ≥ 0, thì x được gọi là căn bậc hai của a. √2 có liên quan mật thiết đến phép toán bình phương, là phép toán ngược của bình phương. Trong phạm vi số thực dương, mỗi số dương có hai √2, một dương và một âm. √2 dương thường được gọi là √2 số học và được ký hiệu là √a.

Ký hiệu và cách đọc

Ký hiệu căn bậc hai là √. Ví dụ, căn bậc hai của 9 được viết là √9. √2 số học của 9 là 3, vì 3² = 9 và 3 là số dương.

Khi đọc, ta thường nói “căn bậc hai của…” followed by the number. Ví dụ, √16 được đọc là “√2 của mười sáu”.

Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học

Căn bậc hai của một số a không âm là tất cả các số x sao cho x² = a. Ví dụ, căn bậc hai của 9 là 3 và -3. Tuy nhiên, khi nói đến √2 số học, ta chỉ xét đến giá trị dương. √2 số học của 9 là 3, ký hiệu là √9 = 3.

Trong phạm vi số học, căn bậc hai thường được hiểu là √2 số học. Khái niệm này giúp đơn giản hóa các phép tính và tránh sự nhầm lẫn giữa các giá trị dương và âm, chỉ xét những số không âm.

Lịch sử hình thành căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử toán học. Người Babylon cổ đại đã biết cách tính √2 từ khoảng 2000 năm trước Công nguyên. Họ sử dụng các bảng số và phương pháp xấp xỉ để tính toán √2 cho các mục đích thực tế như xây dựng và đo đạc.

Người Hy Lạp cổ đại, đặc biệt là Pythagoras và trường phái của ông, đã có những đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu √2. Họ phát hiện ra rằng √2 của 2 là một số vô tỉ, không thể biểu diễn chính xác dưới dạng phân số. Phát hiện này đã mở ra một lĩnh vực mới trong toán học, đó là nghiên cứu về số vô tỉ và số thực.

Cách tính căn bậc hai

Có nhiều phương pháp để tính căn bậc hai của một số, từ những phương pháp đơn giản như sử dụng bảng số, máy tính bỏ túi, đến những phương pháp phức tạp hơn như phương pháp lặp Newton-Raphson. Mỗi phương pháp có ưu và nhược điểm riêng, phù hợp với các tình huống và mức độ chính xác khác nhau.

Sử dụng máy tính bỏ túi

Đây là phương pháp phổ biến và tiện lợi nhất hiện nay. Hầu hết các máy tính bỏ túi đều có chức năng tính √2. Bạn chỉ cần nhập số cần tính √2, sau đó nhấn phím √ (hoặc ký hiệu tương tự) và máy tính sẽ hiển thị kết quả.

Phương pháp này rất nhanh chóng và chính xác, nhưng nó không giúp bạn hiểu được bản chất của phép tính căn bậc hai.

Phương pháp lặp Newton-Raphson

Phương pháp lặp Newton-Raphson là một phương pháp tính √2 bằng cách sử dụng một dãy số hội tụ về giá trị √2cần tìm. Phương pháp này bắt đầu bằng việc chọn một giá trị xấp xỉ ban đầu, sau đó lặp lại công thức:

x_(n+1) = (x_n + a/x_n) / 2

trong đó a là số cần tính căn bậc hai, x_n là giá trị xấp xỉ ở bước thứ n, và x_(n+1) là giá trị xấp xỉ ở bước tiếp theo. Quá trình lặp lại cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn.

Phương pháp thủ công (bằng tay)

Phương pháp này dựa trên nguyên tắc chia đôi liên tiếp và tìm số gần đúng. Đầu tiên, ta tách số cần tính căn bậc hai thành từng cặp chữ số từ phải sang trái. Sau đó, ta tìm số lớn nhất mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng cặp chữ số đầu tiên. Số đó chính là chữ số đầu tiên của kết quả. Tiếp theo, ta hạ cặp chữ số tiếp theo xuống và thực hiện các phép tính theo quy tắc nhất định để tìm chữ số tiếp theo của kết quả. Quá trình này lặp lại cho đến khi tìm được tất cả các chữ số.

Phương pháp này khá phức tạp và tốn nhiều thời gian, nhưng nó giúp bạn hiểu được bản chất của phép tính √2.

