Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên miền \[D\]

+) Số \[M\] gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \leqslant M,\forall x \in D \hfill \\
\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = M \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Kí hiệu: \[M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\] hoặc \[M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\]

+) Số \[M\] gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \geqslant m,\forall x \in D \hfill \\
\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Kí hiệu: \[m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\] hoặc \[m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\]

Định lí

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] ta làm như sau:

+) Tìm các điểm \[{x_1};{x_2}; \ldots ;{x_n}\] thuộc \[\left( {a;b} \right)\] sao cho tại đó hàm số \[f\] có đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.

+) Tính \[f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right); \ldots ;f\left( {{x_n}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\].

+) So sánh các giá trị tìm được.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

Nếu:

\[\left. + \right){\text{ }}y’ > 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left. + \right){\text{ }}y’ < 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Chú ý:

Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm \[f\] rồi dựa vào nội dung của bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên khoảng (nửa khoảng) đó.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.

Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.

Bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm max, min trên đoạn bằng hàm số cụ thể, bảng biến thiên, đồ thị hàm số cho trên đoạn và khoảng.

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ { – 3;2} \right]\] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[\left[ { – 1;2} \right]\]. Giá trị của \[M + m\] bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = 3\] và \[m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\]

Vậy \[M + m = 3\]

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 4}}{x}\] trên đoạn \[\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 4}}{x} = – x – \frac{4}{x}\]

\[ \Rightarrow f’\left( x \right) = – 1 + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{ – {x^2} + 4}}{{{x^2}}}\]

Trên khoảng H12

Ta có: \[\left( {\frac{3}{2};4} \right):f’\left( x \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– {x^2} + 4 = 0 \hfill \\
\frac{3}{2} < x < 4\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\frac{3}{2} < x < 4\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = 2\]

Do hàm số \[f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\] nên \[M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{3}{2};4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = – 4\]

Câu 3. Kí hiệu \[M\] và \[m\] lần lượt là GTNN, GTLN của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\] trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\]. Tính giá trị \[\frac{M}{m}\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]

\[y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) – {x^2} – x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\] \[\left\{ \begin{gathered}
x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\
y’ = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1\]

Ta có: \[f\left( 0 \right) = 4;f\left( 1 \right) = 3;f\left( 3 \right) = 4\]

Do đó: \[m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 3;M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}\]

Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { – 2;3} \right]\] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi \[m\], \[M\] lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn \[\left[ { – 2;3} \right]\]. Giá trị của \[2m – 3M\] bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị ta xác định được \[m = – 3;M = 4\]

Ta có: \[2m – 3M = – 6 – 12 = – 18\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = \sqrt { – {x^2} + 4x + 21} – \sqrt { – {x^2} + 3x + 10} \], gọi \[{y_0}\] là GTNN của hàm số đã cho, đạt được tại điểm \[{x_0}\]. Tính \[6{x_0} + y_0^4\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \left[ { – 2;5} \right]\]

Xét hàm số đã cho xác định và liên tục trên \[\left[ { – 2;5} \right]\]

Ta có: \[y’ = \frac{{ – x + 2}}{{\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} }}\] \[\left( { – 2 < x < 5} \right)\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – x + 2}}{{\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} }} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2x – 4} \right)\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} = \left( {2x – 3} \right)\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 2 < x < 5 \hfill \\
\left( {2x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) \geqslant 0 \hfill \\
{\left( {2x – 4} \right)^2}\left( { – {x^2} + 3x + 10} \right) = {\left( {2x – 3} \right)^2}\left( { – {x^2} + 4x + 21} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {2;5} \right) \hfill \\
25{\left( {2x – 3} \right)^2} = 49{\left( {x – 2} \right)^2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {2;5} \right) \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x = \frac{{29}}{{17}}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow x = \frac{1}{3} \in \left( { – 2;5} \right)\]

Xét: \[y\left( { – 2} \right) = 3;y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2 ;y\left( 5 \right) = 4\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;5} \right]} y = y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2 \]

Suy ra: \[{x_0} = \frac{1}{3};{y_0} = \sqrt 2 \Rightarrow 6{x_0} + y_0^4 = 10\]

Dạng 2. Tìm Max – Min bằng phương pháp đổi biến

Câu 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = si{n^2}x – 4sinx + 2\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = sinx{\text{ }}\left( { – 1 \leqslant t \leqslant 1} \right)\] hàm số đã cho trở thành \[y = f\left( t \right) = {t^2} – 4t + 2\]

Ta có: \[f’\left( t \right) = 2t – 4,{\text{ }}f’\left( t \right) < 0\] với \[\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]\]

Nên hàm số \[f\left( t \right)\] nghịch biến trên \[\left[ { – 1;1} \right]\]

Do đó \[\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = – 1\] và \[\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { – 1} \right) = 7\].

Vậy hàm số đã cho có GTLN là \[7\] và GTNN là \[ – 1\].

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( { – sinx + 2} \right)\]. Giá trị của \[M – m\] bằng?

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = – sinx + 2\] vì \[ – 1 \leqslant sinx \leqslant 1 \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]\]

Xét hàm số \[y = f\left( t \right)\] với \[t \in \left[ {1;3} \right]\]

Từ đồ thị đã cho, ta có:

\[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 3;{\text{ }}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = – 2\] \[ \Rightarrow M – m = 5\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên tập ℝ và có bảng biến thiên như sau:

Gọi \[M\]; \[m\] lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( {{x^2} – 2x} \right)\] trên đoạn \[\left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\]. Tìm tổng \[M + m\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = {x^2} – 2x\] với \[x \in \left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\]

Ta có: \[x \in \left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\] \[ \Leftrightarrow – \frac{5}{2} \leqslant x – 1 \leqslant \frac{5}{2}\] \[ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {x – 1} \right)^2} \leqslant \frac{{25}}{4}\] \[ \Leftrightarrow – 1 \leqslant {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 \leqslant \frac{{21}}{4}\]

Nên \[t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]\]

Xét hàm số \[y = f\left( t \right);{\text{ }}t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]\]

Từ bảng biến thiên suy ra: \[m = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2\]; \[M = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{{21}}{4}} \right) = 5\]

Do đó: \[M + m = 2 + 5 = 7\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ:

Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m\]. Tìm \[m\] để \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[t\left( x \right) = 2{x^3} + x – 1\] với \[x \in \left[ {0;1} \right]\].

Ta có: \[t’\left( x \right) = 6{x^2} + 1 > 0,{\text{ }}\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]

Suy ra hàm số \[t\left( x \right)\] đồng biến nên \[x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1;2} \right]\]

Từ đồ thị hàm số ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\]

Theo yêu cầu bài toán ta cần có: \[3 + m = – 10 \Leftrightarrow m = – 13\]

Dạng 3. Một số bài toán có chứa tham số.

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = – {x^3} – 3{x^2} + m\] trên đoạn \[\left[ { – 1;1} \right]\] bằng \[0\].

Hướng dẫn giải

\[y = f\left( x \right) = – {x^3} – 3{x^2} + m\]

Ta có: \[y’ – 3{x^2} – 6x \cdot y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \in \left[ { – 1;1} \right] \hfill \\
x = – 2 \notin \left[ { – 1;1} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[f\left( { – 1} \right) = m – 2;{\text{ }}f\left( 0 \right) = m;{\text{ }}f\left( 1 \right) = m – 4\]

Ta thấy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} \left[ {f\left( { – 1} \right);f\left( 0 \right);f\left( 1 \right)} \right] = m – 4\]

Suy ra yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow m – 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\]

Câu 2. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right|\] trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\] bằng \[16\]. Tổng tất cả các phần tử của \[S\] bằng?

Cách tìm GTLN, GTNN hàm số trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Tìm nghiệm \[{x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)\] của \[y’ = 0\] thuộc \[\left[ {a;b} \right]\]

+) Tính các giá trị \[f\left( {{x_i}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\] so sánh các giá trị, suy ra GTLN, GTNN

Hướng giải: Tìm GTLN hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\], ta xét hàm số \[y = f\left( x \right)\]

Bước 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( x \right)\]

Bước 2: GTLN của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] tại \[\max f\left( x \right)\] hoặc \[\min f\left( x \right)\]

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Đặt \[g\left( x \right) = {x^3} – 3x + m\]

\[g’\left( x \right) = 3{x^2} – 3;{\text{ }}g’\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \in \left( {0;3} \right) \hfill \\
x = 1 \notin \left( {0;3} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[g\left( 0 \right) = m;{\text{ }}g\left( 1 \right) = – 2 + m;{\text{ }}g\left( 3 \right) = 18 + m\]

Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = 18 + m;{\text{ }}\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = – 2 + m\]

Để giá trị lớn nhất hàm số \[y = f\left( x \right)\] là \[16 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
18 + m = 16 \hfill \\
– 2 + m > – 16 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
– 2 + m = – 16 \hfill \\
18 + m < 16 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
m = – 2 \hfill \\
m > – 14 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
m = – 14 \hfill \\
m < – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[S = \left\{ { – 2; – 14} \right\}\] nên tổng là \[ – 2 – 14 = – 16\]

Câu 3. Gọi \[M\] là GTLN của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m} \right|\] trên đoạn \[\left[ { – 1;3} \right]\]. Có bao nhiêu số thực \[m\] để \[M = \frac{{59}}{2}\]?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số: \[u = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m\]

Có \[u’ = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x \Rightarrow u’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Khi đó \[\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = \min \left[ {u\left( { – 1} \right);u\left( 0 \right);u\left( 2 \right);u\left( 3 \right)} \right] = u\left( 2 \right) = m – 32 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = \max \left[ {u\left( { – 1} \right);u\left( 0 \right);u\left( 2 \right);u\left( 3 \right)} \right] = u\left( 3 \right) = m + 27 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do đó: \[M = \max \left( {\left| {m – 32} \right|;\left| {m + 27} \right|} \right) = \frac{{59}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
\left| {m – 32} \right| = \frac{{59}}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\left| {m – 32} \right| \geqslant \left| {m + 27} \right| \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
\left| {m + 27} \right| = \frac{{59}}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\left| {m + 27} \right| \geqslant \left| {m – 32} \right| \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]

Vậy có 1 số thực \[m\] để \[M = \frac{{59}}{2}\]

Câu 4. Xét hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\], với \[a,b\] là tham số. Gọi \[M\] là GTLN của hàm số trên \[\left[ { – 1;3} \right]\]. Khi \[M\] nhận GTNN tính \[T = a + 2b\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\max \left( {\left| A \right|,\left| B \right|} \right) \geqslant \frac{{\left| {A + B} \right|}}{2}{\text{ }}\left( 1 \right)\]. Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[A = B\]

Ta có: \[\max \left( {\left| A \right|,\left| B \right|} \right) \geqslant \frac{{\left| {A – B} \right|}}{2}{\text{ }}\left( 2 \right)\]. Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[A = – B\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = {x^2} + ax + b\], có \[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{a}{2}\]

TH1: \[ – \frac{a}{2} \notin \left[ { – 1;3} \right] \Leftrightarrow a \notin \left[ { – 6;2} \right]\]

Khi đó: \[M = \max \left( {\left| {1 – a + b} \right|,\left| {9 + 3a + b} \right|} \right)\]

Áp dụng bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] ta có: \[M \geqslant \left| {4 + 2a} \right| > 8\]

TH2: \[ – \frac{a}{2} \in \left[ { – 1;3} \right] \Leftrightarrow a \in \left[ { – 6;2} \right]\]

Khi đó: \[M = \max \left( {\left| {1 – a + b} \right|,\left| {9 + 3a + b} \right|,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right)\]

Áp dụng bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có:

\[M \geqslant \max \left( {\left| {5 + a + b} \right|,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right)\]

\[ \Leftrightarrow M \geqslant \frac{1}{8}\left| {20 + 4a + {a^2}} \right|\]

\[ \Leftrightarrow M \geqslant \frac{1}{8}\left| {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^2}} \right|\]

Suy ra: \[M \geqslant 2\]

Ta có \[M\] nhận GTNN có thể được là \[M \geqslant 2\] khi \[\left\{ \begin{gathered}
a = – 2 \hfill \\
5 + a + b = – \frac{{{a^2}}}{2} – b\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
1 – a + b = 9 + 3a + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 2 \hfill \\
b = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[a + 2b = – 4\]

Câu 5. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left| {8{x^4} + a{x^2} + b} \right|\], trong đó \[a,b\] là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa \[a\] và \[b\] để GTLN của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { – 1;1} \right]\] bằng \[1\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[t = {x^2}\], vì x∈\[\left[ { – 1;1} \right]\] nên \[t \in \left[ {0;1} \right]\]

Ta có: \[g\left( t \right) = 8{t^2} + at + b\], đây là parabol có bề lõm quay lên và có toạ độ đỉnh là \[I\left( { – \frac{a}{6}; – \frac{{{a^2}}}{{32}} + b} \right)\]

TH1: \[ – \frac{a}{6} \in \left[ {0;1} \right]\]. Theo yêu cầu bài toán ta có:

\[\left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant g\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant g\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant – \frac{{{a^2}}}{{32}} + b \leqslant 1\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1 \hfill \\
– 32 \leqslant 32b – {a^2} \leqslant 32 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\
– 32 \leqslant {a^2} – 32b \leqslant 32{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Lấy \[\left( 1 \right)\]+32\[\left( 3 \right)\] ta có: \[ – 64 \leqslant {a^2} \leqslant 64\] do đó \[ – 8 \leqslant a \leqslant 8\]

Lấy \[\left( 3 \right)\]+32\[\left( 2 \right)\] ta có: \[ – 64 \leqslant {a^2} + 32a + 256 \leqslant 64\]

Suy ra: \[{a^2} + 32a + 192 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 24 \leqslant a \leqslant – 8\]

Khi đó ta có: \[a = – 8\] và \[b = 1\]

Thử lại: \[g\left( t \right) = 8{t^2} – 8t + 1 = 2{\left( {2t – 1} \right)^2} – 1\]

Vì \[0 \leqslant t \leqslant 1\] nên \[ – 1 \leqslant 2t – 1 \leqslant 1\] \[ \Rightarrow 0 \leqslant {\left( {2t – 1} \right)^2} \leqslant 1\] \[ \Rightarrow – 1 \leqslant g\left( t \right) = 2{\left( {2t – 1} \right)^2} – 1 \leqslant 1\]

Ta có: \[\max \left| {g\left( t \right)} \right| = 1\] khi \[t = 1 \Rightarrow x = \pm 1\]. Nên \[a = – 8\] và \[b = 1\] (thoả mãn)

TH2: \[ – \frac{a}{6} \notin \left[ {0;1} \right]\]. Theo yêu cầu bài toán ta có:

\[\left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant g\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant g\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow – 2 \leqslant a + 8 \leqslant 2 \Rightarrow – 10 \leqslant a \leqslant – 6\] (loại)

Vậy \[a = – 8\] và \[b = 1\]

Câu 6. Cho hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\], \[\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant 1\], \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]. Tìm GTLN của \[f’\left( 0 \right)\].

Hướng dẫn giải

\[f’\left( x \right) = 2ax + b \Rightarrow f’\left( 0 \right) = b\]

Bài toán trở thành tìm GTLN của \[b\] với điều kiện \[\left| {f\left( x \right)} \right|{\text{ }} \leqslant 1\], \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]

Ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = c \hfill \\
f\left( 1 \right) = a + b + c \hfill \\
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a + b = f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) \hfill \\
a + 2b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – 4f\left( 0 \right) \hfill \\
c = f\left( 0 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – f\left( 1 \right) – 3f\left( 0 \right)\]

\[\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant f\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant f\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant f\left( {\frac{1}{2}} \right) \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + \left[ { – f\left( 1 \right)} \right] + 3\left[ { – f\left( 0 \right)} \right] \leqslant 4 + 1 + 3 = 8\]

Đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 \hfill \\
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
f\left( 0 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c = – 1 \hfill \\
a + b + c = – 1 \hfill \\
\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 1\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 8 \hfill \\
b = 8 \hfill \\
c = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\] \[ \Rightarrow f\left( x \right) = – 8{x^2} + 8x – 1\]

Vậy GTLN của \[f’\left( 0 \right) = 8\]

Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số \[m\] sao cho phương trình \[f\left( {x,m} \right) = 0\] có nghiệm (có ứng dụng GTLN, GTNN).

Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

Bước 2: Đặt \[t = u\left( x \right)\] hoặc \[x = u\left( t \right)\]. Tìm tập giá trị \[K\] của \[t\]. Chuyển bài toán về tìm điều kiện của \[m\] để phương trình \[g\left( t \right) = h\left( m \right)\] có nghiệm thuộc \[K\].

Bước 3: Tìm GTLN, GTNN của \[g\left( t \right)\] hoặc tập giá trị của \[g\left( t \right)\] trên \[K\] để suy ra điều kiện của \[m\].

Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp:

+) Xuất hiện biểu thức đối xứng: \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {ax + b} \pm \sqrt {cx + d} \hfill \\
\sqrt {\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right)} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

PP: Đặt \[t = \sqrt {ax + b} + \sqrt {cx + d} \]

+) Xuất hiện \[\sqrt {a + bx} \] và \[\sqrt {c – bx} \] \[\left( {a + c > 0} \right)\]

PP: Vì \[{\left( {\sqrt {a + bx} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {c – bx} } \right)^2} = a + c\]

Nên đặt \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {a + bx} = \sqrt {a + c} \sin \alpha \hfill \\
\sqrt {c – bx} = \sqrt {a + c} \cos \alpha \hfill \\
\end{gathered} \right.,{\text{ }}\alpha \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]

Và sử dụng hệ thức\[\left\{ \begin{gathered}
\sin \alpha = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
2\tan \frac{\alpha }{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\cos \alpha = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 – {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\end{gathered} \right.\], tiếp tục đặt \[t = \tan \frac{\alpha }{2},{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]

Ta được một phương trình ẩn \[t\].

Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình sau có nghiệm:

\[6 – x + 2\sqrt {2\left( {x – 1} \right)\left( {4 – x} \right)} = m + 4\sqrt {x – 1} + 4\sqrt 2 \cdot \sqrt {4 – x} \]

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \[1 \leqslant x \leqslant 4\]

Phương trình đã cho tương đương:

\[6 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} – 4\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} } \right) = m{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Đặt \[t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \]

Xét hàm số \[t\left( x \right) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \] liên tục trên đoạn \[\left[ {1;4} \right]\], có:

\[t’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} + \frac{{ – 2}}{{2\sqrt {8 – 2x} }} = \frac{{\sqrt {8 – 2x} – 2\sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} \cdot \sqrt {8 – 2x} }}\]

Ta có: \[t’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 – 2x} = 2\sqrt {x – 1} \Leftrightarrow x = 2\]

Lại có: \[t\left( 1 \right) = \sqrt 6 ;{\text{ }}t\left( 2 \right) = 3;{\text{ }}t\left( 4 \right) = \sqrt 3 \]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} t\left( x \right) = t\left( 4 \right) = \sqrt 3 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} t\left( x \right) = t\left( 2 \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vì \[t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \]

\[ \Rightarrow {t^2} = 7 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow {t^2} – 1 = 6 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} \]

Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[{t^2} – 4t – 1 = m{\text{ }}\left( 2 \right)\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} – 4t – 1\] liên tục trên đoạn \[\left[ {\sqrt 3 ;3} \right]\], có: \[f’\left( t \right) = 2t – 4\]

Ta có: \[f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\]

Lại có: \[f\left( {\sqrt 3 } \right) = 2 – 4\sqrt 3 ;{\text{ }}f\left( 2 \right) = – 5;{\text{ }}f\left( 3 \right) = – 4\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = – 5 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left( 1 \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow \left( 2 \right)\] có nghiệm \[{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]}\]

\[ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) \leqslant m \leqslant \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) \Leftrightarrow – 5 \leqslant m \leqslant – 4\]

Vậy \[ – 5 \leqslant m \leqslant – 4\] là các giá trị \[m\] cần tìm.

Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình sau có nghiệm:

\[\left( {2m – 1} \right)\sqrt {x + 3} + \left( {m – 2} \right)\sqrt {1 – x} + m – 1 = 0\]

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \[ – 3 \leqslant x \leqslant 1\]

Phương trình đã cho tương đương:

\[m\left( {2\sqrt {x + 3} + \sqrt {1 – x} + 1} \right) = \sqrt {x + 3} + 2\sqrt {1 – x} + 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x + 3} + 2\sqrt {1 – x} + 1}}{{2\sqrt {x + 3} + \sqrt {1 – x} + 1}} = m{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Ta có: \[{\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {1 – x} } \right)^2} = 4\]. Nên đặt \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {x + 3} = 2\sin a \hfill \\
\sqrt {1 – x} = 2\cos a \hfill \\
\end{gathered} \right.,{\text{ }}a \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]

Sử dụng: \[\left\{ \begin{gathered}
\sin a = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
2\tan \frac{a}{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\cos a = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 – {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\end{gathered} \right.\], và đặt \[t = \tan \frac{a}{2},{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]

Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[\frac{{ – 3{t^2} + 4t + 5}}{{ – {t^2} + 8t + 3}} = m,{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]

Xét hàm số: \[f\left( t \right) = \frac{{ – 3{t^2} + 4t + 5}}{{ – {t^2} + 8t + 3}}\] liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\]

Ta có: \[f’\left( t \right) = \frac{{ – 20{t^2} – 8t – 28}}{{{{\left( { – {t^2} + 8t + 3} \right)}^2}}} < 0,{\text{ }}\forall t \in \left[ {0;1} \right]\]

⇒ Hàm số \[f\left( t \right)\] nghịch biến trên \[\left[ {0;1} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = \frac{3}{5}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = \frac{5}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left( 1 \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ { – 3;1} \right] \Leftrightarrow \left( 2 \right)\] có nghiệm \[t \in \left[ {0;1} \right]\]

\[ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) \leqslant m \leqslant \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{5} \leqslant m \leqslant \frac{5}{3}\]

Vậy \[\frac{3}{5} \leqslant m \leqslant \frac{5}{3}\] là các giá trị \[m\] cần tìm

Dạng 5. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in K\] (có ứng dụng GTLN, GTNN)

Phương pháp

Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {a;b} \right]\]

\[m > f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \geqslant f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m < f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \leqslant f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m > f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \geqslant f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m < f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

\[m \leqslant f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]

Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {a;b} \right)\]

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để bất phương trình \[6x + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} \leqslant {x^2} + m – 1\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\]

Hướng dẫn giải

Bất phương trình tương đương với \[ – {x^2} + 6x + 16 + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} – 15 \leqslant m\]

Đặt \[t = \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} \], với \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\] thì \[t \in \left[ {0;5} \right]\]

Bất phương trình trở thành \[{t^2} + t – 15 \leqslant m\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} + t – 15\] trên đoạn \[\left[ {0;5} \right]\], ta có bảng biến thiên như hình sau:

Suy ra bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\] khi và chỉ khi \[m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( t \right) = 15\]

Câu 2. Cho phương trình \[4\sqrt {6 + x – {x^2}} – 3x \leqslant m\left( {\sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} } \right)\]. Tìm \[m\] để bất phương trình đã cho có nghiệm thực?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[ – 2 \leqslant x \leqslant 3\]

Đặt \[t = \sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} \] với \[x \in \left[ { – 2;3} \right]\]

Ta có: \[t’ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} – \frac{1}{{\sqrt {3 – x} }} = \frac{{\sqrt {3 – x} – 2\sqrt {x + 2} }}{{2\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {3 – x} }}\]

\[t’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 – x} = 2\sqrt {x + 2} \Leftrightarrow x = – 1\]

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: \[t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\]

Do \[t = \sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} \Leftrightarrow 4\sqrt {6 + x – {x^2}} – 3x = {t^2} – 14\] nên bất phương trình đã cho trở thành:

\[{t^2} – 14 \leqslant mt \Leftrightarrow \frac{{{t^2} – 14}}{t} \leqslant m\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 14}}{t}\] với \[t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\], ta có:

\[f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 14}}{{{t^2}}} > 0,{\text{ }}\forall t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right] \Rightarrow f\left( t \right)\] đồng biến trên \[\left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\]

Bất phương trình đã cho có nghiệm thực \[ \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 5 ;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\sqrt 5 } \right) \Leftrightarrow m \geqslant – \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\]

Câu 3. Tìm \[m\] để bất phương trình \[\sqrt x + \sqrt {9 – x} \geqslant \sqrt { – {x^2} + 9x + m} {\text{ }}\left( 1 \right)\] có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \[0 \leqslant x \leqslant 9\]

Ta có: \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 9 – x + 2\sqrt {x\left( {9 – x} \right)} \geqslant – {x^2} + 9x + m\]

\[ \Leftrightarrow 9 + 2\sqrt { – {x^2} + 9x} \geqslant – {x^2} + 9x + m{\text{ }}\left( 2 \right)\]

Đặt \[t = \sqrt { – {x^2} + 9x} \] do \[0 \leqslant x \leqslant 9\] suy ra \[0 \leqslant t \leqslant \frac{9}{2}\]

Nên \[\left( 2 \right)\] trở thành \[9 + 2t \geqslant {t^2} + m \Leftrightarrow – {t^2} + 2t + 9 \geqslant m{\text{ }}\left( 3 \right)\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = – {t^2} + 2t + 9,{\text{ }}0 \leqslant t \leqslant \frac{9}{2}\]

Bảng biến thiên

Suy ra \[\left( 1 \right)\] có nghiệm khi và chỉ khi \[\left( 3 \right)\] có nghiệm \[t \in \left[ {0;\frac{9}{2}} \right]\], nên \[ – \frac{9}{4} \leqslant m \leqslant 10\]

Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên ℝ. Hàm số \[y = f’\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ

Tìm \[m\] sao cho bất phương trình \[f\left( {2\sin x} \right) – 2{\sin ^2}x < m\] đúng với mọi \[x \in \left( {0;\pi } \right)\]?

Hướng dẫn giải

Ta có: \[x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \sin x \in \left( {0;1} \right]\]

Đặt \[t = 2\sin x{\text{ }}\left( {t \in \left( {0;2} \right]} \right)\] ta có:

\[f\left( {2\sin x} \right) – 2{\sin ^2}x < m\] đúng với mọi \[x \in \left( {0;\pi } \right)\]

\[ \Leftrightarrow f\left( t \right) – \frac{1}{2}{t^2} < m\] đúng với mọi \[t \in \left( {0;2} \right]\]

Xét \[g\left( t \right) = f\left( t \right) – \frac{1}{2}{t^2}\] với \[t \in \left( {0;2} \right]\]

\[g’\left( t \right) = f’\left( t \right) – {t^2}\]

Từ đồ thị của hàm số \[y = f’\left( x \right)\] và \[y = x\] (hình vẽ) ta có BBT của \[g\left( t \right)\] như sau:

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left( {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) – \frac{1}{2}\]

Vậy yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow m > g\left( 1 \right) \Leftrightarrow m > f\left( 1 \right) – \frac{1}{2}\]

Dạng 6. Bài toán thực tế

Phương pháp

Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước.

Chú ý:

Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Một số bất đẳng thức thường dùng.

+) Bất đẳng thức AM-GM:

• Cho hai số thực \[a,b \geqslant 0\] ta có: \[\frac{{a + b}}{2} \geqslant \sqrt {ab} \] hay \[a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b\]

• Cho ba số thực \[a,b,c \geqslant 0\] ta có: \[\frac{{a + b + c}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{abc}}\] hay \[a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}\]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = c\]

+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

• Cho hai bộ số thực \[\left( {a;b} \right)\], \[\left( {x;y} \right)\] ta có:

\[\left| {ax + by} \right| \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[ay = bx\]

• Cho hai bộ số thực \[\left( {a;b;c} \right)\], \[\left( {x;y;z} \right)\] ta có:

\[\left| {ax + by + cz} \right| \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} \]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a:b:c = x:y:z\]

Câu 1. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[S\left( t \right) = – \frac{1}{4}{t^4} + 3{t^2} – 2t – 4\], trong đó \[t\] tính bằng giây \[\left( s \right)\] và \[S\] tính bằng mét \[\left( m \right)\]. Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt GTLN?

Hướng dẫn giải

Vận tốc của chuyển động được xác định bởi \[v\left( t \right) = S’\left( t \right) = – {t^3} + 6t – 2\]

Ta có: \[v’\left( t \right) = – 3{t^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = \sqrt 2 \hfill \\
t = – \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do \[t{\text{ }} > {\text{ }}0\], nên ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra vận tốc của chuyển động đạt GTLN tại \[t = \sqrt 2 \].

Câu 2. Hằng ngày mực nước của hồ thuỷ điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian \[t\] (giờ) trong ngày cho bởi công thức:

\[h\left( t \right) = – \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t{\text{ }}\left( {t > 0} \right)\]

Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

Hướng dẫn giải

Xét \[h\left( t \right) = – \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t{\text{ }}\left( {t > 0} \right)\]

Ta có: \[h’\left( t \right) = – {t^2} + 10t + 24\]

\[h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – {t^2} + 10t + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 12 \hfill \\
t = – 2 \notin \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.

Câu 3. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \[F\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2}\left( {30 – x} \right)\], trong đó \[x\] là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (\[x\] được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[F\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2}\left( {30 – x} \right){\text{ }}\left( {0 < x < 30} \right)\]

\[ \Rightarrow F’\left( x \right) = \frac{1}{{40}}\left( { – 3{x^2} + 60x} \right)\]

\[F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{40}}\left( { – 3{x^2} + 60x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \notin \left( {0;30} \right) \hfill \\
x = 20 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Ta có huyết áp giảm nhiều nhất \[ \Leftrightarrow F\left( x \right)\] lớn nhất trên \[\left( {0; + \infty } \right)\].

Dựa vào BBT ta thấy \[\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} F\left( x \right) = F\left( {20} \right) = 100\] nên liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân là \[x = 20\].

Câu 4. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là \[60{\text{ }}cm\], thể tích \[96000{\text{ }}c{m^3}\]. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành \[70000{\text{ }}vnd/{m^2}\] và loại kính để làm mặt đáy có giá thành \[100000{\text{ }}vnd/{m^2}\]. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

Hướng dẫn giải

Gọi \[x,y\] \[\left( m \right)\] \[\left( {x > 0,y > 0} \right)\] là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.

Khi đó theo đề ta suy ra: \[0,6xy = 0,096\] hay \[y = \frac{{0,16}}{x}\]

Giá thành của bể cá được xác định theo giá trị hàm số sau:

\[f\left( x \right) = 2 \cdot 0,6\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) \cdot 70000 + 100000 \cdot x \cdot \frac{{0,16}}{x}\]

Ta có: \[f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000\]

Suy ra: \[f’\left( x \right) = 84000\left( {1 – \frac{{0,16}}{{{x^2}}}} \right)\] \[ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\]

Bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là \[f\left( {0,4} \right) = 83200{\text{ }}vnd\]

Câu 5. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận được \[32\] lít và \[72\] lít xăng trong một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là \[10\] lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu.

Hướng dẫn giải

Gọi \[x\] (lít) \[\left( {0 < x < 10} \right)\] là số xăng An sử dụng trong 1 ngày.

Khi đó: \[10 – x\] (lít) là số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày.

Suy ra: \[f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 – x}},{\text{ }}x \in \left( {0;10} \right)\] là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được khoán.

Xét hàm số \[f\left( x \right)\] ta có: \[f’\left( x \right) = – \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 – x} \right)}^2}}}\]

\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 – x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4 \hfill \\
x = – 20 \notin \left( {0;10} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 – x}},{\text{ }}x \in \left( {0;10} \right)\]

Dựa vào BBT ta có sau ít nhất \[20\] ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán.

Câu 6. Người ra cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \[200{\text{ }}{m^3}\]. Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là \[300000{\text{ }}vnd/{m^2}\] (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi pí thấp nhất để xây bể (làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng)

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của khối hộp là \[x\] \[\left( m \right)\], \[x > 0\] \[ \Rightarrow \] chiều dài của khối hộp là \[2x\] và chiều cao của khối hộp là \[\frac{{200}}{{2x \cdot x}} = \frac{{100}}{{{x^2}}}\]. Ta có:

Diện tích xung quanh của bể chứ là \[{S_{xq}} = 2\left( {x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}} + 2x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}}} \right)\]

Diện tích mặt đáy của bể là S\[{S_1} = 2 \cdot x \cdot x\]

Do đó diện tích xây dựng của bể là:

\[S = {S_{xq}} + {S_1} = 2\left( {x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}} + 2x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}}} \right) + 2 \cdot x \cdot x = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}{\text{ }}\left( {{m^2}} \right)\]

Chi phí xây dựng bể là:

\[C\left( x \right) = \left( {2{x^2} + \frac{{600}}{x}} \right) \cdot 3 \cdot {10^5}\] (đồng)

Tìm GTNN của \[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}\] khi \[x > 0\]

Vì \[x > 0\] nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm ta được

\[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{600}}{x} = 2{x^2} + \frac{{300}}{x} + \frac{{300}}{x} \geqslant 3\sqrt[3]{{2 \cdot 300 \cdot 300}}\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{gathered}
2{x^2} = \frac{{300}}{x}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{150}}\]

Do đó: \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt[3]{{150}}} \right) = 3\sqrt[3]{{180000}}\]

Chi phí thấp nhất để xây bể là:

\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) \cdot 300 = 3\sqrt[3]{{180000}} \cdot 300 \approx 50,81595\] triệu đồng

Vậy chi phí thấp nhất để xây bể xấp xỉ là \[51\] triệu đồng.

Bài viết Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và điểm \[{x_0} \in \left( {a;b} \right)\]

+) Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\] với mọi \[x \in \left( {{x_0}–h;{x_0} + h} \right)\] và \[x \ne {x_0}\] thì ta nói hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực đại tại \[{x_0}\].

+) Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\] với mọi \[x \in \left( {{x_0}–h;{x_0} + h} \right)\] và \[x \ne {x_0}\] thì ta nói hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực tiểu tại \[{x_0}\].

Chú ý:

+) Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực đại tại \[{x_0}\] thì \[{x_0}\] được gọi là điểm cực đại của hàm số;f(\[{x_0}\]) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là \[{f_{C\rlap{–} D}}\] \[\left( {{f_{CT}}} \right)\], còn điểm \[M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\] được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\]. Khi đó nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì \[f’\left( x \right) = 0\]

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[K = ({x_0}–h;{x_0} + h)\] và có đạo hàm trên K hoặc trên \[K\backslash \{ {x_0}\} \], với \[h > 0\].

+) Nếu \[f’\left( x \right) > 0\] trên khoảng \[({x_0}–h;{x_0})\] và \[f’\left( x \right) < 0\] trên \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực đại của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

+) Nếu \[f’\left( x \right) < 0\] trên khoảng \[({x_0}–h;{x_0})\] và \[f’\left( x \right) > 0\] trên \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực tiểu của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Minh họa bằng bảng biến thiên

Chú ý:

+) Giá trị cực đại f(\[{x_0}\]) của hàm số \[y = f\left( x \right)\] nói chung không phải là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên tập xác định của nó.

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng \[0\] hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng \[0\] tại điểm \[{x_0}\] nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\].

Định lí 3:

Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm cấp hai trong khoảng \[K = ({x_0}–h;{x_0} + h)\] với \[h > 0\]. Khi đó:

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) > 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực tiểu.

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) < 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực đại.

+) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\], \[f”\left( {{x_0}} \right) = 0\] thì phải lập bảng biến thiên để kết luận.

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \[f’\left( x \right)\]. Tìm các điểm tại đó \[f’\left( x \right)\] bằng \[0\] hoặc \[f’\left( x \right)\] không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \[f’\left( x \right)\]. Giải phương trình \[f’\left( x \right) = 0\] và ký hiệu \[{x_i}\left( {i = 1, 2, 3, …} \right)\] là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính \[f”\left( x \right)\] và \[f”\left( {{x_i}} \right)\]

Bước 4: Dựa vào dấu của \[f”\left( {{x_i}} \right)\] suy ra tính chất cực trị của điểm \[{x_i}\].

Hệ thống bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho bởi biểu thức.

Câu 1. Tìm cực trị của hàm số \[y = {x^3}–3{x^2}–9x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có: \[y’ = 3{x^2}–6x–9\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}–6x–9 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Cách 1: Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \[x = – 1\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 6\] và đạt cực tiểu tại \[x = 3\], \[{y_{CT}} = – 26\]

Cách 2: \[y” = 6x–6\]

\[y”\left( { – 1} \right) = – 12 < 0\] \[ \Rightarrow \] Hàm số đạt cực đại tại \[x = – 1\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 6\]

\[y”\left( 3 \right) = 12 > 0\] \[ \Rightarrow \] Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 3\], \[{y_{CT}} = – 26\]

Câu 2. Tìm cực trị của hàm số \[y = – 2{x^3}–3{x^2}–6x + 1\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = – 6{x^2} – 6x – 6 = – 6\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right] < 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Câu 3. Tìm cực trị của hàm số \[y = {\left( {1–x} \right)^3}{\left( {3x–8} \right)^2}\]

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = 15{\left( {1–x} \right)^2}\left( {3x–8} \right)\left( {2–x} \right)\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{8}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Ta có bảng biến thiên

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \[x = \frac{8}{3}\], \[{y_{C\rlap{–} D}} = 0\] và hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\], \[{y_{CT}} = – 4\]

Dạng 2. Riêng về cực trị hàm bậc 3

Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right){\text{ }}\left( 1 \right)\]

+) Ta có: \[y’ = 3a{x^2} + 2bx + c\]; \[\Delta’ = {b^2}–3ac\]

• Hàm số không có điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ \leqslant 0\].
• Hàm số có hai điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ > 0\].

+) Trong trường hợp \[\Delta’ > 0\] , gọi \[A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \[\left( 1 \right)\], trong đó \[{x_1}\], \[{x_2}\] là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \[y’ = 0\].

Ta có: \[f\left( x \right) = \left( {mx + n} \right) \cdot f’\left( x \right) + r\left( x \right)\], với \[r\left( x \right)\] là nhị thức bậc nhất.

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{y_1} = f\left( {{x_1}} \right) = r\left( {{x_1}} \right) \hfill \\
{y_2} = f\left( {{x_2}} \right) = r\left( {{x_2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra tọa độ \[A\], \[B\] thỏa mãn phương trình \[y = r\left( x \right)\]

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị \[A\], \[B\] là \[y = r\left( x \right)\]

Công thức tính nhanh:

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, của đồ thị hàm số \[\left( 1 \right)\] là:

\[y = r\left( x \right) = – \frac{{2\Delta’}}{{9a}}x + \frac{{9ad – bc}}{{9a}}\]

Cách dùng MTCT

+) Nhập biểu thức: \[a{x^3} + b{x^2} + cx + d – \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {\frac{x}{3} + \frac{b}{{9a}}} \right)\]

+) Cho \[x = i\] ta được kết quả \[Ai + B\]. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \[y = Ax + B\]

Câu 1. Với giá trị nào của tham số \[m\] thì hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 4m + 3} \right)x + 2021 – 2020m\] có cực trị?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y’ = {x^2}–2mx + \left( {{m^2}–4m + 3} \right)\]

Hàm số có cực đại, cực tiểu \[ \Leftrightarrow \] \[y’ = 0\] có 2 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[\Delta’ = {m^2}–\left( {{m^2}–4m + 3} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow \] \[4m–3 > 0\] \[ \Leftrightarrow \] \[m > \frac{3}{4}\]

Vậy \[m > \frac{3}{4}\] thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = m{x^3}–\left( {2m–1} \right){x^2} + 2mx–m–1\] có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình \[m{x^3}–\left( {2m–1} \right){x^2} + 2mx–m–1\] có 2 nghiệm phân biệt

Ta có: \[m{x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + 2mx – m – 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left[ {m{x^2} – \left( {m – 1} \right)x + m + 1} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
m{x^2} – \left( {m – 1} \right)x + m + 1 = 0{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt \[\left( * \right)\] có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m – \left( {m – 1} \right) + m + 1 \ne 0 \hfill \\
{\left( {m – 1} \right)^2} – 4m\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m + 2 \ne 0 \hfill \\
– 3{m^2} – 6m + 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 0 \hfill \\
m \ne – 2 \hfill \\
\frac{{ – 3 – 2\sqrt 3 }}{3} < m < \frac{{ – 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do \[m \in \mathbb{Z}\] \[ \Rightarrow \] \[m = – 1\]

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số thoả mãn đề bài.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: \[y’ = {x^2} – 2mx + m + 2\]

\[y’ = 0\]\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2} – 2mx + m + 2 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( * \right)\]

Phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của hàm số là

\[y = \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)x + \frac{1}{3}m\left( {m + 2} \right)\]

Gọi \[A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, khi đó để hàm số có giá trị cực đại và cực tiểu dương thì \[{y_1} + {y_2} > 0\] và đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

Theo định lý Viet ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2m\].

Nên \[{y_1} + {y_2} > 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{2}{3}m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( { – \frac{2}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}} \right)\left( {2m} \right) + \frac{2}{3}m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow 2m\left( { – 2{m^2} + 3m + 6} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {57} }}{4}} \right) \cup \left( {0;\frac{{3 + \sqrt {57} }}{4}} \right){\text{ }}\left( {**} \right)\]

Để đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình \[y = 0\] có 1 nghiệm đơn duy nhất, khi đó \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\] có một nghiệm đơn duy nhất.

Ta có: \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3mx + 3m + 6} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} – 3mx + 3m + 6 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có một nghiệm duy nhất thì phương trình \[\left( 3 \right)\] vô nghiệm, khi đó điều kiện là \[\Delta = 9{m^2} – 12m – 24 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2 – 2\sqrt 7 }}{3} < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}{\text{ }}\left( {***} \right)\]

Kết hợp \[\left( * \right)\], \[\left( {**} \right)\], \[\left( {***} \right)\] ta được tập các giá trị của \[m\] thoả mãn là \[2 < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\]

Cách 2:

Ta có: \[y’ = {x^2} – 2mx + m + 2\]

\[y’ = 0\]\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2} – 2mx + m + 2 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt, khi đó:

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]

Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dương thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất và giá trị tại điểm uốn luôn dương.

Để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình \[y = 0\] có 1 nghiệm duy nhất, khi đó \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\] có một nghiệm đơn duy nhất.

Ta có: \[\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3mx + 3m + 6} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} – 3mx + 3m + 6 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có một nghiệm duy nhất thì phương trình \[\left( 3 \right)\] vô nghiệm, khi đó điều kiện là \[\Delta = 9{m^2} – 12m – 24 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2 – 2\sqrt 7 }}{3} < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}{\text{ }}\left( {**} \right)\]

Để giá trị tại điểm uốn luôn dương:

\[{y’ = {x^2} – 2mx + m + 2}\]

\[{y” = 2x – 2m}\]

\[{y” = 0 \Leftrightarrow 2x – 2m = 0 \Leftrightarrow x = m}\]

Ta có: \[{y_{\left( m \right)}} > 0 \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{3} – {m^3} + m\left( {m + 2} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m\left( { – 2{m^2} + 3m + 6} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {57} }}{4}} \right) \cup \left( {0;\frac{{3 + \sqrt {57} }}{4}} \right){\text{ }}\left( {***} \right)\]

Kết hợp \[\left( * \right)\], \[\left( {**} \right)\], \[\left( {***} \right)\] ta được tập các giá trị của \[m\] thoả mãn là \[2 < m < \frac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\]

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^2} + 3\] có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành?

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\[y’ = 3{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} – 2\] có \[\Delta’ = – 2{m^2} + 2m + 7\]

Để đồ thị hàm số \[y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^2} + 3\] có hai cực trị thì \[{y’}\] đổi dấu hai lần, tức là \[{y’}\] có hai nghiệm phân biệt, tương đương

\[\Delta’ > 0 \Leftrightarrow – 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – \sqrt {15} }}{2} < m < \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\]

Vì \[m \in \mathbb{Z}\] nên được \[m \in \left\{ { – 1;0;1;2} \right\}\]

Lúc này hai nghiệm \[{x_1}\];\[{x_2}\] của \[{y’}\] lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số.

Hai điểm cực trị đó nằm cùng 1 phía đối với trục hoành khi và chỉ khi \[f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) > 0\], tương đương đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm, tức là, phương trình \[{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2} \right)x – {m^3} = 0\] có duy nhất một nghiệm thực.

Xét \[m = – 1\] thì phương trình là \[{x^3} – x + 2 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = – 1\]

Xét \[m = 0\] thì phương trình là \[{x^3} – {x^2} – 2x + 3 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = 0\]

Xét \[m = 1\] thì phương trình là \[{x^3} – 2{x^2} – x + 2 = 0\]: phương trình này có ba nghiệm thực phân biệt nên loại \[m = 1\]

Xét \[m = 2\] thì phương trình là \[{x^3} – 3{x^2} + 2x – 1 = 0\]: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn \[m = 2\]

Vậy \[m \in \left\{ { – 1;0;2} \right\}\]

Câu 5. Cho hàm số \[y = {x^3} – 6mx + 4\] có đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\] cắt đường tròn tâm \[I\left( {1;0} \right)\], bán kính \[\sqrt 2 \] tại hai điểm phân biệt \[A\]; \[B\] sao cho tam giác \[IAB\] có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[y = {x^3} – 6mx + 4\] có tập xác định \[\mathbb{R}\].

\[y’ = 3{x^2} – 6m\]; \[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2m\]

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] \[{y’}\] đổi dấu 2 lần

\[ \Leftrightarrow \] \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Ta có: \[y = \frac{1}{3}y’x – 4mx + 4\]

Gọi \[M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\], \[N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
y’\left( {{x_1}} \right) = y’\left( {{x_2}} \right) = 0 \hfill \\
{y_1} = y\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{3}y’\left( {{x_1}} \right){x_1} – 4m{x_1} + 4 \hfill \\
{y_2} = y\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{3}y’\left( {{x_2}} \right){x_2} – 4m{x_2} + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{y_1} = – 4m{x_1} + 4 \hfill \\
{y_2} = – 4m{x_2} + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra \[M\], \[N\] thuộc đường thẳng \[d\] có phương trình \[y = – 4mx + 4\]

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của \[\left( {{C_m}} \right)\] là \[y = – 4mx + 4\]

Gọi \[\left( T \right)\] là đường tròn có tâm \[I\left( {1;0} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt 2 \]

Đường thẳng \[d\] cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \[A\], \[B\] và tạo thành tam giác \[IAB\]

\[ \Leftrightarrow 0 < d\left( {I;d} \right) < R\]

\[ \Leftrightarrow 0 < d\left( {I;d} \right) < \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m \ne 1 \hfill \\
\frac{{\left| { – 4m + 4} \right|}}{{\sqrt {16{m^2} + 1} }} < \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Cách 1:

Do đường thẳng \[d\] luôn đi qua điểm \[K\left( {0;4} \right)\],\[IK = \sqrt {17} > R\] \[ \Rightarrow \] \[K\] nằm ngoài đường tròn nên tồn tại hai điểm \[A\], \[B\] là giao điểm của \[d\] với đường tròn để tam giác \[IAB\] vuông tại \[I\].

Do đó: \[{S_{IAB}} = \frac{1}{2}IA \cdot IB \cdot \sin \widehat {AIB} \leqslant \frac{1}{2}IA \cdot IB\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow IA \bot IB\]

\[ \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 4m + 4} \right|}}{{\sqrt {16{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{32}}\]

Bình luận: Nếu đường thẳng \[d\] luôn đi qua điểm \[K\] cố định mà \[IK < \frac{R}{{\sqrt 2 }}\] thì sẽ không có vị trí của đường thẳng \[d\] để tam giác \[IAB\] vuông tại \[I\]. Khi đó, nếu làm như trên sẽ bị sai. Trong trường hợp đón thì ta phải đặt \[d\left( {I;d} \right) = t\] \[\left( {0 < t \leqslant l} \right)\], với \[l\] là độ dài đoạn thẳng \[IK\], rồi tính \[{S_{\Delta IAB}}f\left( t \right)\] và tìm giá trị lớn nhất của \[f\left( t \right)\] trên nửa khoảng \[\left( {0;l} \right]\].

Cách 2:

Phương trình đường tròn là: \[{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2{\text{ }}\left( C \right)\]

Xét hệ \[\left\{ \begin{gathered}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2 \hfill \\
y = – 4mx + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {{{\left( {16{m^2} + 1} \right)}^2} – 2\left( {16m + 1} \right)x + 15 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)} \right.\]

\[d\] cắt \[\left( C \right)\] tại 2 điểm phân biệt \[A\], \[B\] \[ \Leftrightarrow \] \[\left( 1 \right)\] có 2 nghiệm phân biệt \[a\], \[b\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {16m + 1} \right)^2} – 15\left( {16m + 1} \right) > 0\]

Khi đó: \[A\left( {a; – 4ma + 4} \right)\], \[B\left( {b; – 4mb + 4} \right)\] \[ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
\overrightarrow {IA} = \left( {a – 1; – 4ma + 4} \right) \hfill \\
\overrightarrow {IB} = \left( {b – 1; – 4mb + 4} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} = ab – \left( {a + b} \right) + 16\left[ {{m^2}a – m\left( {a + b} \right) + 1} \right] + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow ab – \left( {a + b} \right) + 16{m^2}ab – 16m\left( {a + b} \right) + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {16{m^2} + 1} \right)ab – \left( {16m + 1} \right)\left( {a + b} \right) + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 15 – \frac{{2{{\left( {16m + 1} \right)}^2}}}{{16{m^2} + 1}} + 17 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {16m + 1} \right)}^2}}}{{16{m^2} + 1}} = 16\]

\[ \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{32}}\]

Dạng 3. Riêng về cực trị hàm trùng phương

Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số: \[y = a{x^4} + b{x^2} + c\] \[\left( {a \ne 0} \right)\] có đồ thị là \[\left( C \right)\].

+) Đồ thị \[\left( C \right)\] có đúng một điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có đúng một nghiệm \[ \Leftrightarrow \] \[ab \geqslant 0\]

+) Đồ thị \[\left( C \right)\] có ba điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có 3 nghiệm phân biệt\[ \Leftrightarrow \] \[ab < 0\]

Khi đó ba điểm cực trị là: \[A\left( {0;c} \right)\], \[B\left( { – \sqrt { – \frac{b}{{2a}}} ; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\], \[C\left( {\sqrt { – \frac{b}{{2a}}} ; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\] với \[\Delta = {b^2} – 4ac\]

Độ dài các đoạn thẳng: \[AB = AC = \sqrt {\frac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} – \frac{b}{{2a}}} \], \[BC = 2\sqrt { – \frac{b}{{2a}}} \]  và tam giác \[{\text{ABC}}\] luôn là tam giác cân tại \[A\].

Công thức nhanh một số trường hợp thường gặp

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để hàm số \[y = 2{x^4} – \left( {m + 1} \right){x^2} + 4\] có ba điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: \[y’ = 8{x^3} – 2\left( {m + 1} \right)x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \frac{{m + 1}}{4}{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \] \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt khác \[0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{4} > 0 \Leftrightarrow m > – 1\]

Cách 2: Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi \[ab < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > – 1\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để đồ thị của

hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3} – 4\left( {m + 1} \right)x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} = m + 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > – 1{\text{ }}\left( * \right)\]

Khi đó, ba điểm cực trị là: \[A\left( {0;{m^2}} \right)\], \[B\left( {\sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\], \[C\left( { – \sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\]

Ta thấy \[A \in Oy\], \[B\], \[C\] đối xứng nhau qua \[Oy\] nên tam giác \[{\text{ABC}}\] cân tại \[A\].

Do đó tam giác \[{\text{ABC}}\] vuông cân tại A khi và chỉ khi tam giác \[{\text{ABC}}\] vuông tại \[A\] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\]

\[\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {m + 1} ; – {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { – \sqrt {m + 1} ; – {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\]

Suy ra: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} – \left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = – 1{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\
m = 0{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Vậy \[m = 0\] là giá trị cần tìm

Chú ý có thể sử dụng điều kiện sau:

Gọi \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] thì \[H\left( {0; – 2m – 1} \right)\]

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi \[{b^3} + 8a = 0 \Leftrightarrow – 8{\left( {m + 1} \right)^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow m = 0\]

Câu 3. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2m{x^2} + m – 1\], với \[m\] là tham số thực. Xác định các giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số có ba cực trị đồng thời các điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[y’ = 4{x^3} – 4mx\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} – m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
{x^2} = m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Hàm số có ba điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y’ = 0\] có ba nghiệm phân biệt và \[{y’}\] đổi dấu qua các nghiệm đó \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\[A\left( {0;m – 1} \right)\], \[B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + m – 1} \right)\], \[C\left( {\sqrt m ; – {m^2} + m – 1} \right)\]

Cách 1: Ta có: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{y_B} – {y_A}} \right| \cdot \left| {{x_C} – {x_B}} \right| = {m^2}\sqrt m \] và \[AB = \sqrt {{m^2} + m} \], \[BC = 2\sqrt m \]

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp:

\[R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\left( {{m^2} + m} \right) \cdot 2\sqrt m }}{{4{m^2}\sqrt m }}\]

\[R = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{m^2} + m} \right) \cdot \sqrt m }}{{2{m^2}\sqrt m }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m}} = 1\]

Cách 2: Gọi \[M\], \[H\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[BC\] và \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\]

\[AB = \sqrt {{m^2} + m} \], \[AH = {m^2}\]

Ta có: \[\Delta AMI \sim \Delta AHB\]

\[ \Rightarrow R = \frac{{A{B^2}}}{{2AH}}\]

\[R = 1 \Leftrightarrow \frac{{A{B^2}}}{{2AH}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + m}}{{2{m^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m}} = 1 \Leftrightarrow m = 1\]

Vậy \[m = 1\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = {x^4} – 2m{x^2} + m\], với \[m\] là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\[y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x\left( {{x^2} – m} \right)\]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi \[y’ = 0\] có 3 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \] \[m > 0\]

Khi đó: \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm \sqrt m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Khi đó toạ độ ba điểm cực trị: \[A\left( {0;m} \right)\], \[B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + m} \right)\], \[C\left( {\sqrt m ; – {m^2} + m} \right)\]

Gọi \[H\] là trung điểm của cạnh \[BC\]. Ta có: \[H\left( {0; – {m^2} + m} \right)\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4R}} \Leftrightarrow A{B^2} = 2AH \cdot R\]  trong đó \[\left\{ \begin{gathered}
AH = {m^2} \hfill \\
AB = \sqrt {m + {m^4}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Suy ra: \[m + {m^4} = 2{m^2}\]

\[ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} – 2m + 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} + m – 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 0 \hfill \\
m = 1 \hfill \\
m = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
m = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[S = \left\{ {1;\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\]

Dạng 4. Cực trị của hàm \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\], \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\]

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right)\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\
– f\left( x \right){\text{ }}khi{\text{ }}f\left( x \right) < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Do đó đồ thị hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] như sau:

Từ đồ thị suy ra hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] có 5 điểm cực trị

Công thức tính nhanh: Số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] và số lần đổi dấu của hàm số \[f\left( x \right)\]

Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau :

Hàm số \[y = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\] có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\]

Ta có: \[g’\left( x \right) = {\left[ {f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)} \right]^\prime } = {\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)^\prime }.f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right) = \frac{{x – 3}}{{\left| {x – 3} \right|}} \cdot f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\]

Có \[g’\left( x \right)\] không xác định tại \[x = 3\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {\left| {x – 3} \right|} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left| {x – 3} \right| = – 2 \hfill \\
\left| {x – 3} \right| = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 7 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \[y = f\left( {\left| {x – 3} \right|} \right)\] có 3 điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + \left( {2 – m} \right)x + 2\]. Tập tất cả các giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có 5 điểm cực trị là \[\left( {\frac{a}{b};c} \right)\] với \[a\], \[b\], \[c\] là các số nguyên và \[{\frac{a}{b}}\] là phân số tối giản. Tính \[a + b + c\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: \[f’\left( x \right) = 3{x^2} – 2\left( {2m – 1} \right)x + \left( {2 – m} \right)\]

Đồ thị hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có 5 điểm cực trị

\[ \Leftrightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + \left( {2 – m} \right)x + 2\] có 2 điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung

\[ \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 0\] có 2 nghiệm dương phân biệt

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\Delta ‘ > 0 \hfill \\
S > 0 \hfill \\
P > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{\left( {2m – 1} \right)^2} – 3\left( {2 – m} \right) > 0 \hfill \\
2m – 1 > 0 \hfill \\
2 – m > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
4{m^2} – m – 5 > 0 \hfill \\
\frac{1}{2} < m < 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
m < – 1 \hfill \\
m > \frac{5}{4}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\frac{1}{2} < m < 2\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2\]

\[ \Rightarrow \left( {\frac{a}{b};c} \right) = \left( {\frac{5}{4};2} \right) \Rightarrow a = 5,b = 4,c = 2\]

Vậy \[a + b + c = 11\]

Bài viết Cực trị của hàm số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các lý thuyết cần nhớ

Trước khi học cách làm các bài toán về đơn vị này, các em học sinh cần nắm vững một số kiến thức cơ bản như khái niệm, cách đọc – viết, bảng đơn vị đo khối lượng cũng như quy tắc đổi giữa các đơn vị. Đây cũng chính là nền tảng quan trọng giúp các em dễ dàng tiếp cận với những dạng bài tập phức và ứng dụng tốt vào thực tế.