Ứng dụng của căn bậc hai trong toán học

Căn bậc hai không chỉ là một phép toán đơn thuần mà còn là nền tảng cho nhiều khái niệm và ứng dụng quan trọng trong toán học. Việc hiểu rõ √2 giúp chúng ta tiếp cận và giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các lĩnh vực khác nhau.

Hình học

Trong hình học, √2 thường xuất hiện trong các công thức tính độ dài cạnh, đường cao, diện tích và thể tích. Ví dụ, định lý Pythagoras, một trong những định lý cơ bản nhất của hình học, sử dụng √2 để tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông: c = √(a² + b²), trong đó c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông.

Ngoài ra, căn bậc hai còn được sử dụng để tính độ dài đường chéo của hình vuông, chiều cao của tam giác đều, bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác, và nhiều công thức khác.

Đại số

Trong đại số, căn bậc hai là một phần không thể thiếu trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, phương trình chứa căn, bất đẳng thức và các bài toán tối ưu. Việc giải các phương trình, hệ phương trình, biểu thức có chứa √2 đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các tính chất và phép biến đổi của √2.

Căn bậc hai cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các khái niệm như số vô tỉ, số thực, và các phép toán trên tập số thực.

Giải tích

Trong giải tích, căn bậc hai xuất hiện trong các bài toán liên quan đến đạo hàm, tích phân, giới hạn và chuỗi số. Ví dụ, đạo hàm của hàm số y = √x là y’ = 1/(2√x). √2 cũng thường xuất hiện trong các bài toán tính độ dài cung, diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.

Hiểu biết về √2 giúp chúng ta tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn trong giải tích và ứng dụng chúng vào việc giải quyết các bài toán thực tế.

Phương pháp giải phương trình liên quan đến căn bậc hai

Phương trình chứa căn bậc hai là một dạng toán thường gặp trong chương trình toán học phổ thông. Để giải các phương trình này, chúng ta cần nắm vững các phương pháp biến đổi đại số, các tính chất của √2 và các điều kiện xác định của biểu thức chứa căn.

Bình phương hai vế

Đây là phương pháp phổ biến nhất để giải phương trình chứa căn bậc hai. Nguyên tắc của phương pháp này là bình phương cả hai vế của phương trình để khử dấu căn. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc bình phương hai vế có thể tạo ra nghiệm ngoại lai, do đó sau khi giải xong cần kiểm tra lại các nghiệm tìm được bằng cách thay vào phương trình ban đầu.

Ví dụ: Giải phương trình √(x + 2) = 3.

Bình phương hai vế, ta được: x + 2 = 9.

Suy ra: x = 7.

Thử lại, ta thấy x = 7 thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy nghiệm của phương trình là x = 7.

Đặt ẩn phụ

Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình chứa căn bậc hai. Phương pháp này thường được áp dụng khi phương trình có dạng phức tạp, chứa nhiều √2 hoặc các biểu thức phức tạp trong căn.

Ví dụ: Giải phương trình √(x + 1) + √(2x + 3) = 5.

Đặt a = √(x + 1) và b = √(2x + 3), ta có hệ phương trình:

a + b = 5 và b² – 2a² = 1.

Giải hệ phương trình này để tìm a và b, sau đó thay trở lại để tìm x.

Sử dụng các hằng đẳng thức

Một số phương trình chứa căn bậc hai có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, chẳng hạn như (a + b)² = a² + 2ab + b², (a – b)² = a² – 2ab + b², a² – b² = (a + b)(a – b). Việc nhận ra và áp dụng các hằng đẳng thức phù hợp có thể giúp quá trình biến đổi phương trình trở nên đơn giản và hiệu quả hơn.

Ví dụ: Giải phương trình √(x² + 4x + 4) = 3.

Ta nhận thấy x² + 4x + 4 = (x + 2)², do đó phương trình trở thành √(x + 2)² = 3.

Suy ra |x + 2| = 3.

Giải phương trình giá trị tuyệt đối này, ta được x = 1 hoặc x = -5.

Các tính chất của căn bậc hai

Căn bậc hai có nhiều tính chất quan trọng, giúp chúng ta biến đổi và rút gọn các biểu thức chứa căn một cách hiệu quả. Việc nắm vững các tính chất này là rất cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến √2.

Căn bậc hai của một tích

Căn bậc hai của một tích bằng tích các √2 của các thừa số. Tức là, với a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: √(ab) = √a * √b.

Tính chất này cho phép chúng ta tách một √2 phức tạp thành tích của các √2 đơn giản hơn.

Ví dụ: √(12) = √(4 3) = √4 √3 = 2√3.

Căn bậc hai của một thương

Căn bậc hai của một thương bằng thương các √2 của số bị chia và số chia. Tức là, với a ≥ 0 và b > 0, ta có: √(a/b) = √a / √b.

Tính chất này cho phép chúng ta rút gọn các biểu thức chứa √2 ở dạng phân thức.

Ví dụ: √(9/4) = √9 / √4 = 3/2.

Khử căn thức ở mẫu

Khi một biểu thức có căn bậc hai ở mẫu, ta thường thực hiện phép khử √2 ở mẫu để biểu thức trở nên gọn gàng hơn. Có hai trường hợp thường gặp:

• Nếu mẫu là một √2 đơn giản, ta nhân cả tử và mẫu với chính √2 đó.

Ví dụ: 1/√2 = (1 √2) / (√2 √2) = √2 / 2.

• Nếu mẫu là tổng hoặc hiệu của hai số, trong đó có ít nhất một số chứa √2, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu. Biểu thức liên hợp của a + b là a – b và ngược lại.

Ví dụ: 1/(√3 + 1) = (1 (√3 – 1)) / ((√3 + 1) (√3 – 1)) = (√3 – 1) / (3 – 1) = (√3 – 1) / 2.

Mối quan hệ giữa căn bậc hai và số học

Căn bậc hai đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của số học, đặc biệt là trong việc phân biệt số hữu tỉ và số vô tỉ. Sự hiểu biết về mối quan hệ này giúp chúng ta mở rộng khái niệm về số và xây dựng nền tảng cho các lĩnh vực toán học cao cấp hơn.

Số hữu tỉ và số vô tỉ

Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b ≠ 0. Số vô tỉ là số không thể biểu diễn dưới dạng phân số như vậy.

Căn bậc hai của một số chính phương luôn là một số hữu tỉ. Ví dụ, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, đều là các số hữu tỉ.

Tuy nhiên, √2 của một số không phải là số chính phương thường là một số vô tỉ. Ví dụ, √2, √3, √5, √7 đều là các số vô tỉ.

Số thực

Tập hợp số thực bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ. √2 giúp chúng ta mở rộng tập hợp số từ số hữu tỉ sang số thực. Nhờ có √2, chúng ta có thể biểu diễn và tính toán với các số vô tỉ, từ đó giải quyết được nhiều bài toán mà trước đây không thể giải quyết chỉ với số hữu tỉ.

Số thực có thể được biểu diễn trên trục số, mỗi điểm trên trục số tương ứng với một số thực duy nhất. √2 giúp chúng ta xác định vị trí của các số vô tỉ trên trục số.

Ý nghĩa của số vô tỉ

Sự phát hiện ra số vô tỉ, thông qua việc nghiên cứu căn bậc hai của 2, đã đánh dấu một bước ngoặt quan trọng trong lịch sử toán học. Nó cho thấy rằng tập hợp số hữu tỉ không đủ để mô tả tất cả các đại lượng trong thực tế. Số vô tỉ, trong đó có các số liên quan đến √2, là cần thiết để biểu diễn chính xác các đại lượng như độ dài đường chéo của hình vuông, chu vi và diện tích hình tròn.

Việc nghiên cứu số vô tỉ và √2đã dẫn đến sự phát triển của nhiều lý thuyết toán học quan trọng, bao gồm lý thuyết số, giải tích và hình học.

Căn bậc hai của các số nguyên dương

Căn bậc hai của các số nguyên dương có những tính chất đặc biệt, giúp chúng ta phân loại và nghiên cứu các số nguyên dựa trên √2 của chúng. Việc hiểu rõ những tính chất này không chỉ hữu ích trong việc giải các bài toán số học mà còn giúp chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc và tính chất của các số nguyên.

Số chính phương

Số chính phương là số có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một số nguyên. Nói cách khác, số chính phương là số có √2 là một số nguyên.

Ví dụ: 1, 4, 9, 16, 25, 36,… là các số chính phương, vì √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6,…

Các số chính phương có nhiều tính chất thú vị và được ứng dụng trong nhiều bài toán số học.

Số không chính phương

Số không chính phương là số không thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một số nguyên. Nói cách khác, số không chính phương là số có căn bậc hai là một số vô tỉ.