1.1. Gam là gì?

Gam (viết tắt là g) là một trong những đơn vị được dùng để đo khối lượng, thường gặp trong các hoạt động hàng ngày như nấu ăn, cân thực phẩm hoặc trong các bài toán đo lường ở khối tiểu học. Trong bảng đơn vị đo khối lượng, đây chính là đơn vị đứng vị trí thấp nhất, nên nhiều người đã dùng nó để đo những vật có trọng lượng nhẹ như một quả trứng, một gói muối, một túi đường nhỏ,…

Ví dụ:

• Một quả táo nhỏ nặng khoảng 150g
• Một thanh sôcôla có thể nặng 100g

1.2. Cách đọc và viết khối lượng có đơn vị là “g”

Khi viết khối lượng, các em học sinh cần phải ghi rõ số lượng kèm theo đơn vị đo (g). Bên cạnh đó, bạn tuyệt đối không được viết thiếu đơn vị hay viết sai thứ tự.

Ngoài ra, học sinh cũng cần luyện tập thói quen đọc chính xác. Với các số có nhiều chữ số, bạn nên tách thành hàng nghìn để dễ hiểu.

Ví dụ:

• 3000g đọc là “ba nghìn gam”
• 120g đọc là “một trăm hai mươi gam”

1.3. Bảng đơn vị đo khối lượng và cách quy đổi

Sau đây là bảng đơn vị đo khối lượng chuẩn chỉnh mà bạn nên ghi nhớ: 

Với bảng này, nếu muốn chuyển đổi nhanh giữa các đơn vị, bạn cần chú ý đến 2 quy tắc cơ bản sau: 

Quy tắc 1: Đổi một đơn vị lớn sang một đơn vị bé hơn

Khi muốn chuyển đổi một đơn vị lớn xuống đơn vị bé đứng liền kề với nó, bạn cần phải nhân số đó cùng với 10. Nếu cách nhau 2 bậc thì lấy nó nhân với 100, cách 3 bậc thì lại nhân cùng 1000,… và làm tương tự ở những bậc tiếp theo. Ví dụ:

• 1 kg = 1000g 
• 1 dag = 10 g
• 1 yến = 10000 kg

Quy tắc 2: Đổi một đơn vị bé thành một đơn vị lớn hơn

Khi muốn chuyển đổi một đơn vị bé lên đơn vị lớn đứng liền kề với nó, điều bạn cần thực hiện là chia số đó cho 10. Nếu 2 đơn vị đề cho cách nhau 2 bậc, thì hãy chia với 100, cách 3 bậc thì chia 1000,… và cứ tiếp tục với thao tác tương tự cho những bậc tiếp theo. Ví dụ: 1000g = 100dag = 10hg = 1kg

1.4. Vai trò của gam trong thực tế

Việc hiểu và sử dụng đơn vị này không chỉ giúp học sinh làm tốt các bài toán mà còn ứng dụng hiệu quả trong cuộc sống. Khi đi chợ, nấu ăn, cân thực phẩm hay đọc các thông tin dinh dưỡng có trên bao bì, ký hiệu “g” sẽ xuất hiện rất thường xuyên. Một số ví dụ thực hiện là:

• Trên vỏ hộp sữa chua có ghi: Khối lượng tịnh: 100g.
• Gói bánh snack Cà Chua có khối lượng 80g, nhỏ hơn gói 150g.
• Một người đầu bếp mới cần cân chính xác 200g bột mì để làm bánh.

2. Các dạng bài tập thường gặp

2.1. Đọc khối lượng của một vật trên hình

Trước tiên, dạng bài tập cơ bản và phổ biến nhất trong toán lớp 3 là đọc chính xác khối lượng của các vật thể hay đồ vật trên hình vẽ, bảng cân. Đây được xem kỹ năng cần thiết giúp học sinh làm quen với việc nhận biết số liệu và ký hiệu “g”, từ đó làm nền tảng cho những bài tập tính toán phức tạp hơn. Phương pháp giải chi tiết là:

• Xác định đúng các đơn vị đo lường khối lượng.
• Nếu số đo có đơn vị lớn hơn “g”, hãy chuyển chúng về “g” để dễ so sánh.
• Đọc số liệu rõ ràng, tránh nhầm lẫn giữa các số hay đơn vị.

Ví dụ: Quan sát hình và nêu khối lượng của vật:

1. a) Khối lượng của túi vải:
2. b) Khối lượng của bịch đường:

Lời giải: 

1. a) Quan sát hình ta thấy khối lượng túi vải là: 500g + 10g = 510g.
2. b) Quan sát hình ta thấy khối lượng bịch đường là 500g. 

2.2. Tính toán với các đơn vị

Tiếp theo, các em học sinh cũng sẽ gặp được các bài tập yêu cầu thực hiện phép tính cộng, trừ, nhân, chia cùng với số đo khối lượng được cho bằng đơn vị gam hoặc những đơn vị liên quan. Dạng bài này đòi hỏi các em phải biết cách chuyển đổi đơn vị về chung một đơn vị, rồi mới thực hiện phép tính để đảm bảo độ chính xác cho kết quả.

Phương pháp giải

• Chuyển tất cả các số đo về cùng một đơn vị (nếu cần) trước khi thực hiện phép tính.
• Thực hiện cộng, trừ, nhân, chia như bình thường cùng với những số đo đã được chuyển về chung đơn vị.
• Viết rõ đáp số kèm đơn vị.

Ví dụ: Tính: 

1. a) 163g + 28g = ?
2. b) 2,3kg – 1500g = ?
3. c) 450g + 1,2kg = ?
4. d) 5000g : 4 = ?

Lời giải: 

1. a) 163g + 28g = 191g
2. b) 2,3kg – 1500g = ?

Ta có: 2,3kg = 2300g => 2300g – 1500g = 800g

1. c) 450g + 1,2kg = ?

Ta có: 1,2kg = 1200g =>  450g + 1200g = 1650g = 1kg 650g.

1. d) 5000g : 4 = 1250g. 

2.3. So sánh

Khi nhắc đến đơn vị gam, có một dạng bài quan trọng khác mà bạn nhất định phải hiểu rõ là so sánh các khối lượng được cho dưới dạng số. Để giải quyết nhanh và chuẩn dạng bài thế này, chúng ta cần sử dụng đến quy tắc chuyển đổi đơn vị đo khối lượng ở phần 1, rồi điền dấu >, < hoặc =. Khi thường xuyên làm giải so sánh, các em sẽ luyện được tư duy logic và làm quen với phép tính trong thực tế.

Phương pháp giải chi tiết là: 

• Chuyển đổi tất cả các số đo đã cho về cùng đơn vị để so sánh dễ dàng hơn.
• Điền dấu so sánh thích hợp (>, <, =).

Lưu ý rằng không phải bài nào cũng đổi đơn vị, mà bạn chỉ cần thực hiện bước này đối với những câu hỏi có các số khác đơn vị với nhau. 

Ví dụ: So sánh: 

1. a) 400g + 8g _____ 480g
2. b) 1,5kg _____ 1400g
3. c) 900g _____ 0,9kg
4. d) 700g _____ 0,6kg

Lời giải: 

1. a) 400g + 8g _____ 480g

Ta có: 400g + 8g = 408g => 408g < 408 g => 400g + 8g < 480g

1. b) 1,5kg _____ 1400g

Ta có: 1,5kg = 1500g => 1500g > 1400g => 1,5kg > 1400g

1. c) 900g _____ 0,9kg

Ta có: 0,9kg = 900g => 2 vế bằng nhau => 900g = 0,9kg

1. d) 700g _____ 0,6kg

Ta có: 0,6kg = 600g => 700g > 600g => 700g > 0,6kg

2.4. Bài toán có lời giải

Đây là dạng bài tổng hợp những kiến thức đã học, yêu cầu các em học sinh phải đọc hiểu đề bài, phân tích chính xác số liệu và vận dụng các phép tính thích hợp để tìm thấy kết quả. So với những dạng bài tập ở trên, bài toán có lời văn lại là thử thách có độ khó cao hơn, đòi hỏi các em phải biết cách vận dụng linh hoạt kiến thức về gam và các đơn vị đo khối lượng trong tình huống thực tế.

Phương pháp giải chi tiết:

• Đọc thật kỹ đề bài đã cho để xác định rõ số liệu và đơn vị đo.
• Chuyển đổi đơn vị nếu trong đề bài có nhiều hơn 1 đơn vị.
• Phân tích câu hỏi để chọn được phép tính phù hợp nhất (cộng, trừ, nhân, chia).
• Viết lời giải một cách rõ ràng, có đầy đủ bước tính toán rồi ghi đáp số có kèm theo đơn vị.

Ví dụ 1: Một túi muối nặng 4,5kg, người ta đã lấy đi 2,3kg để ngâm thức ăn. Hỏi còn lại mấy gam muối?

Lời giải:

Ta có: 4,5kg = 4500g; 2,3kg = 2300g.

Số muối còn lại là: 4500g – 2300g = 2200g.

Đáp số: 2200g.

Ví dụ 2: Một chiếc bánh có khối lượng 350g. Nếu Hương mua 5 chiếc bánh như vậy, thì tổng khối lượng bánh là mấy gam?

Lời giải:

Tổng khối lượng bánh mà Hương đã mua là: \[350\times 5=1750\] g

Đáp số: 1750g.

3. Bài tập vận dụng

Sau khi đã nắm chắc toàn bộ kiến thức và phương pháp giải các dạng bài về gam, việc luyện tập thường xuyên cùng với bài tập vận dụng. Điều này sẽ giúp các em củng cố tốt lý thuyết trọng tâm, rèn luyện khả năng tính chính xác và nhanh chóng khi giải quyết những vấn đề có liên quan đến khối lượng. Dưới đây là một vài bài tập đơn giản mà các em có thể thử thực hiện:

Bài tập 1: Quan sát hình và cho biết cân nặng của vật: 

Bài tập 2: Tính:

1. a) 125g + 375g = ?
2. b) 3kg – 1,2kg = ?
3. c) 540g + 2,4kg = ?
4. d) 100g + 5g = ?

Bài tập 3: So sánh: 

1. a) 800g ___ 0,75kg
2. b) 1,1kg ___ 1150g
3. c) 650g ___ 0,65kg
4. d) 2,2kg ___ 2200g

Bài tập 4: Đọc đề và trả lời câu hỏi theo đơn vị gam: 

1. a) Một thùng nước nặng 12kg. Người ta đã đổ ra ngoài 4,5kg nước. Hỏi khối lượng nước có trong thùng?
2. b) Một túi bột nặng mì 450g. Nếu Tuấn mua 6 túi như vậy, thì tổng khối lượng bột Tuấn có là bao nhiêu?
3. c) Một bao gạo nặng 2,8kg. Người ta lại đổ thêm vào 900g gạo. Hỏi bao gạo hiện đang nặng bao nhiêu?
4. d) Một hộp xôi gà nặng 250g. Người mua lại kêu thêm một chiếc đùi gà nặng 100g. Hỏi tổng khối lượng của hộp xôi gà?

Đáp án: 

• Bài tập 1: 450g
• Bài tập 2: a) 500g, b) 1800g, c) 2940g, 105g
• Bài tập 3: a) >, b) <, c) =, d) =. 
• Bài tập 4: a) 7500g, b) 2700g, c) 3700g

Bài viết trên đây là tất tần tật các kiến thức quan trọng về đơn vị đo khối lượng “gam” trong chương trình toán học khối lớp 3 mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Mong rằng qua bài viết, bạn đã có thể tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài toán thường gặp của đơn vị này rồi nhé!

Bài viết [Toán lớp 3] Gam là gì? Phương pháp giải chuẩn các dạng bài thường gặp đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các kiến thức cần nhớ về đơn vị đo nhiệt độ

Trong cuộc sống hằng ngày, nhiệt độ được xem là yếu tố rất quen thuộc, có mặt trong nhiều hoạt động như  y tế, nấu ăn, dự báo thời tiết và trong các thiết bị điện gia dụng như tủ lạnh, điều hòa, máy nước nóng,… Để biết chính xác mức độ lạnh hay nóng của một môi trường nào đó, chúng ta cần phải dùng đến đơn vị đo lường nhiệt độ.

1.1. Đơn vị đo nhiệt độ thường dùng: độ C (đọc là “độ xê”)

Ở cấp tiểu học, đặc biệt trong chương trình toán khối lớp 3, các em học sinh sẽ được làm quen với đơn vị đo lường nhiệt độ phổ biến nhất là độ C, ký hiệu là \[^{\circ}C\]. Ví dụ: \[37^{\circ}C\] (ba mươi bảy độ C) là nhiệt độ trung bình của cơ thể khi con người khỏe mạnh.

Khi ghi nhiệt độ, bạn luôn phải viết số đo trước, sau đó mới điền đến ký hiệu đơn vị: \[5^{\circ}C\], \[25^{\circ}C\], \[7^{\circ}C\],…

Bên cạnh đó, nhiệt độ cũng có thể là số âm:

• Khi nhiệt độ xuống dưới \[0^{\circ}C\], người ta dùng số âm để biểu thị. Ví dụ: \[-5^{\circ}C\], \[-2^{\circ}C\], \[-12^{\circ}C\],…
• Nhiệt độ âm thường diễn ra ở những vùng có khí hậu lạnh giá như Bắc Cực, Nam Cực, vùng núi cao hoặc vào mùa đông ở một số nước (Hàn Quốc, Nhật Bản, Nga,…)

1.2. Nhiệt kế – Dụng cụ đo nhiệt độ

Nhiệt kế được biết đến như một thiết bị có công dụng xác định nhanh và chuẩn mức độ lạnh hay lạnh của một vật nào đó, ở môi trường hoặc cơ thể con người. Trong thực tế, có rất nhiều loại nhiệt kế được sử dụng, chẳng hạn như: nhiệt kế y tế để đo thân nhiệt, nhiệt kế điện tử hiện đại, nhiệt kế thủy ngân truyền thống, nhiệt kế lắp trong tủ lạnh, nhiệt kế ngoài trời,… 

Theo đó, trên mỗi nhiệt kế sẽ có một thang đứng được chia độ rõ ràng, thể hiện theo đơn vị độ C (Celsius). Khi sử dụng, người ta cần nhìn thẳng vào vị trí mà chất lỏng (cồn màu, thủy ngân) hay vạch hiển thị kỹ thuật số chỉ tới trên thang đo để đọc to nhiệt độ chính xác tại thời điểm đó.

2. Các dạng bài tập thường gặp về đơn vị đo nhiệt độ

Trong chương trình toán khối lớp 3, khi học về đơn vị đo nhiệt độ, các em học sinh sẽ gặp nhiều dạng bài khác nhau để hiểu rõ khái niệm cũng như biết cách vận dụng vào thực tế. Tất nhiên, mỗi dạng bài lại sẽ có cách làm riêng và bạn cần luyện tập thường xuyên để làm đúng và nhanh. Dưới đây là những dạng bài tiêu biểu nhất:

2.1. Đọc và ghi lại nhiệt độ

Ở dạng bài này, các em học sinh cần phải quan sát các hình ảnh minh họa về nhiệt kế hoặc những câu mô tả nhiệt độ, sau đó đọc đúng rồi ghi lại nhiệt độ bằng ký hiệu \[^{\circ}C\]. Phương pháp giải chi tiết:

• Bước 1: Quan sát thật kỹ vạch chia có trên thân nhiệt kế. Xác định số độ tương ứng mà vạch thủy ngân (hay vạch đỏ) chỉ tới. Nếu bài không cho hình mà chỉ mô tả bằng lời (ví dụ như: “nhiệt độ buổi sáng ở Tp.Hồ Chí Minh là hai mươi ba độ”), học sinh cần chuyển đổi phần mô tả đó thành ký hiệu đúng (\[23^{\circ}C\]).
• Bước 2: Viết lại đáp án chính xác.

Ví dụ: Nhiệt kế này đang chỉ đúng mấy độ C?

Lời giải: 

Khi nhìn vào nhiệt kế, ta thấy vạch đỏ dừng lại ở vạch 30 => Nhiệt kế đang chỉ \[30^{\circ}C\]

2.2. So sánh các mức nhiệt độ

Thực tế, đây cũng là một trong những dạng bài có độ phổ biến khá cao, thuộc về chuyên đề “đơn vị đo nhiệt độ” trong toán lớp 3. Dạng bài này sẽ yêu cầu học sinh tiến hành so sánh hai hay nhiều mức nhiệt độ khác nhau để xác định đúng cái nào nóng hơn, lạnh hơn hoặc bằng nhau. Phương pháp giải chi tiết:

• So sánh trực tiếp những con số đề cho với cách làm tương tự khi so sánh các số nguyên thông thường.
• Nhiệt độ dương lớn hơn \[0^{\circ}C\], nhiệt độ âm nhỏ hơn \[0^{\circ}C\].
• Trong cùng một nhóm số âm, số nào sở hữu giá trị tuyệt đối lớn hơn thì thực tế lại nhỏ hơn. Ví dụ: \[-10^{\circ}C\] < \[-5^{\circ}C\]

Ví dụ: So sánh: 

1. a) \[25^{\circ}C\] và \[30^{\circ}C\]
2. b) \[-2^{\circ}C\] và \[1^{\circ}C\]
3. c) \[5^{\circ}C\] và \[-1^{\circ}\]

d)\[35^{\circ}C\] và \[56^{\circ}C\]

Lời giải: 

1. a) \[25^{\circ}C\] và \[30^{\circ}C\]

Vì 25 < 30 => \[25^{\circ}C\] < \[30^{\circ}C\] (hay \[30^{\circ}C\] nóng hơn \[25^{\circ}C\]). 

1. b) \[-2^{\circ}C\] và \[1^{\circ}C\]

Vì giá trị tuyệt đối của -2 là 2, mà -2 là số âm nên \[-2^{\circ}C\] < \[1^{\circ}C\] (hay \[-2^{\circ}C\] lạnh hơn \[1^{\circ}C\]).

1. c) \[5^{\circ}C\] và \[-1^{\circ}\]

Vì giá trị tuyệt đối của -1 là 1, mà -1 là số âm nên \[5^{\circ}C\] > \[-1^{\circ}\] (hay \[-1^{\circ}C\] lạnh hơn \[5^{\circ}C\]). 

d)\[35^{\circ}C\] và \[56^{\circ}C\]

Vì 35 < 56 => \[35^{\circ}C\] < \[56^{\circ}C\] (hay \[35^{\circ}C\] ít nóng hơn  \[56^{\circ}C\]). 

2.3. Tính chênh lệch giữa hai mức nhiệt độ

Trong chuyên đề “đơn vị đo nhiệt độ”, đây là một dạng bài toán thường yêu cầu các em học sinh phải tính được mức độ chênh lệch (hay hiệu số) của hai nhiệt độ mà đề cho sẵn. Điều này được hiểu là nhiệt độ sẽ tăng/giảm bao nhiêu độ, tính từ điểm đầu đến điểm sau. Theo đó, phương pháp giải chi tiết như sau:

• Để tính mức thay đổi, lấy nhiệt độ lớn trừ đi nhiệt độ nhỏ.
• Nếu có số âm, bạn cần đặc biệt chú ý đến quy tắc trừ số âm và có thể dùng đến trục số để hình dung trực quan hơn.
• Con số thể hiện độ chênh lệch luôn là số dương.

Ví dụ: Trả lời các câu hỏi sau:

1. a) Buổi sáng nhiệt độ là \[20^{\circ}C\], buổi trưa lại tăng lên \[34^{\circ}C\]. Chênh lệch bao nhiêu độ?
2. b) Nhiệt độ ngoài trời đang hiển thị là \[-5^{\circ}C\], trong nhà lại là \[22^{\circ}C\]. Hỏi chênh lệch giữa hai nơi là bao nhiêu độ?
3. c) Lúc 6 giờ sáng, nhiệt độ là \[15^{\circ}C\]. Đến 9 giờ sáng, nhiệt độ giảm xuống còn \[12^{\circ}C\]. Giảm bao nhiêu độ?

Lời giải: 

1. a) \[34^{\circ}C-20^{\circ}C=14^{\circ}C\]
2. b) \[22^{\circ}C-(-5^{\circ}C)=22^{\circ}C+5^{\circ}C=27^{\circ}C\]
3. c) \[15^{\circ}C-12^{\circ}C=3^{\circ}C\]

2.4. Ước lượng nhiệt độ trong thực tế

Có một số bài kiểm tra liên quan đến đơn vị đo nhiệt độ còn yêu cầu học sinh ước lượng mức nhiệt độ phù hợp với các tình huống cụ thể trong sống thực tế. Dạng bài này sẽ rèn kỹ năng suy đoán hợp lý và kết nối thực tế. Theo đó, phương pháp giải cụ thể là:

• Dựa vào hiểu biết và những trải nghiệm thực tế để đoán nhiệt độ.
• Học sinh có thể ghi nhớ một vài mốc chuẩn như:
  • Nước đá: khoảng \[0^{\circ}C\]
  • Trời nóng mùa hè: \[35-40^{\circ}C\]
  • Thân nhiệt bình thường: khoảng \[37^{\circ}C\]
• Suy luận từ ngữ cảnh: “trời rét run người” thì chắc dưới \[10^{\circ}C\], “trời oi bức” thì trên \[30^{\circ}C\],…

Ví dụ: Khi bị sốt nhẹ, nhiệt độ cơ thể của con người rơi vào khoảng bao nhiêu độ C?

Lời giải: 

Khi sốt nhẹ, nhiệt độ cơ thể khoảng \[38^{\circ}C\]

3. Bài tập vận dụng

Sau khi đã nắm được các dạng bài thường gặp, các em học sinh cần thực hành thật nhiều để củng cố kiến thức. Phần bài tập dưới đây đã được thiết kế theo từng dạng bài mà bạn đã học ở phần trên, giúp các em ôn luyện, vận dụng và kiểm tra nhanh mức độ hiểu bài một cách hiệu quả:

Bài tập 1: Quan sát hình và trả lời câu hỏi:

Hỏi: Nhiệt độ của Việt và Nam mà nhiệt kế thể hiện là bao nhiêu?

Bài tập 2: Thực hiện các yêu cầu sau:

1. a) So sánh \[18^{\circ}C\] và \[25^{\circ}C\]
2. b) So sánh \[-4^{\circ}C\] và \[10^{\circ}C\]
3. c) Trong ba nhiệt độ sau: \[12^{\circ}C\], \[-2^{\circ}C\], \[8^{\circ}C\], nhiệt độ nào thấp nhất?
4. d) Sắp xếp các nhiệt độ sau theo thứ tự từ cao đến thấp: \[0^{\circ}C\] , \[-3^{\circ}C\], \[7^{\circ}C\], \[5^{\circ}C\].

Bài tập 3: Tính độ chênh lệch của những trường hợp sau: 

1. a) Sáng: \[20^{\circ}C\], trưa: \[28^{\circ}C\]
2. b) Ngoài trời: \[-2^{\circ}C\], trong nhà: \[23^{\circ}C\]
3. c) Buổi sáng: \[15^{\circ}C\], buổi tối: \[10^{\circ}C\]
4. d)  Một chiếc máy nước nóng tăng từ \[25^{\circ}C\] lên \[65^{\circ}C\].

Đáp án: 

• Bài tập 1: Nhiệt độ cơ thể của Việt là \[37^{\circ}C\], Nam là \[38^{\circ}C\]
• Bài tập 2: 
  • a) \[18^{\circ}C\] < \[25^{\circ}C\]
  • b) [-4^{\circ}C\] < \[10^{\circ}C\]
  • c) \[-2^{\circ}C\] là thấp nhất
  • d) \[7^{\circ}C>5^{\circ}C>0^{\circ}C>-3^{\circ}C\]
• Bài tập 3: a) \[8^{\circ}C\], b) \[25^{\circ}C\], c) \[5^{\circ}C\], d) \[40^{\circ}C\]

Đơn vị đo nhiệt độ xuất hiện rất nhiều trong toán học và đời sống xung quanh chúng ta, thể hiện chính xác nhiệt độ trong một môi trường hay cơ thể con người. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã nắm được phương pháp giải các dạng bài thường gặp rồi nhé!

Bài viết Đơn vị đo nhiệt độ phổ biến là gì? Một số dạng bài toán thường gặp đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Hướng dẫn cách chia đa thức với đơn thức

Thông thường, phép chia này xuất hiện trong nhiều dạng bài như giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nào đó hay rút gọn biểu thức. Theo đó, để thực hiện đúng và nhanh phép chia đa thức cho đơn thức, bạn cần nắm vững quy tắc cũng như thao tác từng bước một cách cẩn thận.

1.1. Nguyên tắc cơ bản 

Để chia một đa thức cho một đơn thức nào đó, chúng ta cần áp dụng ngay quy tắc chia từng hạng tử của đa thức đã cho với đơn thức đó. Điều này có nghĩa là, mỗi hạng tử (tức mỗi số hạng có chứa thêm biến nằm trong một đa thức) sẽ được đem chia riêng lẻ với đơn thức. Sau đó, ta sẽ tiến hành cộng (hoặc trừ) kết quả lại với nhau để tìm ra kết quả cuối cùng.

Tuy nhiên, để quá trình chia được diễn ra một cách trơn tru, bạn cần phải đảm bảo rằng đơn thức được dùng để chia phải khác 0 (vì chúng ta không được phép chia cho 0 trong toán học). Ngoài ra, các biến cũng như số mũ phải được xử lý theo đúng quy tắc khi chia.

1.2. 3 Bước giải quyết phép chia đa thức với đơn thức

Nếu muốn tính toán phép chia này một cách chuẩn xác, bạn có thể tham khảo việc thực hiện đúng theo các bước sau:

• Bước 1 – Kiểm tra tính hợp lệ của phép chia: Trước tiên, bạn phải chắc chắn rằng đơn thức dùng để chia khác với 0. Nếu đơn thức đã cho là 0 thì phép chia sẽ không xác định và chẳng thể thực hiện.
• Bước 2 – Chia riêng lẻ từng hạng từ: Tiếp theo, bạn hãy lấy từng hạng tử nằm trong đa thức đã cho chia cho đơn thức. Tuy nhiên, mỗi phép chia đều phải được tiến hành như chia hai đơn thức với nhau, trong đó:
  • Hệ số chia cho hệ số.
  • Chia các biến dựa trên quy tắc: \[ x^{a}:x^{b}=x^{a-b}\] (nếu a>b)
  • Trường hợp đơn thức và các hạng tử của đa thức có chứa nhiều biến, ta thực hiện phép chia cho từng biến cùng loại, sau đó mới nhân các kết quả vừa thu được để tạo thành đơn thức mới.
• Bước 3 – Viết kết quả: Sau khi chia xong tất cả các hạng tử, bạn hãy viết lại kết quả dưới dạng một đa thức hoàn toàn mới – đây cũng chính là kết quả cuối cùng của phép chia đa thức cho đơn thức.

2. Các dạng bài tập thường gặp về phép chia đa thức với đơn thức

Khi học về phép chia này, các em học sinh sẽ thường gặp một số dạng bài quen thuộc. Đương nhiên, mỗi dạng đều có phương pháp giải đặc trưng, đòi hỏi người học phải nắm vững quy tắc chia từng hạng tử và xử lý biến số đúng cách. Dưới đây là 3 dạng bài tiêu biểu cùng hướng dẫn cụ thể và ví dụ minh họa mà bạn có thể tham khảo:

2.1. Dạng 1: Thực hiện phép chia 

Có thể nói rằng, đây là dạng cơ bản và trực tiếp nhất, thường xuất hiện đầu tiên trong các bài tập luyện tập về phép chia này. Theo đó, nhiệm vụ chính của bạn là giải phép chia cho trước rồi rút gọn kết quả nếu có thể. Tất nhiên, để giải quyết nhanh dạng bài “Thực hiện phép chia”, bạn chỉ có thể áp dụng đúng hướng dẫn chia đa thức cùng với đơn thức mà chúng tôi đã đề cập chi tiết ở phần trên.

Ví dụ: Thực hiện phép chia: 

1. a) \[\left(3(x-y)^{2}-2(x-y)^{3}\right):(x-y)^{2}\]
2. b) \[\left(2(x+y)^{3}+(x^{2}+y^{2}+2xy)\right):(x+y)\]
3. c) \[\left(\left(18x^{4}y^{3}-24x^{3}y^{4}+12x^{3}y^{3}\right)\right):(3x^{2}y^{3})\]
4. d) \[\left[4(x-y)^{5}+2(x-y)^{3}-3(x-y)^{2}\right]:(x-y)^{2}\]

Lời giải: 

1. a) \[\left(3(x-y)^{2}-2(x-y)^{3}\right):(x-y)^{2}\]

\[=3(x-y)^{2}:(y-x)^{2}-2(x-y)^{3}:(x-y)^{2}\]

\[=3-2(x-y)\]

1. b) \[\left(2(x+y)^{3}+(x^{2}+y^{2}+2xy)\right):(x+y)\]

\[=\left(2(x+y)^{3}+(x+y)^{2}\right):(x+y)\]

\[=2(x+y)^{3}:(x+y)+(x+y)^{2}:(x+y)\]

\[=2(x+y)^{2}:(x+y)\]

1. c) \[\left(\left(18x^{4}y^{3}-24x^{3}y^{4}+12x^{3}y^{3}\right)\right):(3x^{2}y^{3})\]

\[=18x^{4}y^{3}:(3x^{2}y^{3})-24x^{3}y^{4}:(3x^{2}y^{3})+12x^{3}y^{3}:(3x^{2}y^{3})\]

\[=6x^{2}-8xy+4x\]

1. d) \[\left[4(x-y)^{5}+2(x-y)^{3}-3(x-y)^{2}\right]:(x-y)^{2}\]

\[=4(x-y)^{5}:(x-y)^{2}+2(x-y)^{3}:(x-y)^{2}-3(x-y)^{2}:(x-y)^{2}\]

\[=4(x-y)^{3}+2(x-y)-3\]

2.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Khi nhắc đến chuyên đề toán “chia đa thức với đơn thức“, sẽ thật thiếu sót nếu ta bỏ qua dạng toán rút gọn biểu thức. Đối với dạng bài này, phép chia được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp, nhằm đưa về dạng ngắn gọn hơn. Tất nhiên, bạn cũng cần dùng đến kiến thức về cách chia đa thức cho một đơn thức khi giải bài tập.