Ví dụ: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11,… là các số không chính phương, vì √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, √11,… đều là các số vô tỉ.

Việc phân biệt số chính phương và số không chính phương là rất quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến √2.

Ứng dụng trong việc phân tích ra thừa số nguyên tố

Căn bậc hai có mối liên hệ mật thiết với việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố. Mỗi số nguyên dương đều có thể được phân tích duy nhất thành tích của các thừa số nguyên tố. Căn bậc hai giúp chúng ta xác định xem một số có phải là số chính phương hay không dựa vào dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó.

Một số là số chính phương khi và chỉ khi tất cả các số mũ trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó đều là số chẵn.

Ví dụ: 36 = 2² * 3² là số chính phương, vì các số mũ đều chẵn.

12 = 2² * 3¹ không phải là số chính phương, vì số mũ của 3 là lẻ.

Ví dụ về căn bậc hai trong thực tế

Căn bậc hai không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống. Việc hiểu rõ những ứng dụng này giúp chúng ta thấy được tầm quan trọng của √2 và mối liên hệ giữa toán học và thế giới xung quanh.

Xây dựng và kiến trúc

Trong xây dựng và kiến trúc, căn bậc hai được sử dụng để tính toán kích thước và tỷ lệ của các công trình. Ví dụ, để xây dựng một căn phòng hình vuông có diện tích cho trước, người ta cần tính √2 của diện tích đó để xác định chiều dài cạnh của căn phòng.

Định lý Pythagoras, sử dụng √2, cũng được áp dụng rộng rãi trong việc tính toán độ dài các cạnh và góc của các cấu trúc, đảm bảo tính chính xác và ổn định của công trình.

Khoảng cách và định vị

Căn bậc hai được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian hai chiều hoặc ba chiều. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (x₁, y₁) và (x₂, y₂) trong mặt phẳng tọa độ là √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²), sử dụng √2.

Trong hệ thống định vị toàn cầu (GPS), √2 được sử dụng để tính toán khoảng cách giữa các vệ tinh và máy thu, từ đó xác định vị trí chính xác của người dùng.

Tài chính và kinh tế

Trong tài chính và kinh tế, căn bậc hai được sử dụng trong các mô hình định giá tài sản, tính toán độ lệch chuẩn của các khoản đầu tư và phân tích rủi ro. Độ lệch chuẩn, một thước đo mức độ biến động của một tập dữ liệu, được tính bằng cách lấy √2 của phương sai.

Căn bậc hai cũng xuất hiện trong các công thức tính lãi suất kép, giúp xác định giá trị tương lai của một khoản đầu tư dựa trên lãi suất và thời gian đầu tư.

Lỗi thường gặp khi làm bài tập về √2

Khi làm bài tập về căn bậc hai, học sinh thường mắc phải một số lỗi phổ biến. Việc nhận biết và khắc phục những lỗi này sẽ giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong việc giải toán.

Không xét điều kiện xác định

Một lỗi thường gặp là không xét điều kiện xác định của biểu thức chứa √2. Căn bậc hai của một số chỉ xác định khi số đó không âm. Do đó, khi giải phương trình hoặc rút gọn biểu thức chứa √2, cần phải đặt điều kiện cho biến để biểu thức trong căn không âm.

Ví dụ: Khi giải phương trình √(x – 2) = 3, cần đặt điều kiện x – 2 ≥ 0, tức là x ≥ 2.

Nhầm lẫn giữa căn bậc hai và căn bậc hai số học

Một số học sinh nhầm lẫn giữa √2 và √2 số học. √2 của một số dương có hai giá trị, một dương và một âm, trong khi căn bậc hai số học chỉ lấy giá trị dương.

Ví dụ: Căn bậc hai của 9 là 3 và -3, nhưng √2 số học của 9, ký hiệu là √9, chỉ bằng 3.

Sai lầm khi bình phương hai vế

Khi giải phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế, cần lưu ý rằng việc này có thể tạo ra nghiệm ngoại lai. Nghiệm ngoại lai là nghiệm không thỏa mãn phương trình ban đầu. Do đó, sau khi giải xong, cần thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Ví dụ: Giải phương trình √(x + 1) = x – 1. Bình phương hai vế, ta được x + 1 = x² – 2x + 1. Thu gọn, ta được x² – 3x = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 3. Tuy nhiên, khi thử lại, ta thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

Bài viết Căn bậc hai đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.