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau: 

1. a) \[A=\frac{8x^{3}y-4x^{2}y^{2}+12xy}{4xy}\]
2. b) \[B=\frac{15a^{4}b-30a^{3}b^{2}+45a^{2}b^{3}}{15a^{2}b}\]
3. c) \[C=\frac{6x^{2}-12x+18}{3}\]
4. d) \[D=\frac{10mn^{2}-20m^{2}n+30n^{3}}{5n}\]

Lời giải:

2.3. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Ngoài những dạng bài ở trên, tính giá trị của biểu thức cũng khá phổ biến. Theo đó, kiểu bài tập thế này đòi hỏi người làm phải biết cách kết hợp cả kỹ năng chia đa thức với đơn thức và thay số. Phương pháp chi tiết:

• Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức đúng theo các bước đã học ở phần 1.
• Bước 2: Sau khi chia xong, thay giá trị đã cho của biến vào trong biểu thức kết quả.
• Bước 3: Tính toán cẩn thận để tìm ra đáp án chuẩn xác. Khi làm bài, bạn hãy nhớ áp dụng đúng quy tắc thứ tự thực hiện phép tính để không bị sai.

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau: 

2. a) E = \[\left(6x^{3}-3x^{2}+9x\right):3x\] với x = 2.
3. b) \[F=\left(10a^{2}-5a\right):5a\] với a = 1.
4. c) \[G=(15x^{2}y-6xy):3xy\] với x = 1, y = 2. 
5. d) \[H=(12m^{3}n^{2}-6m^{2}n^{3}):6mn\] với m = 2, n = 1.

Lời giải: 

1. a) \[E=\left(6x^{3}-3x^{2}+9x\right):3x\]

\[=6x^{3}:3x-3x^{2}:3x+9x:3x\]

\[=2x^{2}-x+3\]

Thay x = 2 vào biểu thức \[=2x^{2}-x+3\], ta được: 8 – 2 + 3 = 9

1. b) \[F=\left(10a^{2}-5a\right):5a\] 

\[=10a^{2}:5a-5a:5a\]

\[=5a-1\]

Thay a = 1 vào biểu thức \[=5a-1\], ta được: 2.(1) – 1 = 1

1. c) \[G=(15x^{2}y-6xy):3xy\]

\[=15x^{2}y:3xy-6xy:3xy \]

\[=5x-2\]

Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức \[=5x-2\], ta được: 5.(1) – 2 = 3

1. d) \[H=(12m^{3}n^{2}-6m^{2}n^{3}):6mn\]

\[12m^{3}n^{2}:6mn-6m^{2}n^{3}:6mn\]

\[2m^{2}n-mn^{2}\]

Thay m = 2, n = 1 vào biểu thức \[2m^{2}n-mn^{2}\], ta được: \[2.2^{2}.1-2.1^{2}=8-2=6\]

3. Bài tập vận dụng

Sau khi đã nắm vững phần lý thuyết, bạn có thể thử thực hành một số bài tập vận dụng để củng cố kiến thức:

Bài tập 1: Thực hiện phép chia: 

1. a) \[4(x+3y)^{3}:(3x+9y)\]
2. b) \[\left(x^{^{3}}+27y^{3}\right):(3y+x)\]
3. c) \[\left(2xy^{3}+4x^{2}y^{2}\right):xy\]
4. d) \[\left(3x^{2}y^{2}-x^{3}y^{2}+5x^{2}y\right):\frac{xy}{2}\]

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: 

1. a) \[\frac{4x^{3}+8x^{2}}{2x}\]
2. b) \[\frac{18a^{2}b-12ab^{2}+6b^{3}}{6b}\]
3. c) \[\frac{10x^{4}y^{2}-5x^{3}y+15x^{2}y^{3}}{5xy}\]
4. d) \[\frac{9m^{2}n^{3}-6mn^{2}+3n}{3n}\]

Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức: 

1. a) Cho x = 2, tính \[\left(4x^{2}+8x\right):2x\]
2. b) Cho a = -1, b = 2, tính \[\left(6a^{2}b-12ab^{2}+18b^{3}\right):6b\]
3. c) Cho x = 1, y = 3, tính \[\left(9x^{2}y-18xy^{2}+27y^{3}\right):3y\]
4. d) Cho m = 2, n = -1, tính \[\left(16mn^{2}-8m^{2}n+24n^{3}\right):4n\]

Đáp án: 

• Bài tập 1: 
  • a) \[\frac{4}{3}(x+3y)^{2}\]
  • b) \[x^{2}-3xy+9y^{2}\]
  • c) \[2y^{2}+4xy\]
  • d) \[6xy-2x^{2}y+10x\]
• Bài tập 2: 
  • a) \[2x^{2}+4x\]
  • b) \[3ab-2a+b^{2}\]
  • c) \[2x^{3}y-x^{2}+3xy^{2}\]
  • d) \[3mn^{2}-2m+1\]
• Bài tập 3: a) 8, b) 17, c) 66, d) -10. 

Chia đa thức với đơn thức là một trong những kỹ năng đặc biệt cần thiết để các em học sinh tiếp cận dễ dàng với nhiều dạng bài tập phức tạp hơn. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã thành thạo phương pháp giải nhanh và chuẩn xác phép chia này rồi nhé!

Bài viết Chia đa thức với đơn thức: Hướng dẫn tính đúng và bài tập vận dụng đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các dạng bài tập thường gặp của phép chia cho số có một chữ số

Đây được xem là một kỹ năng cần thiết mà các em học sinh tiểu học bắt buộc phải thành thạo. Mặc dù chỉ là kiến thức cơ bản, nhưng nếu hiểu rõ và nắm vững những dạng bài tập liên quan, bạn sẽ giải quyết được hầu hết những bài toán của phép chia. Dưới đây là 4 dạng bài có độ phổ biến nhất, thường xuyên xuất hiện trong sách giáo khoa và bài kiểm tra:

1.1. Đặt tính rồi tính

Có thể nói rằng, đây là dạng bài phù hợp nhất để giúp học sinh rèn luyện tốt kỹ năng tính toán cẩn thận và ghi nhớ quy trình của phép chia theo từng bước cụ thể. Theo đó, quy tắc cơ bản nhất khi thực hiện việc đặt tính rồi tính cho phép chia cho số có một chữ số là: chia từng chữ số đúng theo thứ tự từ trái sang phải, sau đó nhân và trừ, rồi tiếp tục hạ chữ số kế tiếp cho đến khi hết số bị chia.

Để giải dạng bài “đặt tính rồi tính”, bạn chỉ cần thực hiện lần lượt theo các bước sau:

• Bước 1: Đặt tính theo cột dọc: Viết số bị chia bên trong dấu chia (phía bên trái), số chia viết bên ngoài (phía bên phải)
• Bước 2: Chia lần lượt từng phần từ trái sang phải của số bị chia, cụ thể là:
  • Lấy phần đầu tiên đủ lớn để chia cho số chia.
  • Thực hiện phép chia, viết thương lên trên.
  • Nhân thương vừa tìm được với số chia, viết tích ngay bên dưới.
  • Trừ để tìm ra số dư, sau đó lại hạ một chữ số tiếp theo xuống.
• Bước 3: Lặp lại quy trình chia – nhân – trừ – hạ cho đến khi hết toàn bộ các chữ số.
• Bước 4: Viết kết quả cuối cùng.

Mẹo nhỏ khi làm bài: Bạn nên nhẩm kỹ và viết từng bước rõ ràng nhất có thể để tránh sai sót.

Ví dụ: Đặt tính rồi tính: 

1. a) 597568 : 8
2. b) 32145 : 5
3. c) 10476 : 6
4. d) 83724 : 3 

Lời giải:

1.2. Tìm x trong phép chia cho số có một chữ số

Dạng bài “tìm x” vẫn luôn xuất hiện trong các bài toán có liên quan đến phép chia. Mục tiêu của bài toán là xác định đúng giá trị thực sự của số chưa biết sao cho phép tính đề cho trở thành một đẳng thức đúng. Việc thực hành bài tập này sẽ giúp các em học sinh có thể phát triển được lối tư duy ngược, đồng thời củng cố tốt kiến thức về mối liên hệ giữa các phép tính.

Để giải quyết dạng bài này, bạn cần xác định đúng vị trí của “x” trong biểu thức đã cho và vận dụng một vài kiến thức sau: 

• Nếu \[x\div a=b\], thì \[x=a\times b\]
• Nếu \[a\div x=b\], thì \[x=a\div b\]
• Nếu \[a\div b=x\], thì ta chỉ cần thực hiện phép chia như thông thường. 

Theo đó, các bước thực hiện là: 

• Bước 1: Xác định nhanh và chuẩn vị trí của “x” (hay “x” nằm ở đâu trong biểu thức). 
• Bước 2: Dựa vào tính chất của phép chia để thực hiện việc biến đổi biểu thức. 
• Bước 3: Thực hiện phép tính cẩn thận để tính ra giá trị của “x”. 
• Bước 4: Kiểm tra độ chính xác của kết quả bằng cách thay ngược lại vào biểu thức ban đầu.

Ví dụ: Tìm x, biết: 

1. a) x : 6 = 24
2. b) x : 7 = 93
3. c) 240 : x = 6
4. d) x : 9 = 58, dư 4

Lời giải: 

1. a) x : 6 = 24

\[x:6=24\Rightarrow x=24\times 6=252\]. Vậy x = 252.

1. b) x : 7 = 93

\[x:7=93\Rightarrow x=93\times 7=651\]. Vậy x = 651. 

1. c) 240 : x = 6

\[240:x=6\Rightarrow x=240:6=40\]. Vậy x = 40

1. d) x : 9 = 58, dư 4

\[x:9=58\Rightarrow x=58\times 9+4=522+4=526\]. Vậy x = 526.

1.3. So sánh

Khi nhắc đến phép chia cho số có một chữ số, sẽ là một thiếu sót nghiêm trọng khi không nói đến dạng bài toán so sánh. Đây là dạng bài đòi hỏi các em học sinh phải biết cách vận dụng kiến thức về giá trị của phép chia để tiến hành so sánh 2 biểu thức hay 2 kết quả cụ thể. Việc thực hành cùng kiểu bài thế này cũng sẽ giúp bạn hình hành được tuy duy phân tích và logic toán học đấy.

Theo đó, để giải bài tập so sánh có phép chia, bạn chỉ cần thực hiện đúng trình tự các bước sau:

• Bước 1: Tính nhanh và chuẩn xác kết quả của từng biểu thức có phép chia mà đề cho. 
• Bước 2: Tiến hành việc so sánh kết quả rồi điền các dấu: >, < hoặc =.
• Bước 3: Viết kết luận rõ ràng.

Lưu ý rằng, bạn không nên chỉ nhìn vào mỗi số chia hay số bị chia để đoán đáp án mà phải thực hiện toàn bộ phép chia cụ thể để đảm bảo độ chính xác.

Ví dụ: So sánh những biểu thức sau:

1. a) 154 : 7 và 152 : 8
2. b) 135 : 5 và 130 : 4
3. c) 215 : 7 và 213 : 6
4. d) 390 : 6 và 420 : 5

Lời giải: 

1. a) 154 : 7 và 152 : 8

Ta có: 154 : 7 = 22 dư 0 và 52 : 8 = 19 => Vì 22 > 19 => 154 : 7 > 152 : 8

1. b) 135 : 5 và 130 : 4

Ta có: 135 : 5 = 27 và 130 : 4 = 32 dư 2 => Vì 32 dư 2 > 27 ⇒ 130 : 4 > 135 : 5

1. c) 215 : 7 và 213 : 6

Ta có: 215 : 7 = 30 dư 5 và 213 : 6 = 35 dư 3 => Vì 30 < 35 => 215 : 7 < 213 : 6

1. d) 390 : 6 và 420 : 5

T có: 390 : 6 = 65 và 420 : 5 = 84 => Vì 65 < 84 => 390 : 6 < 420 : 5

1.4. Bài toán có lời văn trong phép chia cho số có một chữ số

Khác với các dạng bài tính toán thuần túy ở phần trên, bài toán có lời văn lại mang tính ứng dụng rất cao trong đời sống hằng ngày. Khi gặp phải dạng bài thế này, học sinh không chỉ thực hiện phép chia, mà còn cần phải đọc kỹ đề, hiểu rõ yêu cầu, xác định nhanh dữ kiện cho trước và chọn cách giải đúng đắn.

Tuy nhiên, nhờ việc luyện tập dạng bài toán có lời đều đặn, các em sẽ rèn luyện được khả năng suy luận, phân tích và liên hệ thực tiễn – một trong những kỹ năng đặc biệt quan trọng trong học toán và đời sống. Phương pháp giải chi tiết:

• Bước 1: Đọc thật kỹ đề bài đã cho để hiểu rõ yêu cầu.
• Bước 2: Xác định chuẩn xác số bị chia (hay tổng số lượng) và số chia (số phần được chia đều hay số đơn vị).
• Bước 3: Thực hiện cẩn thận phép chia để tìm ra kết quả cuối cùng.
• Bước 4: Trả lời đầy đủ, và chi tiết đúng theo yêu cầu của bài, hãy chú ý thêm phần đơn vị.

Ví dụ: Một cửa hàng bán bánh tên A trên đường Đông Tây có 96 chiếc bánh cupcake và được thợ chia đều vào 8 hộp. Hỏi mỗi hộp sẽ có mấy chiếc bánh?

Lời giải: 

Số chiếc bánh trong mỗi hộp là:

96 : 8 = 12 (chiếc)

Đáp số: 12 chiếc bánh

2. Bài tập vận dụng

Sau khi đã nắm vững toàn bộ lý thuyết cũng như các dạng bài cơ bản, bạn cần phải luyện tập cùng với một vài bài tập vận dụng để củng cố kiến thức và ghi nhớ rõ quy trình chia số cho số có một chữ số. Dưới đây là những bài tập đơn giản về chuyên đề này mà bạn có thể thực hành thử:

Bài tập 1: Đặt tính rồi tính: 

1. a) 284 : 4
2. b) 567 : 3
3. c) 928 : 8
4. d) 745 : 5

Bài tập 2: Tìm x, biết: 

1. a) x : 7 = 9
2. b) 54 : x = 6
3. c) x : 6 = 10
4. d) 81 : 9 = x

Bài tập 3: So sánh: 

1. a) 72 : 9 ___ 63 : 7
2. b) 48 : 6 ___ 54 : 9
3. c) 36 : 4 ___ 28 : 7
4. d) 42 : 6 ___ 45 : 5

Bài tập 4: Đọc đề bài và trả lời những câu hỏi sau: 

1. a) Lớp 7a1 ở trường THCS K có 56 bạn học sinh, tất cả được chia đều thành 7 tổ. Hỏi mỗi tổ có mấy bạn?
2. b) Cô giáo trường mầm non A có tổng cộng 72 quyển truyện, sau đó cô chia đều chúng cho 8 học sinh. Hỏi mỗi học sinh sẽ nhận được mấy quyển?

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 71, b) 189, c) 116, d) 149. 
• Bài tập 2: a) 63, b) 9, c) 60, d) 9. 
• Bài tập 3: a) <, b) >, c) >, d) <. 
• Bài tập  4: a) 8 bạn, b) 9 quyển. 

Trên đây là tất tần tật các dạng bài toán thường gặp về phép chia cho số có một chữ số trong chương trình toán khối tiểu học. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã nắm vững phương pháp giải chuẩn chỉnh cho các dạng toán liên quan đến phép chia này rồi nhé!

Bài viết Một vài dạng bài thường gặp của phép chia cho số có một chữ số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa phép nhân số nguyên

Trước khi tìm hiểu cách nhân số nguyên, bạn cần nắm rõ thế nào là số nguyên. Theo đó, số nguyên bao gồm:

• Số nguyên dương: 1, 2, 3,…
• Số nguyên âm: -1, -2, -3, …
• Số 0

Phép nhân số nguyên là phép toán giữa hai số nguyên, kết quả vẫn là một số nguyên.

Lý thuyết và quy tắc dấu trong phép nhân số nguyên

Quy tắc dấu

Khi thực hiện phép nhân hai số nguyên, điều đầu tiên cần ghi nhớ là quy tắc về dấu. Việc nhân hai số không chỉ đơn thuần là nhân giá trị tuyệt đối, mà còn phải xét đến dấu của từng số. Quy tắc dấu học sinh cần nằm lòng như sau:

• Khi nhân hai số cùng dấu (cả hai đều dương hoặc cả hai đều âm) thì kết quả luôn là số dương.
  Ví dụ: \[ (+4) \times (+3) = +12 hay (-4) \times (-3) = +12\]
• Khi nhân hai số trái dấu (một dương, một âm) thì kết quả là số âm.
  Ví dụ: \[(+5) \times (-2) = -10 hay  (-6) \times (+3) = -18\]
• Bất kỳ số nguyên nào nhân với 0 đều cho kết quả bằng 0.
  Ví dụ: \[0 \times (-7) = 0\]

Công thức tổng quát

Không có quá nhiều công thức phức tạp trong phép nhân số nguyên. Tuy nhiên, có một vài tính chất bạn cần ghi nhớ để tính nhanh, rút gọn biểu thức hoặc biến đổi linh hoạt trong bài toán:

• Giao hoán: \[ a \times b = b \times a\]
• Kết hợp: \[(a \times b) \times c = a \times (b \times c)\]
• Phân phối với phép cộng: \[a \times (b + c) = a \times b + a \times c\]
• Nhân với 0: \[a \times 0 = 0\]

Các dạng toán thường gặp

Dưới đây là các dạng bài thường gặp khi học về phép nhân số nguyên, .ỗi dạng bài đều có hướng dẫn và ví dụ minh họa. Học sinh nên nắm chắc từng dạng để áp dụng linh hoạt trong đề kiểm tra và học nâng cao sau này  nhé.

Dạng 1: Tính toán cơ bản

Chúng ta sẽ nhân trực tiếp theo quy tắc dấu và bảng cửu chương, không cần biến đổi.

Ví dụ: 

\[(-7) \times 5 = -35\]

\[(-6) \times (-3) = 18\]

Dạng 2: Tính biểu thức có nhiều số nguyên

Với dạng này chúng ta sẽ áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các số cùng dấu lại, giúp dễ tính hơn.

Ví dụ: \[(-2) \times (-3) \times 4 = 6 \times 4 = 24\]

Dạng 3: Tìm x trong phép nhân

Dạng này học sinh sử dụng phép chia để tìm ẩn, lưu ý đổi dấu khi chuyển vế.

Ví dụ: Tìm x biết 

\[x \times (-3) = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{-3} = -4\]

Dạng 4: Toán thực tế

Vận dụng phép nhân số nguyên trong các tình huống thực tế như lời lỗ, thay đổi nhiệt độ, khoảng cách… Học sinh cần phân định được các yếu tố áp dụng phép tính phù hợp.

Ví dụ: Một thợ lặn đang ở độ sâu 6m sau 3 phút lặn xuống thêm 2m mỗi phút. Hỏi anh ta ở độ sâu bao nhiêu?

Giải:\[6 + 3 \times (-2) = 6 – 6 = 0\]  mét

Bài tập luyện tập có lời giải

Sau khi đã nắm rõ lý thuyết và các dạng bài cơ bản về phép nhân số nguyên, việc luyện tập với các bài toán thực tế là điều không thể thiếu. Những bài tập sau đây được phân loại từ cơ bản đến nâng cao sẽ  giúp bạn từng bước  nâng cao kỹ năng của mình:

Bài tập cơ bản 

Bài 1: Tính: \[(-5) \times 7\]
Giải: \[-5 \times 7 = -35\]

Bài 2: Tính:\[ (-8) \times (-2)\]
Giải \[-8 \times -2 = 16\]

Bài 3: Tính: \[(-4) \times 0\]
Giải:\[ -4 \times 0 = 0\]

Bài 4: Tính \[2 \times (-3) \times (-5)\]
Giải: \[2 \times (-3) = -6 \Rightarrow -6 \times (-5) = 30\]

Bài 5: Tính giá trị biểu thức \[A = (-1) \times 2 + (-3) \times 4\]

Giải: \[A = -2 + (-12) = -14\]

Bài 6: Tìm x biết \[x \times (-2) = 10\]

Giải: \[x = \frac{10}{-2} = -5\]

Bài 7: Một kho hàng bị giảm 10 sản phẩm mỗi ngày trong 4 ngày. Hỏi kho mất bao nhiêu sản phẩm?

Giải: \[-10 \times 4 = -40 . Vậy kho mất 40 sản phẩm

Bài 8: Tính giá trị biểu thức: \[B = (-2)^3 + (-4) \times (-5)\]

Giải: \[(-2)^3 = -8, -4 \times -5 = 20 \Rightarrow B = -8 + 20 = 12\]

Bài 9: Tính \[ (-1) \times 2 \times (-3) \times 4 \times (-5)\]

Giải: \[(-1 \times 2 = -2) \Rightarrow -2 \times -3 = 6) \Rightarrow (6 \times 4 = 24) \Rightarrow (24 \times -5 = -120)\]

Bài 10: Tìm x biết: \[(-3x) \times (-2) = -18\]

Giải: \[-3x \times -2 = 6x \Rightarrow 6x = -18 \Rightarrow x = -3\]

Bài 11: Một người gửi ngân hàng 5 tháng, mỗi tháng bị trừ 2.000 đồng phí duy trì tài khoản. Hỏi sau 5 tháng người đó bị trừ bao nhiêu?

Giải: \[-2000 \times 5 = -10000\]

Vậy sau 5 tháng người đó bị trừ 10.000đ

Bài 12: Tìm x biết: \[(x – 2) \times (-3) = 9\]

Giải: \[(x – 2) = \frac{9}{-3} = -3 \Rightarrow x = -1\]

Bài 13: Một vật rơi tự do với tốc độ giảm 4m/s mỗi giây. Sau 6 giây, tốc độ giảm bao nhiêu?

Giải: \[-4 \times 6 = -24\] => Giảm 24 m/s 

Bài 14: Tìm giá trị biểu thức: \[(-2)^2 + (-3)^2 + (-4)^2\]

Giải: \[4+9+16=294 + 9 + 16 = 29\]

Bài tập nâng cao

Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:

\[A = (-3)^3 + 2 \times (-4)^2 – (-2)^4\]

Lời giải:

\[(-3)^3 = -27\] vì số âm mũ lẻ giữ nguyên dấu âm

\[(-4)^2 = 16\] vì mũ chẵn nên kết quả dương

\[(-2)^4 = 16\] 

Vậy \[A = -27 + 2 \times 16 – 16 = -27 + 32 – 16 = -11\]

Bài 2: Tìm số nguyên x sao cho: \[(-2)^x = -64\]

Lời giải:
Vì \[(-2)^x = -64, ta xét:

\[(-2)^1 = -2,\quad (-2)^2 = 4,\quad (-2)^3 = -8,\quad (-2)^4 = 16,\quad (-2)^5 = -32,\quad (-2)^6 = 64,\quad (-2)^7 = -128 \]

Không có giá trị nào bằng -64, vậy không tồn tại số nguyên x thỏa mãn.

Bài 3: Một dãy gồm 6 số nguyên liên tiếp, bắt đầu từ -3. Tính tích của tất cả các số trong dãy đó.

Lời giải:
Dãy là: -3, -2, -1, 0, 1, 2
Có số 0, nên tích: \[(-3) \times (-2) \times (-1) \times 0 \times 1 \times 2 = 0\]

Bài 4: Tìm giá trị của biểu thức:\[ B = [(-2)^3 – (-3)^2] \times (-1)\]

Lời giải:

\[(-2)^3 = -8\]

\[ (-3)^2 = 9 \]

\[B = (-8 – 9) \times (-1) = (-17) \times (-1) = 17\]

 Bài 5: Một biểu thức có 8 số nguyên âm liên tiếp nhân với nhau. Kết quả sẽ là số âm hay dương?

Lời giải:
Vì có 8 số âm, số lượng số âm chẵn nên: 

\[(-a_1) \times (-a_2) \times \dots \times (-a_8) = số dương\]

Lời kết

Phép nhân số nguyên không chỉ là một phần kiến thức nhỏ, mà còn là nền tảng cho toán học bậc cao hơn như đại số, phương trình, hàm số. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ lý thuyết, các dạng bài và áp dụng thành thạo nhé!

Bài viết Phép nhân số nguyên – Lý thuyết và hướng dẫn giải các dạng bài tập đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa và lý thuyết cơ bản

Hệ phương trình là gì?

Khi một bài toán liên quan đến hai hay nhiều đại lượng, ta có thể thiết lập những phương trình riêng biệt biểu diễn từng mối quan hệ. Tập hợp các phương trình đó gọi là hệ phương trình. Mỗi ẩn số trong hệ đại diện cho một đại lượng chưa biết, và ta cần giải hệ đó để tìm giá trị của các ẩn.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình có dạng:

\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\]

với \[a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\] là các hằng số.

Phương pháp giải hệ phương trình

Có hai cách phổ biến để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, cụ thể như sau:

• Thế: Tìm biểu thức của một ẩn theo ẩn kia trong một phương trình, rồi thế vào phương trình còn lại.
• Cộng đại số: Nhân hai phương trình để triệt một ẩn rồi cộng hoặc trừ hai phương trình.

Kết quả hệ sẽ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm tùy vào mối quan hệ giữa hai phương trình.

Các dạng bài toán thường gặp

Với giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, một số dạng toán mà bạn thường gặp như sau:

Dạng 1: Bài toán về năng suất, công việc

Đây là dạng bài rất phổ biến trong thực tế như hai người cùng làm một công việc, thời gian làm việc, hay lượng công việc hoàn thành trong một thời gian nhất định. Hệ phương trình giúp biểu diễn năng suất làm việc của từng người và tổng lượng công việc.

Ví dụ: Hai người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất làm xong trong 6 giờ, người thứ hai làm trong 4 giờ. Hỏi nếu làm chung thì sau bao lâu xong việc?

Lời giải:

• Gọi thời gian làm chung là t (giờ), năng suất người 1 là \[\frac{1}{6}\], người 2 là  \[\frac{1}{4}\], năng suất chung là \[\frac{1}{t}\]
• Ta có: \[\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{t} \Rightarrow \frac{5}{12} = \frac{1}{t} \Rightarrow t = \frac{12}{5} = 2.4 giờ.\]

Dạng 2: Bài toán về chuyển động (quãng đường – vận tốc – thời gian)

Những bài toán chuyển động có hai vật chuyển động ngược chiều, cùng chiều hoặc đuổi nhau thường dùng hệ phương trình để biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường.

Ví dụ: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành từ hai địa điểm cách nhau 90 km, đi ngược chiều nhau. Sau 3 giờ thì gặp nhau, biết vận tốc người thứ nhất hơn người thứ hai 5 km/h. Tìm vận tốc mỗi người.

Lời giải:

• Gọi vận tốc người thứ nhất là x (km/h), người thứ hai là y (km/h)
• Ta có: \[\begin{cases} x + y = \frac{90}{3} = 30 \\ x = y + 5 \end{cases} 

\Rightarrow \begin{cases} x + y = 30 \\ x – y = 5 \end{cases}\]

• Cộng hai phương trình:

\[2x = 35 \Rightarrow x = 17.5 \Rightarrow y = 12.5\]

• Vậy vận tốc người thứ nhất là 17.5 km/h, người thứ hai là 12.5 km/h

Dạng 3: Bài toán về tuổi

Những bài toán về tuổi thường có các thông tin liên quan đến hiện tại, quá khứ hoặc tương lai. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình giúp ta đặt ẩn và lập được mối quan hệ về tuổi theo thời gian.

Ví dụ: Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. 5 năm trước, tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi?

Lời giải:

• Gọi tuổi con hiện nay là x, mẹ là 3x
• 5 năm trước: \[3x – 5 = 5(x – 5) \Rightarrow 3x – 5 = 5x – 25 \Rightarrow -2x = -20 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow 3x = 30\]
•  Vậy con 10 tuổi, mẹ 30 tuổi

Bài tập giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Để nắm vững cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, việc luyện tập thật nhiều bài tập đa dạng là điều cần thiết. Bên dưới là các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện hiệu quả nhé:

Bài tập cơ bản

Bài 1: Trong chuồng có tất cả 36 con gà và chó. Đếm được 100 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

Lời giải:

• Gọi số con gà là x, số con chó là y.
  Ta có hệ: \[\begin{cases} x + y = 36 \\ 2x + 4y = 100 \end{cases}\]
  Từ phương trình (1): \[y = 36 – x\]
• Thay vào (2): \[2x + 4(36 – x) = 100 \\ 2x + 144 – 4x = 100 \\ -2x = -44 \Rightarrow x = 22 \Rightarrow y = 14\]
• Đáp án: 22 con gà, 14 con chó

Bài 2: Mua 3 gói bánh và 2 gói kẹo hết 27.000 đồng. Mua 2 gói bánh và 4 gói kẹo hết 28.000 đồng. Hỏi giá mỗi gói bánh và mỗi gói kẹo.

Lời giải:

• Gọi giá một gói bánh là x đồng, gói kẹo là y đồng: \[\begin{cases} 3x + 2y = 27000 \\ 2x + 4y = 28000 \end{cases}\]
  Nhân (1) với 2: \[6x + 4y = 54000\]

Trừ (2): \[6x + 4y – (2x + 4y) = 54000 – 28000 \Rightarrow 4x = 26000 \Rightarrow x = 6500\]

• Thay vào (1): \[3\cdot6500 + 2y = 27000 \Rightarrow 19500 + 2y = 27000 \Rightarrow 2y = 7500 \Rightarrow y = 3750\]
• Đáp án: Bánh: 6.500 đồng, kẹo: 3.750 đồng

Bài 3: Hai năm trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Hai năm nữa, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

Lời giải:

• Gọi tuổi hiện tại của mẹ là x, con là y: \[\begin{cases} x – 2 = 4(y – 2) \\ x + 2 = 3(y + 2) \end{cases}\]
  Từ (1): \[x – 2 = 4y – 8 \Rightarrow x = 4y – 6\]

Thay vào (2): \[4y – 6 + 2 = 3(y + 2) \Rightarrow 4y – 4 = 3y + 6 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow x = 4\cdot10 – 6 = 34\]

• Đáp án: Mẹ: 34 tuổi, Con: 10 tuổi

Bài 4: Trong thư viện có 120 quyển sách Toán và Văn. Số sách Văn nhiều hơn số sách Toán 24 quyển. Hỏi có bao nhiêu sách mỗi loại?

Lời giải:

• Gọi số sách Toán là x, Văn là y

\[\begin{cases} x + y = 120 \\ y = x + 24 \end{cases} \Rightarrow x + (x + 24) = 120 \Rightarrow 2x = 96 \Rightarrow x = 48, y = 72\]

• Đáp án: 48 sách Toán, 72 sách Văn

Bài 5: Một người có tất cả 20 đồng tiền gồm loại 2.000 đồng và 5.000 đồng. Tổng số tiền là 70.000 đồng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu đồng?

Lời giải:

• Gọi số đồng 2.000 là x, 5.000 là y: \[\begin{cases} x + y = 20 \\ 2000x + 5000y = 70000 \end{cases}\]

Từ (1): \[y = 20 – x\]

Thay vào (2):

\[2000x + 5000(20 – x) = 70000 \Rightarrow 2000x + 100000 – 5000x = 70000 \Rightarrow -3000x = -30000 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow y = 10\]

Đáp án: 10 đồng 2.000, 10 đồng 5.000

Bài tập nâng cao

Bài 1: Lãi suất ngân hàng

Một người gửi 2 khoản tiền vào hai ngân hàng khác nhau. Khoản thứ nhất gửi với lãi suất 0,6%/tháng, khoản thứ hai là 0,8%/tháng. Sau 1 tháng, tổng tiền lãi từ cả hai khoản là 780.000 đồng. Biết rằng tổng số tiền ban đầu là 120 triệu đồng, hỏi mỗi khoản gửi bao nhiêu tiền?
Gọi:

• x: số tiền (triệu đồng) gửi vào ngân hàng lãi suất 0,6%
• y: số tiền (triệu đồng) gửi vào ngân hàng lãi suất 0,8%

Ta có hệ phương trình:

\[\begin{cases} x + y = 120 \\ 0.006x + 0.008y = 0.78 \end{cases}\]

Nhân phương trình thứ hai với 1000 để dễ tính:

\[\begin{cases} x + y = 120 \\ 6x + 8y = 780 \end{cases}\]

Giải hệ:

• Từ pt1: \[y = 120 – x\]
• Thay vào pt2:
  \[ 6x + 8(120 – x) = 780 \Rightarrow 6x + 960 – 8x = 780 \Rightarrow -2x = -180 \Rightarrow x = 90 \Rightarrow y = 30\]

Đáp án: Gửi 90 triệu vào ngân hàng lãi 0,6%, 30 triệu vào ngân hàng lãi 0,8%

Bài 2: Hình học ứng dụng – chu vi và diện tích hình chữ nhật

Một hình chữ nhật có chu vi là 64 cm, nếu tăng chiều dài lên 4 cm và giảm chiều rộng 2 cm thì diện tích không đổi. Tính kích thước ban đầu của hình chữ nhật.
Gọi:

• x: chiều dài (cm)
• y: chiều rộng (cm)

Ta có:

\[\begin{cases} 2(x + y) = 64 \\ x \cdot y = (x + 4)(y – 2) \end{cases}\]

Rút gọn pt1: \[x + y = 32 \Rightarrow y = 32 – x\]

Thay vào pt2: \[x(32 – x) = (x + 4)(30 – x) \Rightarrow 32x – x^2 = (x + 4)(30 – x)\]

Khai triển và giải:

\[32x – x^2 = 30x + 120 – x^2 – 4x \Rightarrow 32x – x^2 = 26x + 120 – x^2 \Rightarrow 6x = 120 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow y = 12\]

Đáp án: Chiều dài 20 cm, chiều rộng 12 cm.

Bài 3: Tốc độ dòng chảy

Một chiếc ca nô đi xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ, quay ngược dòng về mất 5 giờ. Quãng đường AB là 72 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước.
Gọi:

• x: vận tốc ca nô khi nước yên lặng (km/h)
• y: vận tốc dòng nước (km/h)

Ta có:

• Xuôi dòng: vận tốc x + y, thời gian 4 giờ
• Ngược dòng: vận tốc x – y, thời gian 5 giờ

\[\begin{cases} 4(x + y) = 72 \\ 5(x – y) = 72 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 18 \\ x – y = 14.4 \end{cases}\]

Giải hệ:

• Cộng vế: \[2x = 32.4 \Rightarrow x = 16.2\]
• Thế vào pt1: \[y = 1.8\]

Đáp án: Vận tốc ca nô 16.2 km/h, dòng nước 1.8 km/h

Bài 4: Bài toán tuổi nâng cao

Tổng tuổi hiện nay của hai cha con là 56. 4 năm trước, tuổi cha gấp 5 lần tuổi con. Tính tuổi hai người.
Gọi:

• x: tuổi cha hiện tại
• y: tuổi con hiện tại

\[\begin{cases} x + y = 56 \\ x – 4 = 5(y – 4) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 56 \\ x – 4 = 5y – 20 \end{cases} \Rightarrow x = 5y – 16 \Rightarrow 5y – 16 + y = 56 \Rightarrow 6y = 72 \Rightarrow y = 12, x = 44\]

Đáp án: Cha 44 tuổi, con 12 tuổi.

Lời kết

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một kỹ năng không thể thiếu trong hành trang học toán. Mong rằng bài viết trên đã giúp bạn nắm rõ được lý thuyết và biết cách giải mã đa dạng các bài tập. Hãy luyện tập đều đặn với các dạng bài trên để thành thạo cách lập và giải hệ phương trình nhé.

Bài viết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Lý thuyết và bài tập đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Lý thuyết trọng tâm về “gấp một số lên nhiều lần”

Trong chương trình toán khối lớp 3, kiến thức này là một nội dung cơ bản nhưng vẫn rất quan trọng. Đây là một trong những nền tảng để các em học sinh có thể làm quen với tư duy nhân – phép toán giúp tăng giá trị của một số nào đó theo một lượng đã cho. Dưới đây là một vài lý thuyết quan trọng về chuyên đề này mà bạn cần ghi nhớ:

1. Khi nào cần gấp số lên nhiều lần?

Trong cuộc sống, chúng ta thường xuyên bắt gặp những tình huống như:

• Một chiếc áo khoác có giá 100 nghìn đồng, vậy 4 chiếc áo như thế sẽ có giá bao nhiêu?
• Một cây bút có chiều dài là 10 cm, vậy nếu có 3 cây bút tương tự được xếp liền kề nhau thì sẽ tạo ra chiều dài bao nhiêu?
• Một bạn học sinh lớp A đã học toán được 15 phút, nếu bạn đó học gấp đôi thời gian ban đầu thì sẽ là bao nhiêu phút?

Tất cả những câu hỏi trên đều có thể được giải quyết nhanh chóng bằng cách gấp số lên nhiều lần hay lấy số ban đầu nhân với một số tự nhiên nào đó.

1.2. Hiểu thế nào là “gấp một số lên nhiều lần”?

Để tăng giá trị của một số nào đó theo một mức độ cố định, ta chỉ cần nhân số đó với một con số thể hiện mức tăng mong muốn. Khi đó, ta có biểu thức tổng quát là:

\[a\times n\]

Trong đó: 

• a là số ban đầu
• n là số lần cần gấp lên

Ví dụ minh họa:

• Nếu a = 8; n = 3 => \[8\times 3=24\]
• Nếu a = 125; n = 10 => \[125\times 10=1250\]

2. Các dạng bài tập thường gặp 

Trong chương trình toán của khối lớp 3, các bài toán liên quan đến “gấp một số lên nhiều lần” thường xuất hiện dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong đó, mỗi dạng đều giúp các em rèn luyện được kỹ năng nhận diện số ban đầu, xác định nhanh số lần gấp và vận dụng tốt phép nhân đúng lúc. Dưới đây là 3 dạng bài tiêu biểu nhất:

2.1. Gấp một số mà đề cho trước lên nhiều lần

Có thể nói rằng, đây chính là dạng bài cơ bản và xuất hiện thường xuyên nhất trong các bài kiểm tra. Khi đó, các em học sinh sẽ được cho một số cụ thể và yêu cầu gấp số đó lên theo một số lần nhất định. Với dạng bài này, các em làm quen với việc sử dụng phép nhân để tính toán nhanh và chuẩn xác.

Phương pháp giải chi tiết:

• Bước 1: Xác định nhanh và đúng số ban đầu đã cho ở trong đề bài.
• Bước 2: Xác định chính xác số lần cần gấp lên.
• Bước 3: Thực hiện phép nhân giữa số ban đầu và số lần đó để tìm ra kết quả cuối cùng.

Ví dụ: Tính những trường hợp sau:

1. a) Gấp số 125 lên 3 lần.
2. b) Gấp số 67 lên 5 lần.
3. c) Gấp số 809 lên 4 lần.
4. d) Gấp số 1045 lên 6 lần.

Lời giải: 

1. a) Gấp số 125 lên 3 lần \[\Rightarrow 125\times 3=375\]
2. b) Gấp số 67 lên 5 lần \[\Rightarrow 67\times 5=335\]
3. c) Gấp số 809 lên 4 lần \[\Rightarrow 809\times 4=3236\]
4. d) Gấp số 1045 lên 6 lần \[\Rightarrow 1045\times 6=6270\]

2.2. Tìm số chưa biết trong gấp một số lên nhiều lần

Đây là bài này sẽ yêu cầu các em học sinh tìm lại số ban đầu khi đã cho biết trước kết quả sau khi gấp lên nhiều lần của nó. Dạng này ngược với dạng ở phần 2.1, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng thêm kiến thức về phép chia.

Phương pháp giải chi tiết:

• Bước 1: Xác định đúng kết quả sau khi số đã được gấp.
• Bước 2: Biết dâu là số lần đã gấp lên.
• Bước 3: Thực hiện phép chia để tìm đúng số ban đầu bằng công thức: Số ban đầu = Kết quả sau khi gấp : số lần gấp.

Ví dụ: Tìm số ban đầu khi: 

320. a) Sau khi gấp một số lên 4 lần thì được 320.
321. b) Sau khi gấp một số lên 7  lần thì được 1050.
322. c) Sau khi gấp một số lên 6 lần thì được 714.
323. d) Sau khi gấp một số lên 9 lần thì được 4410.

Lời giải: 

1. a) Sau khi gấp một số lên 4 lần thì được 320

=> Số ban đầu = \[320\div 4=80\]

1. b) Sau khi gấp một số lên 7  lần thì được 1050

=> Số ban đầu = \[1050\div 7=150\]

1. c) Sau khi gấp một số lên 6 lần thì được 714

=> Số ban đầu = \[714\div 6=119\]

1. d) Sau khi gấp một số lên 9 lần thì được 4410

=> Số ban đầu = \[4410\div 9=490\]

2.3. Bài toán có lời văn liên quan đến gấp một số lên nhiều lần

Khác với 2 dạng bài cơ bản ở trên, đây được xem là dạng bài nâng cao, đòi hỏi các em học sinh phải biết đọc hiểu đề đúng cách, xác định nhanh dữ kiện đã cho và liên hệ tốt với kiến thức đã học. Thông thường, dạng bài này sẽ hiển thị ở bối cảnh thực tế và người làm bài cần đưa ra câu trả lời hoàn chỉnh.

Phương pháp giải chi tiết: 

• Bước 1: Đọc thật kỹ phần đề bài và xác định đúng số ban đầu.
• Bước 2: Xác định rõ yêu cầu của đề bài và số lần gấp.
• Bước 3: Áp dụng ngay phép nhân để tính toán kết quả.
• Bước 4: Trình bày câu trả lời có lời văn rõ ràng.

Ví dụ 1: Một cửa hàng ở chợ Hạnh Thông Tây bán được 75 chiếc áo thun mới trong một tuần. Tuần sau, cửa hàng lại bán được gấp 4 lần so với tuần trước đó. Hỏi tuần sau cửa hàng bán được mấy chiếc áo?

Lời giải: 

Số chiếc áo mà cửa hàng bán được trong tuần sau là: 

\[75\times 4=300\] (chiếc áo)

Đáp số: 300 chiếc áo. 

Ví dụ 2: Chiếc xe máy mới mua của Hương đã đi được 125 km trong một ngày. Nhưng trong 5 ngày sau đó, xe máy của Hương đã đi được quãng đường dài gấp 5 lần. Hỏi xe đi được mấy km trong vòng 5 ngày?

Lời giải: 

Số km mà xe máy của đã đi được trong 5 ngày là: 

\[125\times 5=625\] (km)

Đáp số: 625 km. 

3. Bài tập vận dụng

Để rèn luyện và nắm vững những kiến thức quan trọng về phép nhân có liên quan đến việc tăng số lần, chúng ta sẽ cùng làm các bài tập vận dụng theo từng dạng đã học. Dưới đây là một số bài tập đơn giản, bám sát nội dung lý thuyết mà bạn có thể thực hành thử:

Bài tập 1: Gấp một số đã cho lên nhiều lần: 

1. a) Gấp số 216 lên 3 lần.
2. b) Gấp số 407 lên 5 lần.
3. c) Gấp số 1 325 lên 2 lần.
4. d) Gấp số 98 lên 10 lần.

Bài tập 2: Tìm số ban đầu khi: 

1000. a) Sau khi gấp một số lên 4 lần thì được 1000.
1001. b) Sau khi gấp một số lên 6 lần thì được 2706.
1002. c) Sau khi gấp một số lên 8 lần thì được 4880.
1003. d) Sau khi gấp một số lên 3 lần thì được 1239.

Bài tập 3: Một nhà máy tại tỉnh Bình Dương đã sản xuất được 125 chiếc ghế trong vòng một ngày. Nhưng để đáp ứng nhu cầu tăng cao của khách hàng, nhà máy phải sản xuất gấp 6 lần so với số lượng trước đó. Hỏi rằng sau khi tiến hành tăng công suất, nhà máy này sẽ sản xuất được mấy chiếc ghế trong một ngày?

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 648, b) 2035, c) 2650, d) 980
• Bài tập 2: a) 250, b) 451, c) 610, d) 413
• Bài tập 3: 750 chiếc ghế. 

Bài viết trên đây đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức cần thiết về việc gấp một số lên nhiều lần. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã ghi nhớ được toàn bộ lý thuyết trọng điểm của chuyên đề này và giải quyết nhanh chóng những dạng bài có liên quan nhé!

Bài viết Chuyên đề “gấp một số lên nhiều lần” và các dạng bài phổ biến nhất đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Lý thuyết trọng tâm

Trước khi tìm hiểu từng dạng bài về triệu và lớp triệu, bạn cần ghi nhớ cẩn thận những lý thuyết trọng điểm sau:

1.1. Triệu là gì?

Khi đếm số lượng từ nhỏ cho đến lớn, chúng ta thường bắt đầu đếm từ một, mười, trăm, nghìn,… nhưng khi đến mức độ lớn hơn, người ta lại dùng đến một đơn vị khác là “triệu”.

Theo đó, một triệu chính là số sở hữu sáu chữ số 0 đứng ngay phía sau số 1, được viết là:

1 000 000

Ta có thể hiểu:

• 1 triệu = 1 nghìn nghìn (\[1000\times 1000\])
• 1 triệu = \[10^{6}\]

Trong đời sống hằng ngày, đơn vị này thường được dùng để chỉ đến những con số rất lớn, chẳng hạn như:

• Việt Nam hiện đang có hơn 100 triệu dân.
• Một công trình dân dụng được xây dựng với chi phí gần 345 triệu đồng.

Như vậy, “triệu” chính là một đơn vị số lớn, đứng phía sau hàng nghìn và trước hàng tỷ.

1.2. Lớp triệu là gì?

Khi gặp những số có nhiều chữ số, chúng ta thường chia chúng thành từng nhóm ba chữ số theo hướng từ phải sang trái. Theo đó, việc phân chia này sẽ giúp cho quá trình đọc và hiểu số trở nên thuận tiện hơn. Trong chuyên đề toán “triệu và lớp triệu”, các nhóm nhỏ này gọi là lớp và chúng sẽ được sắp xếp theo trình tự sau:

• Lớp đơn vị: gồm hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm.
• Lớp nghìn: gồm hàng nghìn, chục nghìn, trăm nghìn.
• Lớp triệu: gồm hàng triệu, chục triệu, trăm triệu.

Trong đó, lớp triệu là lớp đứng ngay trước lớp nghìn (lớp triệu -> lớp nghìn -> lớp đơn vị) và bao gồm ba hàng theo thứ tự:

• Hàng triệu (hàng đầu tiên trong lớp triệu)
• Hàng chục triệu
• Hàng trăm triệu

Ví dụ:

Với ví dụ trên, ta có cách đọc như sau: 

• (1): Một trăm hai mươi ba triệu bốn trăm năm mươi sáu nghìn bảy trăm tám mươi chín.
• (2): Ba trăm sáu mươi lăm triệu một trăm hai mươi bảy nghìn ba trăm hai mươi mốt. 
• (3): Sáu trăm bảy mươi tám triệu hai trăm mười bốn nghìn bảy trăm năm mươi ba. 

Việc nắm chắc những kiến thức về triệu và lớp triệu sẽ là nền tảng để các em học sinh tiếp tục học tốt các khái niệm nâng cao hơn, chẳng hạn như số tỷ, phân số thập phân hay phép tính liên quan đến các số lớn trong những lớp học sau.

2. Các dạng bài tập thường gặp về triệu và lớp triệu

Trong quá trình chinh phục chuyên đề này, bạn sẽ gặp phải nhiều dạng bài tập khác nhau. Chúng sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng nhận biết, viết, đọc cũng như phân tích các số lớn. Dưới đây là tổng hợp 3 dạng bài cơ bản và thường xuyên xuất hiện nhất trong các bài kiểm tra mà bạn nên tham khảo:

2.1. Viết số từ cách đọc

Có thể nói rằng, đây là dạng bài có độ phổ biến rất cao, thường yêu cầu các em học sinh viết đúng số tự nhiên dựa trên lời đọc đã được cho sẵn. Để làm đúng, bạn cần xác định rõ những thành phần của số theo từng lớp: lớp triệu, lớp nghìn và lớp đơn vị, sau đó mới viết các chữ số tương ứng với từng hàng.

Phương pháp giải chi tiết:

• Bước 1: Đọc thật kỹ yêu cầu, sau đó xác định đúng từng phần: triệu, nghìn, đơn vị.
• Bước 2: Xác định xem mỗi lớp đã có đủ cả 3 chữ số chưa (nếu thiếu thì tự động điền thêm chữ số 0).
• Bước 3: Viết số theo thứ tự từ trái sang phải, hãy dùng thêm dấu cách hoặc dấu phẩy để nhóm 3 chữ số ở từng lớp số cho dễ nhìn hơn (nếu cần).
• Bước 4: Kiểm tra lại số mà bạn vừa viết để đảm bảo đúng thứ tự hàng.

Ví dụ: Viết số: 

1. a) Một trăm lẻ năm triệu bảy mươi nghìn không trăm mười một.
2. b) Tám trăm linh hai triệu không trăm ba mươi nghìn tám trăm.
3. c) Chín mươi triệu không trăm linh năm nghìn không trăm linh hai.
4. d) Hai trăm ba mươi tư triệu một trăm nghìn không trăm linh tám.

Lời giải: 

1. a) Một trăm lẻ năm triệu bảy mươi nghìn không trăm mười một.

Ta có:

• Một trăm lẻ năm triệu = 105 000 000
• Bảy mươi nghìn = 070 000
• Không trăm mười một = 011

Vậy số cần viết là: 105 070 011

1. b) Tám trăm linh hai triệu không trăm ba mươi nghìn tám trăm.

Ta có:

• Tám trăm linh hai triệu = 802 000 000
• Không trăm ba mươi nghìn = 030 000
• Tám trăm = 800

Vậy số cần viết là: 802 030 800

1. c) Chín mươi triệu không trăm linh năm nghìn không trăm linh hai.

Ta có:

• Chín mươi triệu = 90 000 000
• Không trăm linh năm nghìn = 005 000
• Không trăm linh hai = 002

Vậy số cần viết là: 90 005 002

1. d) Hai trăm ba mươi tư triệu một trăm nghìn không trăm linh tám.

Ta có: 

• Hai trăm ba mươi tư triệu = 234 000 000
• Một trăm nghìn = 100 000
• Không trăm linh tám = 008

Vậy số cần viết là: 234 100 008

2.2. Đọc số đã cho

Trong lúc tiếp xúc với kiến thức triệu và lớp triệu, bạn còn có thể bắt gặp dạng bài yêu cầu đọc đúng số tự nhiên từ 7 – 9 chữ số. Theo đó, để đọc chuẩn, bạn cần biết cách chi đúng các lớp và sắp xếp theo thành phần đọc theo thứ tự mà chúng tôi đã nói rõ ở phần lý thuyết.

Phương pháp giải chi tiết:

• Bước 1: Thực hiện nhóm các chữ số thành từng lớp bao gồm ba chữ số, tính theo hướng từ phải sang trái.
• Bước 2: Xác định rõ tên của từng lớp: đơn vị, nghìn, triệu.
• Bước 3: Đọc từng nhóm chữ số dựa trên quy tắc đọc số có ba chữ số và kết hợp với tên của lớp tương ứng (trừ lớp đơn vị không cần gọi tên).
• Bước 4: Đọc liền mạch theo thứ tự từ trái qua phải, giữ đúng ngữ điệu.

Ví dụ: Đọc các số sau:

1. a) 408 007 010
2. b) 300 400 005
3. c) 170 090 900
4. d) 620 003 080

Lời giải: 

1. a) 408 007 010

Ta có: 

• Lớp triệu: 408 => Bốn trăm lẻ tám triệu
• Lớp nghìn: 007 => Không trăm linh bảy nghìn
• Lớp đơn vị: 010 => Không trăm mười

Vậy số 408 007 010 đọc là: Bốn trăm lẻ tám triệu không trăm linh bảy nghìn không trăm mười

1. b) 300 400 005

Ta có: 

• Lớp triệu: 300 => Ba trăm triệu
• Lớp nghìn: 400 => Bốn trăm nghìn
• Lớp đơn vị: 005 => Không trăm lẻ năm

Vậy số 300 400 005 đọc là: Ba trăm triệu bốn trăm nghìn không trăm lẻ năm

1. c) 170 090 900

Ta có: 

• Lớp triệu: 170 => Một trăm bảy mươi triệu
• Lớp nghìn: 090 => Chín mươi nghìn
• Lớp đơn vị: 900 => Chín trăm

Vậy số 170 090 900 đọc là: Một trăm bảy mươi triệu chín mươi nghìn chín trăm

1. d) 620 003 080

Ta có:

• Lớp triệu: 620 => Sáu trăm hai mươi triệu
• Lớp nghìn: 003 => Không trăm linh ba nghìn
• Lớp đơn vị: 080 => Tám mươi

Vậy số 620 003 080 đọc là: Sáu trăm hai mươi triệu không trăm linh ba nghìn không trăm tám mươi

2.3. Quan sát bảng liên quan đến triệu và lớp triệu để trả lời câu hỏi

Thông thường, dạng bài này sẽ yêu cầu các em học sinh phân tích bảng số liệu có sử dụng đến các số thuộc lớp triệu, sau đó trả lời một vài câu hỏi liên quan đến nội dung của bảng. Đây được xem là dạng bài giúp bạn phát triển tư duy logic cũng như kỹ năng đọc hiểu thông tin.

Phương pháp giải chi tiết:

• Bước 1: Đọc thật kỹ tiêu đề và tất cả các cột có trong bảng để hiểu được nội dung tổng quát.
• Bước 2: Xác định chính xác yêu cầu của câu hỏi.
• Bước 3: Tìm kiếm dòng hay cột có chứa dữ liệu cần thiết.
• Bước 4: Tiến hành so sánh, đối chiếu hoặc tính toán (nếu cần) để đưa ra đáp án.

Ví dụ: Bảng số liệu về sản lượng xuất khẩu gạo của một vài công ty trong năm 2024 (Đơn vị: kg)

Hỏi: Công ty nào đã xuất khẩu nhiều gạo nhất trong năm 2024?

Lời giải:

Ta so sánh các số lượng:

• Công ty Cánh Diều: 3 567 421
• Công ty Gạo Sạch: 1 475 002
• Công ty Hương Lúa: 4 677 892
• Công ty Ngọc Thơm: 1 375 999
• Công ty  Gạo Việt: 2 785 993

Trong 5 số này, 3 567 421 là lớn nhất => Công ty Cánh Diều xuất khẩu sản lượng gạo nhiều nhất năm 2024.

2. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Viết số từ cách đọc sau: 

1. a) Hai trăm linh năm triệu bảy trăm nghìn không trăm linh năm.
2. b) Chín trăm triệu không trăm linh hai nghìn không trăm tám.
3. c) Sáu trăm bảy mươi lăm triệu không trăm năm mươi nghìn một trăm.
4. d) Một trăm ba triệu ba trăm linh ba nghìn ba trăm linh ba.

Bài tập 2: Đọc các số sau: 

1. a) 804 002 010
2. b) 120 300 500
3. c) 999 000 999
4. d) 401 010 001

Bài tập 3: Quan sát bảng và trả lời câu hỏi: 

Bảng: Số lượng lượt khách lựa chọn tham quan một số bảo tàng trong dịp hè năm 2024 (Đơn vị: lượt người)

Hỏi: Bảo tàng nào trong 3 bảo tàng trên đã thu hút được nhiều lượt khách nhất trong dịp hè 2024?

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 205 700 005, b) 900 002 008, c) 675 050 100, d) 103 303 303
• Bài tập 2: 
  • a) Tám trăm lẻ bốn triệu không trăm linh hai nghìn không trăm mười
  • b) Một trăm hai mươi triệu ba trăm nghìn năm trăm
  • c) Chín trăm chín mươi chín triệu không trăm nghìn chín trăm chín mươi chín
  • d) Bốn trăm lẻ một triệu mười nghìn không trăm lẻ một
• Bài tập 3: Bảo tàng Biển Đông có lượt khách ghé thăm nhiều nhất trong dịp hè 2024. 

Bài viết trên đây là tất tần kiến thức trọng điểm về chuyên đề triệu và lớp triệu của chương trình toán học khối lớp 4. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã có thể đọc và viết nhanh, chuẩn xác các số lớn, đồng thời ghi nhớ cách giải các dạng bài liên quan rồi nhé!

Bài viết Triệu và lớp triệu: Kiến thức trọng tâm và các dạng bài thường gặp đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa

Trước hết muốn hiểu tỉ lệ thức, bạn cần nắm vững kiến thức về phân số và sự bằng nhau giữa các phân số. Khi hai phân số có giá trị bằng nhau, chúng tạo thành một tỉ lệ thức – khái niệm rất cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong học toán.

• Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số.
• Tỉ lệ thức có dạng:

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad (b \ne 0, d \ne 0)\]

Lý thuyết và tính chất

Tỉ lệ thức không chỉ là một đẳng thức đơn thuần. Để giải nhanh các bài toán liên quan, bạn cần biết các tính chất quan trọng của nó. Những tính chất này cho phép biến đổi và xử lý tỉ lệ thức linh hoạt hơn rất nhiều.

Các tính chất của tỉ lệ thức

• Tính chất cơ bản (tích chéo):

Nếu: \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c\]

• Tính chất hoán vị:

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{d}{b}\]

• Tính chất nghịch đảo:

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}\]

• Tính chất cộng (hoặc trừ) hai tỉ số cùng vế:

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a + c}{b + d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]

Công thức cần nhớ

Khi biết ba trong bốn thành phần của một tỉ lệ thức, bạn có thể dễ dàng tính thành phần còn lại bằng cách sử dụng tích chéo hoặc công thức rút gọn. Đây là phần then chốt giúp giải bài nhanh hơn trong các bài thi. Công thức cần nhớ như sau:

Từ \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\], ta có thể suy ra:

\[a = \frac{b \cdot c}{d}\], \[b = \frac{a \cdot d}{c}\], \[c = \frac{a \cdot d}{b}\], \[d = \frac{b \cdot c}{a}\]

Các dạng bài toán thường gặp

Tỉ lệ thức được dùng trong nhiều dạng toán khác nhau. Mỗi dạng có một cách tiếp cận riêng, giúp bạn tư duy rõ ràng hơn khi làm bài. Một số các dạng bài thường gặp cùng với ví dụ cụ thể minh họa như sau:

Dạng 1: Kiểm tra xem hai tỉ số có tạo thành tỉ lệ thức không

Ví dụ:  Kiểm tra xem \[\frac{8}{12} và \frac{10}{15}\] có lập thành tỉ lệ thức không.

Giải:

\[8 \cdot 15 = 120, 12 \cdot 10 = 120\] → Tích chéo bằng nhau → Lập thành tỉ lệ thức

Dạng 2: Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức

Ví dụ:  Tìm x biết \[\frac{5}{x} = \frac{15}{18}\]

Giải: \[5 \cdot 18 = x \cdot 15 \Rightarrow x = \frac{5 \cdot 18}{15} = 6\]

Dạng 3: Tìm x từ biểu thức tỉ lệ

Ví dụ:  Tìm x biết \[\frac{x}{5} = \frac{x + 2}{7}\]

Giải:\[ x \cdot 7 = 5(x + 2) \Rightarrow 7x = 5x + 10 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\]

Dạng 4: Bài toán thực tế – tỉ lệ thu nhỏ, bản đồ

Ví dụ: Một bản đồ có tỉ lệ 1:5000, trên bản đồ đoạn đường dài 6 cm. Hỏi đoạn đó dài bao nhiêu mét ngoài thực tế?

Giải:

\[1 : 5000 = 6 : x \Rightarrow x = 6 \cdot 5000 = 30000 cm = 300\] m

Dạng 5: Chia theo tỉ lệ

Ví dụ: Cho đề bài tổng ba số là 120. Tỉ lệ giữa ba số là 2:3:5. Tìm ba số đó.

Giải:  Tổng tỉ lệ = \[2 + 3 + 5 = 10\]

• Số thứ nhất: \[\frac{2}{10} \cdot 120 = 24\]
• Số thứ hai: \[\frac{3}{10} \cdot 120 = 36\]
• Số thứ ba:\[ \frac{5}{10} \cdot 120 = 60\]

Bài tập vận dụng có lời giải

Sau khi đã nắm được lý thuyết và các dạng bài, thực hành với các bài tập là bước không thể thiếu để ghi nhớ và áp dụng đúng công thức hiệu quả. 

Bài tập cơ bản

1. Chứng minh \[\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\]

Giải: Ta có \[3 \cdot 8 = 24,  4 \cdot 6 = 24\]⇒ Là tỉ lệ thức

1. Tìm x, biết: \[\frac{x}{9} = \frac{2}{3}\]

Giải: \[x = \frac{2 \cdot 9}{3} = 6\]

1. Tìm x: \[\frac{12}{x} = \frac{4}{10}\]

⇒\[x = \frac{12 \cdot 10}{4} = 30\]

1. Tìm x: \[3\frac{3x – 1}{2x + 5} = \frac{5}{3}\]

⇒\[3(3x – 1) = 5(2x + 5) \Rightarrow 9x – 3 = 10x + 25 \Rightarrow x = -28\]

1. Cho \[\frac{x}{4} = \frac{2x + 1}{9}\]. Tìm x

⇒ \[9x = 4(2x + 1) = 8x + 4 \Rightarrow x = 4\]

1. Một lớp có 12 nam và 16 nữ. Viết tỉ lệ thức biểu thị tỉ lệ nam:nữ

⇒ \[\frac{12}{16} = \frac{3}{4}\]. Vậy tỉ lệ nam : nữ là 3:4

1. Một bức hình được thu nhỏ theo tỉ lệ 2:7. Nếu chiều cao thực tế là 70 cm, hỏi chiều cao trong hình là bao nhiêu?

Ta có: \[2 : 7 = x : 70 \Rightarrow x = \frac{2 \cdot 70}{7} = 20\]

1. Ba bạn chia nhau 180 viên kẹo theo tỉ lệ 3:5:7. Hỏi mỗi bạn được bao nhiêu viên?

Ta có tổng tỉ lệ: \[3 + 5 + 7 = 15\]
Người 1: \[180 \cdot \frac{3}{15} = 36\]
Người 2: \[180 \cdot \frac{5}{15} = 60\]
Người 3: \[180 \cdot \frac{7}{15} = 84\]

Bài tập nâng cao

1. Bạn hãy tìm giá trị của x biết: \[\frac{2x + 3}{x – 1} = \frac{4x – 5}{2x + 1}​\]

Ta nhân chéo để khử mẫu: \[(2x + 3)(2x + 1) = (x – 1)(4x – 5)\]

Vế trái: \[(2x + 3)(2x + 1) = 4x^2 + 2x + 6x + 3 = 4x^2 + 8x + 3\]

Vế phải: \[(x – 1)(4x – 5) = 4x^2 – 5x – 4x + 5 = 4x^2 – 9x + 5\]

Ta có: \[4x^2 + 8x + 3 = 4x^2 – 9x + 5\]

Trừ hai vế: \[4x^2 + 8x + 3 – 4x^2 + 9x – 5 = 0 \Rightarrow 17x – 2 = 0 

x = \frac{2}{17}\]

1. Bạn hãy tìm giá trị của x biết:\[ \frac{3x – 4}{2x + 1} = \frac{5x + 2}{x + 3}​\]

Ta nhân chéo để khử mẫu: \[(3x – 4)(x + 3) = (2x + 1)(5x + 2)\]

Vế trái: \[(3x – 4)(x + 3) = 3x(x + 3) – 4(x + 3) = 3x^2 + 9x – 4x – 12 = 3x^2 + 5x – 12\]

Vế phải: \[(2x + 1)(5x + 2) = 2x(5x + 2) + 1(5x + 2) = 10x^2 + 4x + 5x + 2 = 10x^2 + 9x + 2\]

Ta có: \[3x^2 + 5x – 12 = 10x^2 + 9x + 2\]

Chuyển hết sang một vế: \[3x^2 + 5x – 12 – 10x^2 – 9x – 2 = 0  \Rightarrow -7x^2 – 4x – 14 = 0\]

Chia hai vế cho -1: \[7x^2 + 4x + 14 = 0\]

Tính \[\Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \cdot 7 \cdot 14 = 16 – 392 = -376\]

\[\Delta < 0\], phương trình vô nghiệm.

1.  Biết rằng: \[\frac{x}{x + 2} = \frac{x + 3}{2x + 1}\]. Bạn hãy tìm x.

Nhân chéo: \[x(2x + 1) = (x + 2)(x + 3)\]

Vế trái: \[x(2x + 1) = 2x^2 + x\]

Vế phải: \[(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\]

Ta có: \[2x^2 + x = x^2 + 5x + 6 \Rightarrow 2x^2 + x – x^2 – 5x – 6 = 0 \Rightarrow x^2 – 4x – 6 = 0\]

Tính \[\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}\]

Vậy \[x = 2 \pm \sqrt{10}\]

Lời kết

Với nội dung trên đây, mong rằng đã giúp bạn đã nắm được định nghĩa, công thức, tính chất và các dạng bài tập thường gặp về tỉ lệ thức. Đặc biệt, các bài toán thực tế như chia theo tỉ lệ, tính bản đồ hay thu nhỏ đều rất hữu ích trong đời sống. Đừng quên luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo hơn và tự tin trong kỳ thi bạn nhé!

Bài viết Tỉ lệ thức – Lý thuyết, công thức và bài tập từ cơ bản đến nâng cao đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Lý thuyết về biểu đồ cột kép

Khái niệm?

Biểu đồ cột kép là dạng biểu đồ dùng để so sánh hai nhóm dữ liệu cùng một tiêu chí. Thay vì chỉ có một cột cho mỗi đối tượng như biểu đồ cột đơn, cột kép có hai cột đứng cạnh nhau để đại diện cho hai nhóm khác nhau. Việc sử dụng biểu đồ dạng cột kép giúp so sánh rõ ràng giữa hai nhóm dữ liệu trong cùng một ngữ cảnh. Cụ thể như sau:

• So sánh hai nhóm trong từng đối tượng cụ thể.
• Phân tích xu hướng thay đổi giữa hai nhóm qua các thời kỳ hoặc khu vực.
• Giúp học sinh và người học nhìn dữ liệu trực quan hơn, tránh nhầm lẫn khi nhìn bảng số liệu dài.

Dạng biểu đồ này thường xuất hiện trong các môn như Toán, Khoa học, Địa lý, hay cả trong báo cáo, thống kê ngoài đời sống.

Ví dụ: So sánh số học sinh nam và nữ trong các lớp 5A, 5B, 5C, ta có thể dùng biểu đồ này để dễ dàng nhìn thấy lớp nào có nhiều nam hay nữ hơn, và sự chênh lệch giữa các lớp.

Cấu tạo của biểu đồ cột kép

Trước khi đọc hoặc vẽ một biểu đồ, cần hiểu rõ các thành phần cấu tạo cơ bản. Theo đó, dạng biểu đồ này bao gồm:

• Trục hoành (trục ngang): đại diện cho các đối tượng cần so sánh như lớp học, năm, khu vực,…
• Trục tung (trục đứng): biểu thị giá trị như số học sinh, sản lượng, điểm số,…
• Cột kép: mỗi đối tượng trên trục hoành có hai cột cạnh nhau,  mỗi cột ứng với một nhóm dữ liệu ví dụ: nam – nữ, năm nay – năm trước,…
• Ghi chú: dùng để phân biệt ý nghĩa từng cột, sử dụng màu sắc hoặc ký hiệu.

Các dạng bài toán về biểu đồ cột kép

Khi làm quen với biểu đồ dạng cột kép, học sinh sẽ gặp nhiều dạng bài khác nhau. Một số dạng bài phổ biến được phân chia từ cơ bản đến nâng cao như sau:

Dạng 1: Đọc dữ liệu từ biểu đồ

Dạng toán này sẽ cho sẵn biểu đồ và học sinh cần dựa vào dữ liệu đó để tính toán theo yêu cầu cho phù hợp.

Ví dụ 1: Cho biểu đồ thể hiện số học sinh nam và nữ trong 3 lớp:

• Lớp 5A: Nam 20, Nữ 25
• Lớp 5B: Nam 22, Nữ 18
• Lớp 5C: Nam 19, Nữ 21

Câu hỏi:
a) Lớp nào có tổng số học sinh nhiều nhất?
b) Lớp nào có nhiều học sinh nữ hơn nam?
c) Lớp nào có số nam và nữ gần bằng nhau?

Lời giải:
a) Lớp 5A: \[20 + 25 = 45\] học sinh (nhiều nhất)
b) Lớp 5A và 5C (nữ > nam)
c) Lớp 5C: chênh lệch 2 học sinh

Dạng 2: Vẽ biểu đồ cột kép từ bảng số liệu

Với dạng toán này, đề bài sẽ cho các số liệu và yêu cầu học sinh vẽ biểu đồ cột kép phù hợp. Bạn cần phân định được dữ liệu nào ở trục hoành, trục tung và cột kép sẽ bao gồm dữ liệu nào để sắp xếp cho phù hợp.

Ví dụ 2: Cho biểu đồ bảng điểm trung bình môn Toán của nam và nữ trong các lớp:

• Lớp 6A: Nam 7.5, Nữ 8.0
• Lớp 6B: Nam 8.0, Nữ 7.0
• Lớp 6C: Nam 7.0, Nữ 7.5

Yêu cầu: Bạn hãy vẽ biểu đồ dạng cột kép thể hiện điểm trung bình.

Hướng dẫn các bước vẽ như sau:

• Trục tung: từ 0 đến 10
• Trục hoành: ghi các lớp học
• Mỗi lớp có hai cột đứng cạnh nhau: 1 cột cho nam, 1 cột cho nữ
• Thêm màu sắc hoặc ghi chú để phân biệt nam – nữ

Dạng 3: Phân tích và tính toán nâng cao

Dạng toán nâng cao bên cạnh việc áp dụng lý thuyết cơ bản sẽ cần nâng cao mức tư duy, phân tích và đa dạng các yêu cầu bài toán hơn. Từ đây, học sinh cũng sẽ từng bước chinh phục toán học vô cùng thú vị.

Ví dụ: Cho biểu đồ một cửa hàng bán bánh trong 3 tháng, số lượng bánh ngọt và bánh mặn như sau:

• Tháng 1: Ngọt 120, Mặn 100
• Tháng 2: Ngọt 140, Mặn 130
• Tháng 3: Ngọt 110, Mặn 160

Câu hỏi:
a) Trong tháng nào cửa hàng bán được nhiều bánh nhất?
b) Tổng số bánh ngọt trong 3 tháng là bao nhiêu?
c) Tháng nào có chênh lệch lớn nhất giữa hai loại bánh?

Lời giải:
a) Tháng 2: \[140 + 130 = 270\] bánh
b) \[120 + 140 + 110 = 370\] bánh ngọt
c) Tháng 3: \[160 – 110 = 50\] bánh (lệch nhiều nhất)

Bài tập thực hành

Đến đây, hẳn các em đã có thể hình dung được biểu đồ dạng cột kép là gì cũng như dạng bài toán thường gặp. Giờ chúng ta sẽ đi vào thực thành các bài tập để thành thạo hơn nhé.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho biểu đồ cho biết số sách mượn trong thư viện tháng 1:

• Khối 4: Sách truyện 80, sách tham khảo 40
• Khối 5: Sách truyện 100, sách tham khảo 60

Hỏi:
a) Khối nào mượn nhiều sách hơn?
b) Khối nào mượn nhiều sách truyện hơn?
c) Tổng số sách mượn là bao nhiêu?

Lời giải:
a) Khối 5: \[100 + 60 = 160\]; Khối 4: \[80 + 40 = 120\]
b) Khối 5 (100 sách truyện)
c) Tổng cộng: \[80 + 40 + 100 + 60 = 280\] sách

Bài 2: Cho biểu đồ cột kép thể hiện số học sinh giỏi và khá trong các lớp như sau:

• 6A: Giỏi 10, Khá 20
• 6B: Giỏi 12, Khá 18
• 6C: Giỏi 8, Khá 22

Câu hỏi:
a) Lớp nào có tổng số học sinh giỏi và khá cao nhất?
b) Lớp nào có nhiều học sinh khá hơn giỏi nhiều nhất?

Lời giải:
a) Lớp 6C: \[8 + 22 = 30\]
b) Lớp 6C: chênh lệch \[22 – 8 = 14\]

Bài 3: Số học sinh tham gia thể thao và văn nghệ của ba lớp:

• 7A: Thể thao 15, Văn nghệ 25
• 7B: Thể thao 20, Văn nghệ 10
• 7C: Thể thao 18, Văn nghệ 22

Câu hỏi:
a) Lớp nào có nhiều học sinh tham gia tổng cộng nhất?
b) Lớp nào có sự chênh lệch ít nhất giữa hai hoạt động?

Lời giải:
a) Lớp 7C: \[18 + 22 = 40\] học sinh
b) 7C: chênh lệch \[22 – 18 = 4\]

Bài tập nâng cao

Bài 1: Biểu đồ cột kép dưới đây cho biết số quyển sách Tiếng Việt và Toán mà bốn lớp 5A, 5B, 5C, 5D đã mượn trong tháng 4:

Hãy cho biết lớp nào có sự chênh lệch lớn nhất giữa số sách Tiếng Việt và Toán? Chênh lệch là bao nhiêu quyển?

Lời giải: Tính hiệu từng lớp như sau:

• 5A: \[45 – 50 = 5\]
• 5B: \[60 – 40 = 20\]
• 5C: \[50 – 70 = 20\]
• 5D: \[55 – 60 = 5\]

Vậy lớp có chênh lệch lớn nhất là 5B và 5C, đều là 20 quyển.

Bài 2 Cho biểu đồ cho thấy số học sinh nam và nữ tham gia CLB Mỹ thuật trong 3 tháng:

Hãy cho biết tổng số học sinh tham gia trong cả 3 tháng là bao nhiêu? Trung bình mỗi tháng có bao nhiêu bạn?

• Tổng: \[(12+18) + (15+20) + (10+24) = 30 + 35 + 34 = 99\] học sinh
• Trung bình: \[99/div3 = 33\] học sinh/tháng

Bài 3: Một biểu đồ thể hiện số lít nước tiêu thụ trong tháng 5 và tháng 6 của 4 hộ gia đình. Hộ A tiêu thụ lần lượt 180 lít và 210 lít. Hộ B: 200 lít và 190 lít. Hộ C: 220 lít và 230 lít. Hộ D: 190 lít và 220 lít.

Câu hỏi:
a) Hộ nào có mức tiêu thụ tăng cao nhất từ tháng 5 sang tháng 6?
b) Trung bình mỗi hộ dùng bao nhiêu lít nước trong 2 tháng?

Lời giải:

1. a) Chênh lệch:

• A: \[210 – 180 = 30\]
• B: \[190 – 200 = -10\]
• C: \[230 – 220 = 10\]
• D: \[220 – 190 = 30\]

Vậy  Hộ A và D có mức tăng cao nhất: 30 lít

1. b) Tổng: \[(180+210) + (200+190) + (220+230) + (190+220) = 390 + 390 + 450 + 410 = 1640\] lít

Vậy trung bình mỗi hộ: \[1640 : 4 = 410\] lít

Lời kết

Biểu đồ cột kép là một công cụ rất thú vị và hữu ích, giúp học sinh nắm bắt và so sánh hai nhóm dữ liệu hiệu quả. Đừng quên luyện tập thường xuyên với các bài tập để nắm chắc dạng biểu đồ này và ứng dụng tốt trong học tập lẫn cuộc sống nhé.

Bài viết Biểu đồ cột kép – Hướng dẫn chi tiết và bài tập vận dụng đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các dạng bài phổ biến khi nhân số có 3 chữ số với số có một chữ số

Trong chương trình toán của khối tiểu học, việc nhân số có ba chữ số cùng với số có một chữ số là một bước phát triển từ phép nhân đơn giản nhất. Bài tập này sẽ giúp các em học sinh rèn luyện tư duy tính toán cũng như củng cố kỹ năng vận dụng bảng nhân. Dưới đây là 5 dạng toán thường gặp với phương pháp giải chi tiết kèm ví dụ cụ thể.

1.1. Đặt tính rồi tính

Ở dạng bài này, bạn cần đặt phép tính theo cột dọc để thực hiện nhân từng chữ số một. Trong quá trình đặt tính, bạn phải chú ý viết số có ba chữ số nằm ở dòng trên và số có một chữ số còn lại ở dòng dưới, thẳng hàng đơn vị. Sau đó, bắt đầu thực hiện nhân lần lượt từ hàng đơn vị, đến hàng chục, rồi mới tới hàng trăm. Nếu bài toán có nhớ, bạn buộc phải ghi nhớ chính xác để cộng dồn vào lượt nhân kế tiếp.

Ví dụ: Đặt tính rồi tính: 

1. a) \[123\times 4\]
2. b) \[305\times 2\]
3. c) \[417\times 6\]
4. d) \[804\times 3\]

Lời giải: 

1.2. Tính nhẩm khi nhân số có 3 chữ số với số có một chữ số

Khi gặp phép nhân có dạng như thế này, bạn có thể giải quyết nhanh chóng bằng cách tách số có ba chữ số ở đề bài thành những phần dựa vào giá trị hàng (hàng trăm, chục, đơn vị). Sau đó, bạn cần nhân riêng từng phần với số một chữ số rồi mới cộng tất cả kết quả lại với nhau để cho ra đáp án cuối cùng. Phương pháp này sẽ giúp bạn có thể tính toán nhanh chóng mà chẳng cần đặt tính.

Ví dụ: Tính nhẩm:

1. a) \[302\times 3=?\]
2. b) \[120\times 4=?\]
3. c) \[530\times 6=?\]
4. d) \[240\times 2=?\]

Lời giải: 

1. a) \[302\times 3=(300+2)\times 3=300\times 3+2\times 3=900+6=906\]
2. b) \[120\times 4=(100+20)\times 4=100\times 4+20\times 4=400+80=480\]
3. c) \[530\times 6=(500+30)\times 6=500\times 6+30\times 6=3000+180=3180 \]
4. d) \[240\times 2=(200+40)\times 2=200\times 2+40\times 2=400+80=480\]

1.3. So sánh

Có thể nói rằng, đây cũng là một trong những dạng bài có liên quan đến phép nhân số có 3 chữ số với số có một chữ số thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra. Tuy nhiên, bạn đừng lo lắng! Để giải quyết tốt các bài tập so sánh, bạn chỉ cần tiến hành đúng theo hướng dẫn dưới đây:

• Bước 1: Tính phép nhân ở từng vế của đề bài. 
• Bước 2: Tiến hành so sánh cả 2 kết quả vừa tìm được với nhau rồi điền dấu so sánh:
  • Nếu vế trái < vế phải, chọn dấu “<”
  • Nếu vế trái > vế phải, chọn dấu “>”
  • Nếu hai vế bằng nhau, dùng dấu “=”
• Bước 3: Kết luận rõ ràng, có đầy đủ 2 vế và dấu so sánh (<, >, =).

Lưu ý rằng, bạn bắt buộc phải thực hiện các phép tính ở cả 2 vế một cách kỹ càng thì quá trình so sánh mới có thể diễn ra chính xác và không bị nhầm lẫn.

Ví dụ: So sánh: 

1. a) \[213\times 3\] ____ \[324\times 2\]
2. b) \[105\times 6\] ____ \[210\times 3\]
3. c) \[402\times 2\] ____ \[803\times 1\]
4. d) \[504\times 2\] ____ \[300\times 4\]

Lời giải: 

1. a) \[213\times 3\] ____ \[324\times 2\]

Ta có: \[213\times 3=639\] và  \[324\times 2=648\]

Vậy \[213\times 3\] < \[324\times 2\]

1. b) \[105\times 6\] ____ \[210\times 3\]

Ta có: \[105\times 6=630\] và \[210\times 3=630\]

Vậy \[105\times 6\]  =  \[210\times 3\]

1. c) \[402\times 2\] ____ \[803\times 1\]

Ta có: \[402\times 2=804\] và \[803\times 1=803\]

Vậy \[402\times 2\] > \[803\times 1\]

1. d) \[504\times 2\] ____ \[300\times 4\]

Ta có: \[504\times 2=1008\] và \[300\times 4=1200\]

Vậy \[504\times 2\] < \[300\times 4\]

1.4. Tìm x trong phép nhân số có 3 chữ số với số có một chữ số

Ngoài những dạng toán quen thuộc đã nêu ở trên, tìm thừa số chưa biết hay tìm “x” cũng là một dạng bài được sử dụng thường xuyên trong chương trình toán tiểu học. Khi bạn được cho biết trước tích và một trong hai thừa số, nhiệm vụ là xác định thừa số còn lại. 

Phương pháp giải ở đây là thực hiện phép chia, cụ thể là: ta lấy tích chia cho thừa số đã biết để tìm ra thừa số chưa xác định. Sau khi tìm ra kết quả, bạn cũng nên nhân lại hai thừa số để kiểm chứng độ chính xác của phép tính.

Như vậy, 2 kiến thức cần thiết dành cho dạng bài tập này: 

• Thừa số \[\times \] Thừa số = Tích
• Tích : Thừa số = Thừa số chưa biết

Ví dụ: Tìm x, biết: 

1. a) \[x\times 5=735\]
2. b) \[206\times x=824\]
3. c) \[x\times 4=1124\]
4. d) \[113\times x=678\]

Lời giải: 

147. a) \[x\times 5=735\Rightarrow x=735:5=147\]. Vậy x = 147. 
148. b) \[206\times x=824\Rightarrow x=824:206=4\]. Vậy x = 4.
149. c) \[x\times 4=1124\Rightarrow x=1124:4=281\]. Vậy x = 281.
150. d) \[113\times x=678\Rightarrow x=678:113=6\]. Vậy x = 6.

1.5. Bài toán có lời văn

Ở dạng này, bạn nhất định phải đọc thật kỹ đề bài đã cho để xác định rõ số lượng lặp lại cũng như phép tính cần sử dụng. Sau đó, lựa chọn phép nhân số có ba chữ số cùng với số có một chữ số phù hợp nhất để giải quyết bài toán. Cuối cùng, hãy trình bày lời giải một cách đầy đủ, rõ ràng và ghi đáp số chính xác.

Ví dụ: Cửa hàng của Tuyết bán được 126 chiếc bánh mỗi ngày. Hỏi trong 8 ngày, cửa hàng của Tuyết bán được mấy chiếc bánh?

Lời giải: 

Tổng số bánh mà cửa hàng của Tuyết bán được trong 8 ngày là: 

\[126\times 8=1008\] (chiếc bánh)

Đáp án: 1008 chiếc bánh

2. Bài tập vận dụng

Sau khi nắm được các dạng bài tập thường gặp của phép nhân số có ba chữ số cùng với số có một chữ số và phương pháp giải chuẩn chỉnh, bạn cần làm qua một số bài tập để củng cố kiến thức. Dưới đây là 5 bài tập đơn giản mà bạn có thể thực hành thử: 

Bài tập 1: Đặt tính rồi tính: 

1. a) \[213\times 4\]
2. b) \[306\times 5\]
3. c) \[421\times 3\]
4. d) \[508\times 6\]

Bài tập 2: Tính nhẩm

1. a) \[400\times 2=?\]
2. b) \[120\times 5=?\]
3. c) \[230\times 3=?\]
4. d) \[150\times 4=?\]

Bài tập 3: Điền dấu >, <, = vào ô trống:

1. a) \[215\times 2\] ____ \[107\times 4\]
2. b) 900 ____ \[308\times 3\]
3. c) \[510\times 2\] ____ 1020
4. d) \[444\times 2\] ____ 800 + 88

Bài tập 4: Xưởng in M tại quận A mỗi ngày in được 124 tờ quảng cáo. Sau 7 ngày, xưởng in M đã in được mấy tờ quảng cáo?

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 852, b) 1530, c) 1263, d) 3048
• Bài tập 2: a) 800, b) 600, c) 690, d) 600
• Bài tập 3: a) >, b) <, c) =, d) =. 
• Bài tập 4: 868 tờ quảng cáo.

Nhân số có 3 chữ số với số có một chữ số là một kỹ năng đặc biệt cần thiết để bạn thực hiện được nhiều bài toán phức tạp hơn. Mong rằng với tất cả những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã nắm vững được các dạng bài thường gặp về phép tính này và cách giải đúng rồi nhé!

Bài viết Tổng hợp các dạng bài tập về phép nhân số có 3 chữ số có một chữ số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các dạng bài tập thường gặp của phép nhân với số có một chữ số

1.1. Đặt tính rồi tính 

Khi thực hiện phép nhân giữa một số nào đó với một số có một chữ số, các em học sinh không chỉ cần tính đúng mà còn phải biết cách trình bày một bài toán rõ ràng và chi tiết theo hàng dọc. Phương pháp giải bài như sau:

• Bước 1: Trình bày phép tính:
  • Trước hết, bạn hãy viết số có nhiều chữ số ở dòng trên cùng, đó là số bị nhân.
  • Số có một chữ số sẽ đặt ở dưới (thừa số), sao cho chữ số thuộc hàng đơn vị của nó nằm ngay phía dưới chữ số hàng đơn vị của số bên trên.
  • Sau khi đã viết hai số đề cho đúng vị trí, bạn hãy kẻ thêm một đường thẳng nằm ngang ở phía dưới để ngăn cách phần đề bài và phần chuẩn bị tính.
• Bước 2: Thực hiện phép nhân theo từng hàng, bắt đầu theo hướng từ bên phải:
  • Nhân các số thuộc hàng đơn vị trước, sau đó mới nhân đến hàng chục, trăm, nghìn…
  • Nếu tích lớn hơn hoặc đúng bằng 10, bạn cần ghi chữ số hàng đơn vị và nhớ chữ số hàng chục sang lần nhân kế tiếp.
  • Tiếp tục nhân và cộng thêm số nhớ (nếu có), rồi viết kết quả theo đúng thứ tự hàng.
• Bước 3: Viết lại kết quả cuối cùng: Sau khi nhận hết các hàng và cộng thêm số nhớ ở bước cuối (nếu có), bạn cần ghi lại kết quả cuối cùng ngay bên dưới vạch ngang.

Lưu ý rằng, trong quá trình tính toán, cần viết các chữ số thẳng hàng và rõ ràng để tránh nhầm lẫn.

Ví dụ: Đặt tính rồi tính:

1. a) \[24\times 3\]
2. b) \[136\times 4\]
3. c) \[205\times 6\]
4. d) \[408\times 7\]

Lời giải: 

1.2. Dạng toán tính nhẩm khi nhân với số có một chữ số

Để giải được dạng toán này, bạn có thể dùng đến kiến thức về bảng cửu chương, tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng hoặc phân tích các số đề cho thành những thành phần đơn giản. Phương pháp giải bài cụ thể như sau:

Cách 1: Sử dụng bảng cửu chương:

• Đối với những phép nhân đơn giản như \[3\times 4\], \[3\times 2\], \[5\times 3\],… bạn chỉ cần ghi nhớ bảng cửu chương từ 2 – 9 để trả lời nhanh chóng.
• Cách này thích hợp dùng nhất khi mà hai thừa số ở đề bài đều nhỏ và đã được ghi rõ ràng trong bảng nhân.

Cách 2: Phân tách số đã cho thành những phần tròn chục:

• Nếu một số lớn (có từ 2 chữ số trở lên) được nhân với một chữ số, ta có thể tách số đó thành hàng chục và hàng đơn vị, sau đó mới nhân từng phần rồi cộng lại.
• Đây là áp dụng tính chất phân phối:

\[a\times(b+c)=a\times b+a\times c\]

• Ví dụ: \[34\times 3=(30+4)\times 3=30\times 3+4\times 3=90+12=102\]

Cách 3: Nhẩm theo thứ tự từ hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị

• Với số lớn có nhiều chữ số, bạn có thể thực hiện nhẩm nhân từ hướng trái sang phải, sau đó mới cộng dồn lại các kết quả.
• Cách này sẽ giúp bạn tránh được những sai sót khi tính nhẩm trong đầu hay trên giấy nháp.

Ví dụ: Tính nhẩm: 

1. a) \[23\times 4=?\]
2. b) \[105\times 3=?\]
3. c) \[408\times 2=?\]
4. d) \[209\times 3=?\]

Lời giải: 

1. a) \[23\times 4=(20+3)\times 4=20\times 4+3\times 4=80+12=92\]
2. b) \[105\times 3=(100+5)\times 3=100\times 3+5\times 3=300+15=315\]
3. c) \[408\times 2=(400+8)\times 2=400\times 2+8\times 2=800+16=816\]
4. d) \[209\times 3=(200+9)\times 3=200\times 3+9\times 3=600+18=618\]

 1.3. Dạng bài tập so sánh

Bài toán so sánh liên quan đến phép nhân với số có một chữ số thường yêu cầu các em học sinh nhận biết đâu là biểu thức có giá trị lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng nhau. Phương pháp giải bài như sau:

• Bước 1: Tính giá trị biểu thức ở cả hai vế
  • Trước tiên, cần tính đúng kết quả của từng vế.
  • Nếu biểu thức là phép nhân đơn giản, bạn có thể nhẩm nhanh.
  • Nếu biểu thức đề cho phức tạp hơn, bạn cần thực hiện đặt tính rồi tính giấy nháp để đảm bảo độ chính xác.
• Bước 2: So sánh các kết quả đã tìm được bằng cách điền dấu >, <, =:
  • Nếu vế trái < vế phải, chọn dấu “<”
  • Nếu vế trái > vế phải, chọn dấu “>”
  • Nếu hai vế bằng nhau, dùng dấu “=”
• Bước 3: Ghi lại phép so sánh đầy đủ
  • Viết lại biểu thức đầy đủ cùng với dấu so sánh chính xác ở giữa.
  • Nếu là bài điền dấu, bạn chỉ cần điền đúng một trong ba dấu: >, < hoặc =.

Lưu ý rằng, không nên vội vàng điền dấu trước khi thực hiện xong bước tính toán kỹ lưỡng, vì dễ dẫn đến sai sót trong những bài có số lớn hay có yếu tố “bẫy” như số 0.

Ví dụ: So sánh: 

1. a) \[7\times 5\] ____ \[8\times 4\]
2. b) \[36\times 2\] ____ 72
3. c) \[103\times 3\] ____ 309
4. d) 810 ____ \[205\times 4\]

Lời giải: 

1. a) \[7\times 5\] ____ \[8\times 4\]

Ta có: \[7\times 5=35\] và \[8\times 4=32\]

\[\Rightarrow 7\times 5>8\times 4\]

1. b) \[36\times 2\] ____ 72

Ta có: \[36\times 2=72\]

Vì 2 vế bằng nhau:

\[\Rightarrow 36\times 2=72\]

1. c) \[103\times 3\] ____ 309

Ta có: \[103\times 3=309\]

Vì 2 vế bằng nhau:

\[\Rightarrow 103\times 3=309\]

1. d) 810 ____ \[205\times 4\]

Ta có: \[205\times 4=820\]

\[\Rightarrow 810<205\times 4\]

1.4. Tìm thừa số chưa biết

Khi thực hiện phép nhân với số có một chữ số, ta thường biết hai thừa số và tìm tích. Tuy nhiên, trong một vài bài toán, đề bài lại cho bạn biết trước tích và một thừa số, sau đó đưa ra yêu cầu tìm thừa số còn lại. Dạng toán này sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng suy luận ngược cũng như hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa những thành phần trong phép nhân. 

Để giải bài này, bạn cần dùng đến các kiến thức sau:

• Trong phép nhân: Thừa số \[\times \] Thừa số = Tích
• Nếu biết một thừa số và tích, muốn tìm thừa số còn lại, thì ta thực hiện phép chia: Tích : Thừa số = Thừa số chưa biết

Ví dụ: Tìm x, biết: 

1. a) \[x\times 6=54\]
2. b) \[8\times x=64\]
3. c) \[x\times 7=35\]
4. d) \[4\times x=32\]

Lời giải: 

1. a) \[x\times 6=54\Rightarrow x=54:6=9\]. Vậy x = 9
2. b) \[8\times x=64\Rightarrow x=64:8=8\]. Vậy x = 8
3. c) \[x\times 7=35\Rightarrow x=35:7=5\]. Vậy x = 5
4. d) \[4\times x=32\Rightarrow x=32:4=8\]. Vậy x = 8. 

1.5. Giải toán có lời văn với phép nhân với số có một chữ số

Toán có lời văn là dạng một bài tập giúp các em học sinh vận dụng phép toán vào trong nhiều tình huống thực tế khác nhau. Đối với phép nhân cùng số có một chữ số, các bài toán thường liên quan đến những tình huống lặp lại như: “bao nhiêu cái như thế thì có tất cả bao nhiêu…”, “mỗi… có…”, “một… có…”,… Phương pháp giải cụ thể như sau:

• Bước 1: Đọc kỹ đề bài:
  • Tìm hiểu rõ xem đề bài đã cho nói về điều gì và yêu cầu ra sao. 
  • Nhận biết tất cả dữ liệu quan trọng như: số nhóm, tổng số hay số lượng thuộc mỗi nhóm.
• Bước 2: Xác định phép toán: Nếu đề bài nói đến sự lặp lại với cùng một đơn vị (ví dụ như mỗi túi có 6 quả, có 4 túi), bạn cần dùng đến phép nhân để thực hiện bước tính tổng.
• Bước 3: Trình bày bài giải:
  • Viết câu lời giải thích hợp với yêu cầu của đề.
  • Thực hiện phép tính chính xác.
  • Ghi đáp số một cách rõ ràng, đặc biệt là phải đúng đơn vị.
• Bước 4: Kiểm tra lại: Xem lại đề bài, sau đó đối chiếu với cách giải để chắc chắn không bỏ sót bất kỳ dữ kiện nào và tính đúng.

Ví dụ: Hương được ba mẹ mua cho 5 hộp bút màu. Trong đó, mỗi hộp đựng 12 cây bút. Hỏi Hương có tất cả bao nhiêu cây bút màu?

Lời giải: 

Số cây bút màu mà Hương hiện đang có là: 

\[12\times 5=60\] (cây bút)

Đáp số: 60 cây bút màu

2. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính nhẩm: 

1. a) \[6\times 5=?\]
2. b) \[9\times 4=?\]
3. c) \[102\times 2=?\]
4. d) \[303\times 3=?\]

Bài tập 2: Đặt tính rồi tính: 

1. a) \[426\times 3\]
2. b) \[205\times 4\]
3. c) \[813\times 2\]
4. d) \[609\times 5\]

Bài tập 3: So sánh: 

1. a) \[7\times 6\] ____ \[9\times 4\]
2. b) \[8\times 5\] ____ \[10\times 4\]
3. c) \[3\times 9\] ____ \[4\times 6\]
4. d) \[11\times 2\] ____ \[5\times 5\]

Bài tập 4: Tìm x, biết: 

1. a) \[x\times 5=60\]
2. b) \[7\times x=56\]
3. c) \[x\times 9=63\]
4. d) \[8\times x=48\]

Bài tập 5: Nhà Tuấn có nuôi 12 chú gà mái, sau đó mỗi chú gà đẻ ra 6 quả trứng. Hỏi tổng số trứng mà gà nhà Tuấn đẻ được là bao nhiêu?

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 30, b) 36, c) 204, d) 909
• Bài tập 2: a) 1278, b) 820, c) 1626, d) 3046
• Bài tập 3: a) >, b) =, c) >, d) <. 
• Bài tập 4: a) x = 12, b) x = 8, c) x = 7, d) x = 6
• Bài tập 5: 72 quả trứng gà. 

Nhân với số có một chữ số là kiến thức cơ bản và quan trọng trong toán tiểu học, giúp bạn tiếp cận tốt với những phép nhân lớn hơn. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã nắm được cách giải quyết các dạng bài thường gặp rồi nhé!

Bài viết 5 Dạng bài về phép nhân số có một chữ số và phương pháp giải đúng đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa – Lý thuyết phép cộng có nhớ số có 2 chữ số với số có một chữ số

Định nghĩa

Để cộng một số có hai chữ số với một số có một chữ số, ta cần thực hiện cộng từng hàng theo thứ tự từ phải sang trái (tức là từ hàng đơn vị trước, rồi đến hàng chục). Nếu cộng hàng đơn vị mà lớn hơn 9, ta nhớ 1 sang hàng chục.

Ví dụ: Cộng 28 + 5:

• Hàng đơn vị: \[8 + 5 = 13\] → ghi 3, nhớ 1
• Hàng chục: \[2 + 1 (nhớ) = 3\]
  → Kết quả phép tính là 33

Công thức

Việc áp dụng công thức cộng có nhớ không bắt buộc phải thuộc lòng theo dạng cứng nhắc, nhưng học sinh nên hiểu rõ từng bước để không bị rối khi làm. Đặc biệt, hiểu đúng cách “nhớ 1” là điều rất quan trọng khi học phép cộng trong phạm vi 100.

Công thức: Với ab + c (trong đó ab là số có 2 chữ số, c là số có 1 chữ số):

1. Cộng hàng đơn vị: b + c
   • Nếu < 10 → ghi kết quả
   • Nếu ≥ 10 → ghi số đơn vị, nhớ 1
2. Cộng hàng chục: a + số nhớ 

Các dạng toán thường gặp

Việc chia nhỏ các dạng toán sẽ giúp học sinh luyện tập từng phần dễ dàng hơn, từ đơn giản đến phức tạp. Phải kể đến những dạng toán phổ biến mà học sinh lớp 2 thường gặp khi học về phép cộng có nhớ hai chữ số với một chữ số như sau:

Dạng 1: Cộng có nhớ thẳng cột

Ví dụ:

  47

+   8

______

• Trước hết ta lấy \[7 + 8 = 15\] → ghi 5, nhớ 1
• Tiếp tục với hàng chục \[4 + 1 = 5\]
• Đáp án phép tính là 55

Dạng 2: Cộng trong câu hỏi tự nhiên

Dạng này đề bài toán thường đưa ra sự việc nào đó, học sinh sẽ cần hiểu và đặt phép tính phù hợp.

Ví dụ: Bạn An có 36 viên bi, bạn Bình cho thêm 7 viên bi nữa. Hỏi bạn An có tất cả bao nhiêu viên bi?

Lời giải: Ta có phép tính: \[36 + 7\]

• Trước hết ta lấy \[6 + 7 = 13\] → ghi 3, nhớ 1
• Tiếp tục với hàng chục \[3 + 1 = 4\]
• Đáp án phép tính là 43 viên bi

Dạng 3: Tìm số bị cộng

Dạng toán này ngược lại so với các bài toán cộng thông thường. Đề sẽ cho số tổng và số cộng, học sinh cần tìm số bị cộng.

Ví dụ: Số nào cộng với 6 thì được 41?

Lời giải: Số bị cộng = \[41 – 6 = 35\]

Bài tập phép cộng có nhớ số có 2 chữ số với số có một chữ số

Các bài toán sẽ giúp học sinh luyện tập thành thạo phép cộng có nhớ số có 2 chữ số với số có một chữ số. Từ dạng đặt tính đến dạng lời văn, giúp rèn kỹ năng làm tính chính xác và hiểu bài sâu hơn.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Đặt tính rồi tính: \[38 + 7\]
Lời giải:

• \[8 + 7 = 15\] → ghi 5, nhớ 1
• \[3 + 1 = 4\]
  → Đáp án: 45

Bài 2: Đặt tính rồi tính: \[49 + 5\]
Lời giải:

• \[9 + 5 = 14\] → ghi 4, nhớ 1
• \[4 + 1 = 5\]
  → Đáp án: 54

Bài 3: Tính: \[26 + 8 = ?\]
Lời giải:
\[6 + 8 = 14\] → ghi 4, nhớ 1
\[2 + 1 = 3\]
→ Đáp án: 34

Bài 4: Tìm số: \[? + 6 = 43\]
Lời giải: \[? = 43 – 6 = 37\]

Bài 5: Một cửa hàng bán được 25 chiếc áo buổi sáng và thêm 7 chiếc buổi chiều. Hỏi cả ngày bán được bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải:
\[25 + 7 = 32\] (chiếc áo)

Bài 6: Một đoàn tàu chở 58 người, tại ga tiếp theo có thêm 6 người lên tàu. Hỏi trên tàu có tất cả bao nhiêu người?

Lời giải: \[58 + 6 = 64\] (người)

Bài 7: Đặt tính rồi tính: \[\[67 + 9
Lời giải:  \[7 + 9 = 16\] → ghi 6, nhớ 1
\[6 + 1 = 7\]
→ Đáp án: 76

Bài 7: Một lớp học có 38 học sinh, có thêm 9 học sinh mới chuyển đến. Hỏi lớp học hiện tại có bao nhiêu học sinh?

Lời giải:  \[38 + 9 = 47\] học sinh

Bài 8: Một xe buýt đang chở 46 người. Tại trạm kế tiếp, có 8 người lên. Hỏi xe có tất cả bao nhiêu người?

Lời giải: \[46 + 8 = 54\] người

Bài 9: Số nào cộng với 9 thì được 63?

Lời giải: \[63 – 9 = 54\]

Bài 10: Bạn Lan có một số viên kẹo. Sau khi mẹ cho thêm 6 viên, bạn có tất cả 49 viên. Hỏi ban đầu bạn Lan có bao nhiêu viên kẹo?

Lời giải: \[49 – 6 = 43\] viên

Bài tập nâng cao

Bài 1: Trong thư viện có 48 quyển sách. Lớp 2A mượn 7 quyển, lớp 2B mượn thêm 6 quyển. Hỏi trong thư viện còn lại bao nhiêu quyển sách?

Lời giải:

• Tổng số sách mượn: \[7 + 6 = 13\]
• Sách còn lại: \[48 – 13 = 35\] (quyển)

Bài 2: Một xe buýt chở 38 người, đến bến đầu tiên có 7 người xuống, sau đó có 5 người lên. Hỏi trên xe lúc này có bao nhiêu người?

Lời giải:

• Sau bến đầu tiên: \[38 – 7 = 31\]
• Sau khi có người lên: \[31 + 5 = 36\] (người)

Bài 3: Một xấp giấy có 45 tờ, người ta dùng 9 tờ để làm thiệp, sau đó cắt thêm 6 tờ để gấp hoa. Hỏi còn lại bao nhiêu tờ giấy?

Lời giải:

• Tổng số tờ đã dùng: \[9 + 6 = 15\]
• Số tờ còn lại: \[45 – 15 = 30\] (tờ)

Bài 4: Tổng của một số với 8 là số lớn hơn 50 nhưng nhỏ hơn 60. Hỏi số đó có thể là những số nào?

Lời giải:
Số cần tìm + 8 ∈ (50; 60) → Số cần tìm ∈ (42; 52)
→ Các số: 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51

Lời kết

Có thể thấy phép cộng có nhớ số có 2 chữ số với số có một chữ số là tiền đề quan trọng của việc tính toán các số lớn hơn hay các phép toán phức tạp hơn sau này. Mong rằng thông qua tổng hợp lý thuyết và các bài tập trên đây, học sinh không chỉ nắm được kỹ thuật mà còn hiểu rõ bản chất của phép cộng. Đừng quên luyện tập thường xuyên để thành thạo tính nhanh và ít bị nhầm lẫn hơn nhé!

Bài viết Góc toán học: Phép cộng có nhớ số có 2 chữ số với số có một chữ số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

Định nghĩa biểu đồ hình quạt tròn

Khi bạn nhìn thấy một chiếc bánh pizza được chia thành từng lát, bạn đang thấy một hình ảnh giống biểu đồ hình quạt tròn. Biểu đồ này được dùng để biểu diễn một tổng thể (100%) được chia thành các phần theo tỉ lệ phần trăm. Mỗi phần đó là một góc trong hình tròn giống như các lát bánh và kích thước mỗi góc phụ thuộc vào phần trăm của dữ liệu tương ứng.
Như vậy, khái niệm về biểu đồ hình quạt tròn là biểu đồ dùng một vòng tròn để biểu diễn các phần dữ liệu theo tỷ lệ phần trăm. Mỗi phần dữ liệu được thể hiện bằng một cung tròn (quạt) tương ứng với góc ở tâm theo tỷ lệ phần trăm trong tổng số.

Để hiểu cách hoạt động của biểu đồ quạt tròn, hãy tưởng tượng tổng dữ liệu của bạn là một hình tròn 360 độ. Mỗi phần trăm sẽ tương ứng với một góc trong hình tròn. Ví dụ, 50% sẽ tương đương với góc 180 độ, vì \[50\% \times 360^\circ = 180^\circ\]. Từ đó, bạn có thể dễ dàng chuyển số liệu sang biểu đồ hình quạt.

Một số điểm cần nhớ:

• Tổng số liệu tương ứng với góc 360 độ.
• Tỉ lệ phần trăm càng lớn thì cung tròn (quạt) càng rộng.
• Biểu đồ hình quạt rất hữu ích để so sánh phần lớn – phần nhỏ.

Công thức chuyển dữ liệu sang biểu đồ hình quạt tròn

Muốn thể hiện dữ liệu lên biểu đồ hình quạt, ta cần chuyển đổi số liệu thành góc quạt.

Công thức:

Gọi lần lượt các giá trị:

• A: Góc quạt
• B: Giá trị cần biểu diễn
• C: Tổng các giá trị

Ta có tông thức: \[A = \frac{B}{C} \times 360^\circ\]

Ngược lại, nếu biết góc biểu diễn và tổng số lượng, có thể tính ra giá trị của phần đó bằng:

\[B = \frac{A}{360} \times C\]

Ví dụ: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó 10 bạn thích môn Toán. Góc biểu diễn phần học sinh thích môn Toán là:

\[\frac{10}{40} \times 360^\circ = 90^\circ\]

Tức là phần Toán trên biểu đồ sẽ chiếm 1/4 hình tròn.

Các dạng bài toán thường gặp về biểu đồ hình quạt tròn

Khi làm việc với biểu đồ hình quạt, học sinh sẽ thường gặp một số dạng bài. Mỗi dạng đều mang đặc trưng riêng và giúp học sinh phát triển kỹ năng đọc hiểu và tính toán từ biểu đồ:

Dạng 1: Đọc số liệu từ biểu đồ hình quạt

Với dạng này, bạn hãy nhìn vào biểu đồ và xác định tên các phần, tỷ lệ phần trăm hoặc số độ, sau đó tính số lượng cụ thể.

Ví dụ: Một biểu đồ quạt biểu diễn số học sinh thích các môn học: Toán: 120°, Văn: 90°, Anh: 60°, Khác: 90°. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh?

Lời giải:
Tổng góc = 360°, nên ta có tỉ lệ học sinh theo từng môn như sau:

• Toán: \[\frac{120}{360} = \frac{1}{3}\]
• Văn: \[\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\]
• Anh: \[\frac{60}{360} = \frac{1}{6}\]
• Khác: \[\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\]

Gọi số học sinh là x, tổng tỉ lệ là:
\[\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}x = x\]
Tìm mẫu chung:\[\frac{4x + 3x + 2x + 3x}{12} = \frac{12x}{12} = x\]
Tiếp tục chọn bất kỳ phần để tính, ví dụ Toán chiếm 20 học sinh thì tổng là:
\[ 20 \div \frac{1}{3} = 60\]

Dạng 2: Tính góc quạt từ số liệu

Với dạng này bạn sẽ dùng công thức chuyển tỉ lệ sang độ như đã nêu tại nội dung trên. 

Ví dụ: Có 80 học sinh, trong đó 24 học sinh thích vẽ. Tính góc quạt biểu diễn phần học sinh thích vẽ.

Lời giải: \[\frac{24}{80} \times 360^\circ = 108^\circ\]

Dạng 3: Tìm số học sinh từ biểu đồ đã cho góc

Dạng này khi đã biết góc và tổng số học sinh, bạn sẽ dùng công thức: \[A = \frac{B}{C} \times 360^\circ\]

Ví dụ: Biểu đồ quạt của một lớp có 360 học sinh, phần Âm nhạc chiếm 72°. Hỏi có bao nhiêu học sinh thích âm nhạc?

Áp dụng công thức ta có: \[\frac{72}{360} \times 360 = 72\] học sinh

Dạng 4: So sánh các phần biểu đồ hình quạt tròn

Bạn sẽ giải mã dạng toán này bằng cách so sánh độ rộng góc quạt hoặc phần trăm tương ứng.

Ví dụ:  Biểu đồ có các phần: Toán (144°), Văn (108°), Ngoại ngữ (72°), Khác (36°). Môn nào được yêu thích nhất?

Lời giải: Vì Toán chiếm 144°, lớn nhất trong các môn. Vì vậy kết luận môn Toán được yêu thích nhất.

Bài tập vận dụng có lời giải biểu đồ hình quạt tròn

Các bài tập sẽ giúp học sinh củng cố lại kiến thức, ghi nhớ lý thuyết hiệu quả hơn hết. Hãy cùng chinh phục một số bài tập được phân định cơ bản và nâng cao bên dưới nhé!

Bài tập cơ bản

1. Một lớp có 60 học sinh. Biết có 18 học sinh thích Toán. Hỏi góc biểu diễn phần học sinh thích Toán là bao nhiêu độ?
   Lời giải: \[\frac{18}{60} \times 360 = 108^\circ\]
2. Một biểu đồ có phần Thể thao là 120°, hỏi tỉ lệ phần trăm tương ứng.
   Lời giải: \[\frac{120}{360} = \frac{1}{3} = 33,3\%\]
3. Tổng số học sinh là 90, trong đó 30 học sinh thích Âm nhạc. Tính góc biểu diễn phần này.
   Lời giải:\[ \frac{30}{90} \times 360 = 120^\circ\]
4. Biểu đồ hình quạt có các phần: Văn (90°), Toán (120°), Khoa học (150°). Môn nào được ít học sinh chọn nhất?
   Lời giải: Vì Văn chiếm 90°, nhỏ nhất trong các môn. Vì vậy kết luận môn Văn được ít học sinh chọn nhất.
5. Nếu phần Khác chiếm 45°, hỏi phần trăm tương ứng là bao nhiêu?
   Lời giải:\[ \frac{45}{360} = \frac{1}{8} = 12,5\%\]
6. Có 72 học sinh, biết ¼ thích Tin học. Tính góc quạt tương ứng.
   Lời giải: \[\frac{1}{4} \times 360 = 90^\circ\]
7. Một biểu đồ có phần Văn chiếm 144°, phần “Toán” chiếm 108°. Hỏi phần nào chiếm nhiều hơn?
   Lời giải: Văn

Bài tập nâng cao 

Một số bài tập bên dưới có kết hợp giữa nhiều kỹ năng hơn, cụ thể là đọc, tính và suy luận từ biểu đồ:

1. Một lớp có 120 học sinh. Biểu đồ có phần Toán (90°), Văn (120°), Anh (60°), Khác (90°). Tính số học sinh mỗi nhóm.
   Lời giải: Toán: \[\frac{90}{360} \times 120 = 30\]

Văn: 40, Anh: 20, Khác: 30

1. Một biểu đồ hình quạt có phần Tin học là 25%, tính góc quạt tương ứng.
   Lời giải: \[0.25 \times 360 = 90^\circ\]
2. Tổng số người khảo sát là 480. Biết phần Y tế là 108°, hỏi số người chọn Y tế.
   Lời giải: \[\frac{108}{360} \times 480 = 144\]
3. Biểu đồ có phần Chơi thể thao chiếm gấp đôi phần Đọc sách, tổng 180°. Tính số độ của mỗi phần.
   Lời giải: Gọi Đọc sách là x ⇒ Thể thao = 2x
   \[x + 2x = 180\] ⇒ \[3x = 180\] ⇒ \[x = 60\], \[2x = 120\]
4. Tổng học sinh: 240. Biết 60 học sinh thích môn Mỹ thuật. Tính góc quạt.
   Lời giải: \[\frac{60}{240} \times 360 = 90^\circ\]
5. Một biểu đồ gồm 5 phần bằng nhau. Hỏi mỗi phần chiếm bao nhiêu phần trăm và bao nhiêu độ?
   Lời giải:\[ \frac{1}{5} = 20\%\]

Góc = \[360 \div 5 = 72^\circ\]

1. Một biểu đồ có 4 phần: A (25%), B (35%), C (15%), D (25%). Hỏi phần có góc nhỏ nhất và là bao nhiêu độ?

 Lời giải: C là phần nhỏ nhất. Góc = \[0.15 \times 360 = 54^\circ\]

Lời kết

Biểu đồ hình quạt tròn không chỉ là một công cụ học tập trong chương trình Toán học, mà còn là phương tiện quan trọng để trình bày dữ liệu trong cuộc sống. Do vậy mà giúp các em có kỹ năng quan sát và phân tích tốt hơn. Mong rằng với bài học hôm nay, học sinh có thể hệ thống lại kiến thức và đọc hiểu những thông số quan trọng nhé.

Bài viết Biểu đồ hình quạt tròn – Tổng hợp lý thuyết và bài tập dễ hiểu đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các kiến thức cần nhớ

Phép cộng số có hai chữ số với số có hai chữ số là dạng toán cơ bản nhưng lại đóng vai trò quan trọng trong chương trình toán khối lớp 2 và lớp 3. Theo đó, việc chắc kiến thức nền tảng sẽ giúp học sinh thực hiện phép cộng chính xác và nhanh chóng hơn. Dưới đây là một số kiến thức trọng điểm mà bạn nên ghi nhớ:

1.1. Khái niệm số có hai chữ số

Số có hai chữ số là những số nằm trong khoảng từ 10 đến 99. Theo đó, mỗi số này sẽ được tạo ra bởi hai thành phần:

• Chữ số hàng chục (số đứng bên trái),
• Chữ số hàng đơn vị (số đứng bên phải).

Ví dụ:

• Số 47 gồm 4 chục và 7 đơn vị.
• Số 92 gồm 9 chục và 2 đơn vị.

Khi nắm vững cấu trúc này, bạn sẽ dễ dàng phân tích tất cả các số đề bài cho trước khi thực hiện phép tính cộng ở những dạng bài toán thường gặp.

1.2. Định nghĩa về phép cộng số hai số có hai chữ số

Phép cộng hai số có hai chữ số được xem một trong những phép tính cơ bản, trong đó, cả hai số hạng đều thuộc khoảng từ 10 – 99. Khi thực hiện phép cộng ở dạng này, chúng ta có thể bắt gặp hai trường hợp sau:

• Không nhớ: Tổng các chữ số ở mỗi hàng không vượt quá 9.
• Có nhớ: Tổng các chữ số nằm ở hàng đơn vị vượt quá 9, bạn buộc phải “nhớ” sang hàng chục.

Ví dụ:

• 23 + 41 = 64 (phép cộng không nhớ).
• 28 + 47 = 75 (phép cộng có nhớ 1 sang hàng chục).

2. Các dạng bài thường gặp về phép cộng số có hai chữ số với số có hai chữ số

Khi tìm hiểu về phép cộng hai số có hai chữ số, các em học sinh sẽ được làm quen với nhiều kiểu bài khác nhau. Mỗi dạng bài đều giúp các em phát triển một kỹ năng cụ thể như: tính nhẩm nhanh, so sánh kết quả, trình bày phép tính đúng cách hay vận dụng vào giải quyết tình huống thực tế. Dưới đây là 4 dạng bài cơ bản mà bạn nên tham khảo:

2.1. Tính nhẩm

Ở dạng bài này, bạn không cần phải đặt tính mà thực hiện phép cộng trực tiếp trong đầu. Để có thể nhẩm đúng, bạn nên tách số thành chục và đơn vị rồi mới cộng theo từng phần, cụ thể là: 

• Cộng hàng chục với hàng chục.
• Cộng hàng đơn vị với hàng đơn vị.
• Gộp lại kết quả, nếu hàng đơn vị đã vượt quá 10 thì hãy cộng thêm 1 vào hàng chục.

Ví dụ: Tính nhẩm: 

1. a) 20 + 40 = ?
2. b) 34 + 21 = ?
3. c) 46 + 32 = ?
4. d) 58 + 17 = ?

Lời giải: 

1. a) 20 + 40 = ?

Ta có: 2 chục + 4 chục = 6 chục => 20 + 40 = 60.

1. b) 34 + 21 = ?

Ta có: 30 + 20 = 50; 4 + 1 = 5 => 50 + 5 = 55. 

Vậy 34 + 21 = 55.

1. c) 46 + 32 = ?

Ta có: 40 + 30 = 70; 6 + 2 = 8 => 70 + 8 = 78. 

Vậy 46 + 32 = 78.

1. d) 58 + 17 = ?

Ta có: 50 + 10 = 60; 8 + 7 = 15 => 60 + 15 = 75.

Vậy  58 + 17 = 75. 

2.2. Đặt tính rồi tính trong phép cộng số có hai chữ số với số có hai chữ số

Khi giải những bài tập yêu cầu đặt tính, các em học sinh cần sắp xếp các số theo hàng dọc sao cho các chữ số cùng hàng nằm thẳng cột với nhau. Sau đó, thực hiện cộng từ hướng phải sang trái, bắt đầu với hàng đơn vị rồi mới đến hàng chục. Cụ thể như sau:

• Trình bày hai số sao cho chữ số hàng chục thẳng với hàng chục, hàng đơn vị nằm đúng cột với hàng đơn vị, tạo nên một phép cộng theo một chiều dọc.
• Cộng hàng đơn vị trước. Nếu tổng lại lớn hơn hoặc đúng bằng 10, thì bạn hãy viết chữ số đơn vị và nhớ chữ số ở hàng chục.
• Cộng tiếp hàng chục, nếu có nhớ trước đó thì cộng thêm 1.

Ví dụ: Đặt tính rồi tính: 

1. a) 48 + 36
2. b) 59 + 27
3. c) 63 + 29
4. d) 75 + 18

Lời giải: 

2.3. So sánh 

Trong quá trình học về phép cộng số có hai chữ số với số có hai chữ số, bạn cần được tiếp xúc với dạng bài so sánh. Tuy nhiên, bạn không cần phải lo lắng! Đây cũng được xem là một dạng bài cơ bản và có thể giải quyết nhanh chóng chỉ với 2 bước sau: 

• Thực hiện phép tính cộng ở cả hai vế.
• Tiến hành so sánh kết quả, rồi dùng các dấu: > (lớn hơn), < (bé hơn), = (bằng nhau) vào ô trống.

Ví dụ: Điền dấu (>, <, =) vào ô trống: 

1. a) 34 + 25 … 40 + 19
2. b) 62 + 13 … 41 + 32
3. c) 55 + 27 … 80 + 1
4. d) 48 + 26 … 50 + 24

Lời giải: 

1. a) 34 + 25 … 40 + 19

Ta có: 34 + 25 = 59 và 40 + 19 = 59

=> 34 + 25 = 40 + 19

1. b) 62 + 13 … 41 + 32

Ta có: 62 + 13 = 75 và 41 + 32 = 73 

=> 62 + 13 > 41 + 32

1. c) 55 + 27 … 80 + 1

Ta có: 55 + 27 = 82 và 80 + 1 = 81

=> 55 + 27 > 80 + 1

1. d) 48 + 26 … 50 + 24

Ta có:  48 + 26 = 74 và 50 + 24 = 74

=> 48 + 26 = 50 + 24

2.4. Bài toán có lời văn

Khác với những dạng bài mà chúng tôi vừa kể ở trên, đây lại là kiểu bài tập mà bạn cần phải vận dụng phép cộng số có hai chữ số với số có hai chữ số vào nhiều tình huống thực tế khác nhau. Phương pháp giải bài chi tiết là: 

• Đọc thật kỹ đề bài đã cho để xác định chuẩn xác phần dữ kiện và yêu cầu.
• Tóm tắt bài toán để dễ hình dung tình huống và tính toán. 
• Viết phép tính và đưa ra câu trả lời phù hợp.

Ví dụ: Thư viện của trường tiểu học A đang có 36 quyển sách Toán và 28 quyển sách Tiếng Việt. Hỏi thư viện này đang có mấy quyển sách về cả 2 loại này?

Lời giải: 

Tổng số quyển sách Toán và Tiếng Việt mà thư viện đang có là: 

36 + 28 = 64 (quyển)

Đáp số: 64 quyển sách.

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính nhẩm:

1. a) 30 + 25 = ?
2. b) 41 + 16 = ?
3. c) 52 + 33 = ?
4. d) 67 + 14 = ?

Bài tập 2: Đặt tính rồi tính:

1. a) 48 + 36 = …
2. b) 59 + 27 = …
3. c) 63 + 29 = …
4. d) 75 + 18 = …

Bài tập 3: So sánh

1. a) 46 + 15 … 39 + 22
2. b) 64 + 18 … 80 + 3
3. c) 33 + 41 … 70 + 4
4. d) 58 + 29 … 60 + 25

Bài tập 4: Trong một buổi dã ngoại, các em học sinh của lớp 3A mang theo 34 chiếc bánh mì, còn lớp 3B lại mang theo 27 chiếc bánh mì. Hỏi cả hai lớp này đã mang theo tất cả mấy chiếc bánh mì?

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 55, b) 57, c) 85, d) 81. 
• Bài tập 2: a) 84, b) 86, c) 92, d) 93.
• Bài tập 3: a) =, b) <, c) =, d) >.
• Bài tập 4: 61 chiếc bánh mì.

Phép cộng số có hai chữ số với số có hai chữ số là một trong những kiến thức mà các em học sinh phải làm quen tại chương trình toán tiểu học. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã nắm vững cách giải quyết của các dạng bài thường gặp rồi nhé!

Bài viết Khám phá chi tiết về phép cộng số có hai chữ số với số có hai chữ số đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Tóm tắt lý thuyết trọng điểm

Những kiến thức về thu thập và phân loại dữ liệu mà bạn cần ghi nhớ là:

1.1. Dữ liệu là gì?

Dữ liệu là tập hợp những thông tin thu thập được từ trong cuộc sống hoặc từ các phép đo, khảo sát. Dữ liệu có thể ở nhiều dạng như: số liệu (số học sinh trong lớp, chiều cao của từng bạn,…), chữ (màu sắc yêu thích, tên các môn học,…), hoặc hình ảnh (biểu tượng, tranh vẽ,…). Trong toán học, dữ liệu thường được biểu diễn bằng số và cần được các em học sinh xử lý để rút ra kết luận.

1.2. Thu thập dữ liệu là gì?

Thu thập dữ liệu là quá trình tìm kiếm, ghi lại và lưu trữ toàn bộ thông tin từ một chủ đề cụ thể. Theo đó, công việc này có thể thực hiện thông qua nhiều các hình thức khác nhau, chẳng hạn như: quan sát, khảo sát bằng câu hỏi, thống kê từ bảng điểm, thống kê từ hoạt động thực tế,… Ví dụ, nếu muốn biết trong lớp mới có bao nhiêu bạn thuận tay trái, cô giáo có thể cho các em giơ tay theo từng nhóm và ghi nhận lại.

Khi tiến hành thu thập dữ liệu, điều quan trọng mà bạn cần chú ý là phải xác định được mục tiêu khảo sát cụ thể. Ví dụ, nếu khảo sát về “sở thích xem chương trình truyền hình”, thì toàn bộ thông tin mà bạn đã thu thập được phải xoay quanh các thể loại chương trình, khung giờ yêu thích và tần suất xem.

1.3. Phân loại dữ liệu là gì?

Khi học về thu thập và phân loại dữ liệu trong toán học khối THCS, bạn cần phải hiểu rằng phân loại dữ liệu là cách mà chúng ta chia nhóm các thông tin theo tiêu chí nhất định để dễ dàng quan sát và so sánh. Theo đó, việc làm này sẽ giúp dữ liệu không còn rời rạc nữa, mà được sắp xếp gọn gàng và rõ ràng theo từng loại, từng nhóm.

Dữ liệu sau khi phân loại có thể được trình bày dưới dạng bảng, sơ đồ tranh, biểu đồ cột hoặc biểu đồ hình quạt để trực quan hóa thông tin, giúp người xem dễ dàng nhận biết xu hướng và đưa ra nhận xét tổng quát.

2. Một số dạng bài thường gặp về thu thập và phân loại dữ liệu

Dưới đây là 2 dạng bài tập trọng điểm về chuyên đề toán học này, phương pháp giải và ví dụ cụ thể mà bạn nên tham khảo:

2.1. Dạng 1: Thu thập và phân loại dữ liệu

Để giải quyết những bài toán có liên quan đến thu thập và phân loại các dữ liệu, bạn chỉ cần thực hiện đúng theo quy trình gồm 4 bước cụ thể. Việc này không chỉ giúp bạn hiểu rõ bản chất của thông tin cần được xử lý mà còn rèn luyện kỹ năng sắp xếp và trình bày dữ liệu một cách hợp lý. Phương pháp giải bài cụ thể là: 

• Bước 1 – Thu thập dữ liệu: Dữ liệu có thể thu được thông qua việc quan sát, đo lường, điều tra, bảng hỏi hay từ các nguồn có sẵn. Tất nhiên, quá trình thu thập này cần thực hiện đúng mục tiêu và khách quan. 
• Bước 2 – Lập bảng thống kê: Sắp xếp toàn bộ dữ liệu đã thu thập được vào bảng gồm hai cột: một cột liệt kê các đối tượng hoặc giá trị, cột còn lại thì ghi số lượng tương ứng.
• Bước 3 – Phân tích dữ liệu trong bảng và rút ra nhận xét: Từ bảng đã lập, học sinh có thể:
  • So sánh tất cả các số liệu để xác định đâu là giá trị thấp/ cao nhất trong bảng.
  • Xác định đúng dữ liệu nào xuất hiện nhiều lần nhất để biết được mức độ phổ biến.
  • Dựa trên sự phân bố dữ liệu để rút ra nhận xét hay xu hướng phù hợp với yêu cầu của bài toán.
• Bước 4 -Nhận diện loại dãy dữ liệu: Trong chuyên đề thu thập và phân loại dữ liệu khối lớp 7, bạn sẽ thường gặp phải 3 loại sau:
  • Loại 1: Dãy dữ liệu số – Đây Là tập hợp những số liệu cụ thể, có thể được dùng để thực hiện các phép toán, như số quyển vở mỗi bạn có, chiều cao các bạn trong lớp, điểm kiểm tra môn toán,…
  • Loại 2: Là những dữ liệu không phải dạng số, nhưng vẫn có thể sắp xếp đúng theo một trật tự nhất định nhờ vào đặc điểm mang tính phân cấp. Chẳng hạn như: thứ hạng học lực (trung bình, khá, giỏi) hay các khối lớp theo trình tự tăng dần (lớp 3, lớp 4, lớp 5).
  • Loại 3: Dữ liệu không mang tính số và cũng chẳng thể sắp xếp theo trình tự nhất định, vì chúng không có thứ bậc rõ ràng. Ví dụ như: sở thích về màu sắc, tên các con vật, món ăn thường dùng.

Ví dụ 1: Lớp phó thay mặt cô giáo làm khảo sát nhanh về thể loại phim được các bạn lớp 7a5 yêu thích và nhận được thống kê sau: 

Từ bảng trên, hãy cho biết: 

1. a) Số lượng học sinh lớp 7a5 làm khảo sát là mấy?
2. b) Thể loại phim được nhiều bạn yêu thích nhất?
3. c) Phim hài có mấy bạn thích?

Lời giải: 

1. a) Số học sinh lớp 7a5 thực hiện khảo sát này là: 

7 + 8 + 15 + 9 = 39 (học sinh)

1. b) Thể loại phim được nhiều bạn yêu thích nhất là hoạt hình. 
2. c) Có tổng cộng 9 bạn yêu thích thể loại phim hài.

Ví dụ 2: Trong buổi cắm trại, Huệ đã làm bảng thống kê về số hoa mà 4 người làm được như sau:

Từ bảng trên, hãy cho biết: 

1. a) Ai làm được nhiều hoa nhất?
2. b) Tất cả các bạn làm được mấy bông hoa?
3. c) Người nào làm ít hoa nhất?

Lời giải: 

1. a) Người làm được nhiều bông nhất là Yến.  
2. b) Số bông hoa cả 4 bạn làm được là: 

15 + 7 + 8 + 10 = 40 (bông)

1. c) Người làm ra ít hoa nhất lại là Huệ. 

2.2. Dạng 2: Tính đại diện của dữ liệu

Ngoài dạng bài thu thập và phân loại dữ liệu ở trên, bạn còn có thể bắt gặp dạng xác định tính đại diện của dữ liệu khi học về chuyên đề này. Phương pháp giải bài gồm 4 bước sau: 

• Bước 1: Xác định rõ ràng đối tượng mà dữ liệu ở đề bài cần được phản ánh (toàn trường, toàn bộ lớp học, một nhóm học sinh,…).
• Bước 2: Đánh giá phương pháp thu thập dữ liệu, hãy đảm bảo rằng thông tin thu được đến từ một mẫu đủ lớn, được lựa chọn khách quan và không bị ảnh hưởng bởi sự thiên lệch.
• Bước 3: Kiểm tra lại xem tất cả thông tin thu được có phản ánh đầy đủ và khách quan đặc điểm của cả nhóm đó hay không.
• Bước 4: Kết luận về mức độ đại diện của dữ liệu, từ đó đưa ra đánh giá về độ tin cậy của các kết luận được rút ra từ dữ liệu đó.

Ví dụ 1: Dưới đây là kết quả khảo sát về mức độ yêu thích môn bóng bàn của học sinh lớp 11a3:

Dữ liệu từ bảng trên có đại điện được cho sở thích của các em học sinh trong lớp 11a3 dành cho môn bóng bàn không?

Lời giải: 

Từ bảng dữ liệu trên, chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng nhóm học sinh nam trong lớp vẫn chưa được đưa vào khảo sát. Do đó, thông tin đã thu thập vẫn chưa phản ánh đầy đủ sở thích về môn bóng bàn của toàn bộ lớp 11a3.

Ví dụ 2: Để khảo sát nhanh thời gian dùng mạng internet của các em học sinh trong lớp mỗi ngày. Lớp trưởng đã thay mặt thầy giáo dạy tin học đưa ra 2 giải pháp: 

1. a) Gửi 1 bảng hỏi đến bố mẹ của tất cả các bạn trong lớp, sau đó nhờ họ trả lời và gửi lại phiếu. 
2. b) Gửi phiếu hỏi đến toàn bộ bạn học thuộc câu lạc bộ tin học của trường. 

Theo bạn, cách nào thích hợp hơn?

Lời giải:

Cách 1 thích hợp hơn, vì nó đã đại diện được cho toàn bộ học sinh của lớp học.

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Nhà của Hương mở một tiệm kem, bạn ấy đang muốn tìm hiểu về những vị kem mà khách hàng đến vào tối thứ bảy và thứ sáu yêu thích, rồi nhận được kết quả sau: 

Hương kết luận rằng: “Đa số khách hàng đều thích vị kem vani”. 

Kết luận này của Hương là đúng hay sai? 

Bài tập 2: Bạn hãy lập 1 phiếu khảo sát về mức độ xem phim hoạt hình trong thời gian rảnh rỗi của tất cả các bạn trong lớp rồi lập bảng thống kê. Sau đó, hãy phân loại các dữ liệu trong bảng. 

Bài tập 3: Thống kê về những loại sách mà các em học sinh trong lớp 7a7 đã ủng hộ cho thư viện cửa trường là: 

1. a) Hãy phân loại những dữ liệu trong bảng trên. 
2. b) Tính tổng quyển sách mà các học sinh trong lớp 7a7 đã ủng hộ.

Đáp án: 

• Bài tập 1: Kết luận mà Hương đưa ra vẫn chưa hợp lý vì số khách hàng nam còn chưa được khảo sát. 
• Bài tập 2: Học sinh có thể tự lập phiếu khảo sát theo mẫu sau: 

Phiếu khảo sát: 

Họ tên: …………

Bạn có thường xuyên xem phim hoạt hình mỗi khi có thời gian rảnh không?

(Khoanh vào phương án mà bạn chọn)

Như vậy, bạn sẽ lập được bảng thống kê, ví dụ như sau: 

Sau đó, từ dữ liệu tìm được, chúng ta phân loại như sau: 

– Dữ liệu về mức độ xem phim hoạt hình trong lúc rảnh không phải là dãy số liệu, có thể sắp xếp theo thứ tự. 

– Dữ liệu về học sinh là một dãy dữ liệu số

• Bài tập 3:
  • a) Tên các loại sách không phải dãy dữ liệu số, không thể xếp theo thứ tự. Trong khi số lượng sách lại là dãy dữ liệu số. 
  • b) 150 quyển sách. 

Thu thập và phân loại dữ liệu được xem là hai kỹ năng đặc biệt cần thiết đối với các em học sinh khối THCS, đặc biệt là lớp 7. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã hiểu rõ hơn về các định nghĩa quan trọng và biết cách giải các bài liên quan rồi nhé!

Bài viết Thu thập và phân loại dữ liệu lớp 7: Các dạng bài tập và cách giải đúng đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các kiến thức cần nhớ

Để áp dụng thành thạo mối liên hệ này vào giải toán, bạn cần phải nắm rõ các định lý, quy tắc cũng như cách vận dụng vào thực tiễn bài tập. Dưới đây là một vài kiến thức then chốt mà bạn cần ghi nhớ:

1.1. Định lý về liên hệ phép nhân và phép khai phương

Khi làm việc với các dấu căn bậc hai, chúng ta thường gặp được những biểu thức dưới dạng tích hoặc căn của tích. Để có thể xử lý được những biểu thức này một cách chuẩn xác và nhanh chóng, ta phải hiểu rõ định lý cơ bản của mối quan hệ giữa phép khai phương và phép nhân. Theo đó, nội dung định lý như sau:

Với hai số thực không âm \[ a\geq 0,b\geq 0 \], ta có: 

\[\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\]

Ý nghĩa của định lý: Định lý này cho biết, căn bậc hai của một tích nào đó bằng với tích các căn bậc hai của từng thừa số. Đây cũng là một trong những định lý cực kỳ quan trọng, giúp bạn rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, đồng thời là nền tảng để chứng minh được nhiều công thức khác liên quan đến căn.

1.2. Quy tắc khai phương một tích

Sau khi đã hiểu rõ định lý cơ bản, chúng ta cần làm rõ cách áp dụng định lý vào quy tắc khai phương của một tích. Theo đó, quy tắc này là hình thức thực hành cụ thể hóa cho định lý ở trên.

Cụ thể: Nếu muốn khai phương một tích bao gồm các số không âm, ta thực hiện việc lấy căn bậc hai cho từng thừa số rồi nhân kết quả lại với nhau. Hay nói cách khác: 

\[\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\] (với \[ a\geq 0,b\geq 0 \])

Ví dụ minh họa: 

\[\sqrt{9.4}=\sqrt{9}.\sqrt{4}=3.2=6\]

\[\sqrt{16.25}=\sqrt{16}.\sqrt{25}=4.5=20\]

\[\sqrt{1.49}=\sqrt{1}.\sqrt{49}=1.7=7\]

Lưu rằng, chúng ta không được áp dụng quy tắc này nếu bất kỳ thừa số nào nằm trong tích là số âm, vì căn bậc hai của số âm không xác định trong tập hợp số thực. Nếu áp dụng sai, kết quả mà bạn tìm thấy sẽ sai hoàn toàn.

2. Các dạng bài tập về liên hệ phép nhân và phép khai phương

2.1. Tính giá trị biểu thức

Có thể nói rằng, đây là dạng bài cơ bản và thường gặp nhất khi học về mối quan hệ thú vị này. Theo đó, nhiệm vụ chính của các em học sinh là phải thay thế những biểu thức nằm trong dấu căn căn mà đề cho bằng những giá trị cụ thể, sau đó mới thực hiện phép tính một cách chính xác nhất để tìm ra kết quả. Phương pháp giải bài chi tiết như sau:

• Hãy chắc chắn rằng toàn bộ biểu thức nằm trong dấu căn đều không nhỏ hơn 0. Nếu phát hiện có số âm, bạn cần dừng lại ngay quá trình giải và kiểm tra lại đề bài, vì căn bậc hai của số âm sẽ không bao giờ tồn tại trong phạm vi các số thực.
• Tìm căn bậc hai của từng số, nếu có thể.
• Áp dụng định lý ở phần lý thuyết
• Tính toán cẩn thận các phép nhân, chia hoặc cộng trừ còn lại để đưa ra kết quả cuối cùng.

Ví dụ: Tính: 

25. a) \[\sqrt{25.144}\]
26. b) \[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{50}{3}}-\sqrt{24}\right).\sqrt{6}\]
27. c) \[\sqrt{\frac{1}{8}}.\sqrt{2}.\sqrt{125}.\sqrt{\frac{1}{5}}\]
28. d) \[\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}.\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}\]

Lời giải: 

25. a) \[\sqrt{25.144}=\sqrt{25}.\sqrt{144}=5.12=60\]
26. b) \[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{50}{3}}-\sqrt{24}\right).\sqrt{6}=\sqrt{\frac{2}{3}.6}+\sqrt{\frac{50}{3}.6}-\sqrt{24.6}=0\]
27. c) \[\sqrt{\frac{1}{8}}.\sqrt{2}.\sqrt{125}.\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{1}{8}.2.125.\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{2.125}{8.5}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]
28. d) \[\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}.\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{5+2\sqrt{3}})^{2}}=\sqrt{9-(5+2\sqrt{3})}=\sqrt{9-5-2\sqrt{3}}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=\sqrt{3}-1\]

2.2. Dùng liên hệ phép nhân và phép khai phương để rút gọn biểu thức

Đây là dạng bài tập yêu cầu các em học sinh biến đổi biểu thức có chứa căn bậc hai sao cho đơn giản và gọn gàng hơn, thường dùng để chuẩn bị cho bước tính toán tiếp theo hoặc để chứng minh, so sánh. Để giải quyết tốt dạng bài này, bạn phải vận dụng linh hoạt các định lý và quy tắc đã học. Phương pháp cụ thể như sau:

• Nhận diện các tích hoặc nhân các căn có thể áp dụng được quy tắc liên hệ giữa phép khai phương và phép nhân. 
• Khai phương các thừa số là số chính phương, nếu có.
• Chuyển biểu thức đề cho về dạng đơn giản nhất, các căn giống nhau được nhân, chia hoặc nhóm lại. Sau đó, hãy tìm cách viết lại biểu thức để giảm số lượng của căn.
• Lưu ý rằng, bạn chỉ có thể rút gọn khi mà toàn bộ các biểu thức trong căn không âm.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: 

1. a) \[A=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}\]
2. b) \[B=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\frac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\]
3. c) \[C=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\]
4. d) \[D=\sqrt{\frac{-2t}{3}}.\sqrt{\frac{3t}{8}}(t\leq 0)\]

Lời giải: 

1. a) \[A=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}-\sqrt{5}.\sqrt{3}}{\sqrt{4}.\sqrt{2}-\sqrt{4}.\sqrt{3}}\] \[\Rightarrow A=\frac{\sqrt{5}}{2}\]. 
2. b) \[B=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\frac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}=\frac{\sqrt{5}.(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}+\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{2.(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\]
3. c) \[C=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{2}+1\]
4. d) 

\[D=\sqrt{\frac{-2t}{3}}.\sqrt{\frac{3t}{8}}(t\leq 0)=\sqrt{\frac{-2t}{3}.(\frac{-3t}{8})}=\sqrt{\frac{t^{2}}{4}}=\frac{-t}{2}(t\leq 0)\]

2.3. Giải phương trình chứa căn bậc hai

Khi học về căn bậc hai cũng như các quy tắc về liên hệ phép nhân và phép khai phương, học sinh sẽ sớm gặp những phương trình có chứa biểu thức căn. Theo đó, việc giải loại phương trình này không chỉ đòi hỏi kỹ năng biến đổi đại số, mà còn có yêu cầu đặc biệt về điều kiện xác định. Cụ thể: 

• \[\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}B\geq 0\\A=B^{2}\end{matrix}\right.\]
• \[\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}B\geq 0\hspace{0.5cm}(hoac A\geq 0)\\A=B\hspace{2.7cm}\end{matrix}\right.\]

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1. a) \[\sqrt{x^{2}-2x+4}=2x-2\]
2. b) \[\sqrt{x^{2}-2x}=\sqrt{2-3x}\]
3. c) \[\sqrt{x^{2}+6x+9}=3x-6\]
4. d) \[\sqrt{4y-20}+\sqrt{y-5}-\frac{1}{3}\sqrt{9y-45}=4\]

Lời giải: 

1. a) \[\sqrt{x^{2}-2x+4}=2x-2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-2\geq 0\\x^{2}-2x+4=(2x-2)^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-2\geq 0\\x=2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2\]
2. b) \[\sqrt{x^{2}-2x}=\sqrt{2-3x}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2-3x\geq 0\\x^{2}-2x=2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{2}{3}\\x^{2}+x-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-2\]
3. c) \[\sqrt{x^{2}+6x+9}=3x-6\Leftrightarrow\sqrt{(x+3)^{2}}=3x-6\Leftrightarrow\left|x+3\right|=3x-6\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3x-6\geq 0\\x+3=3x-6\\x+3=-3x+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x\geq 2\\x=\frac{9}{2}(tm)\\x=\frac{3}{4}(loai)\end{matrix}\right.\]
4. d) Điều kiện: \[y\geq 5\]

Ta có: \[\sqrt{4y-20}+\sqrt{y-5}-\frac{1}{3}\sqrt{9y-45}=4\Leftrightarrow 2\sqrt{y-5}=4\Leftrightarrow y=9\] (thỏa mãn)

2.4. Chứng minh đẳng thức

Chứng minh đẳng thức cũng là một dạng bài tập mà các em học sinh sẽ gặp phải khi học về mối liên hệ phép nhân và phép khai phương. Đối với bài này, chúng ta cần áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm, cụ thể là: 

• \[\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\] (với dấu “=” chỉ diễn ra khi a = b)
• \[\frac{a+b+c}{2}\geq\sqrt[3]{abc}\]

Ví dụ: Cho các số a, b, c không âm. Hãy chứng minh:

1. a) \[\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
2. b) \[a+b+\frac{1}{2}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

Lời giải: 

1. a) Bình phương 2 vế của bất đẳng thức, ta được: 

\[\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow(\sqrt{a+b})^{2}<(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\Leftrightarrow a+b<a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow 0<2\sqrt{ab}\] (bất đẳng thức đúng). 

1. b) Ta có: 

\[a+b+\frac{1}{2}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq 0\Leftrightarrow(\sqrt{a}+1)^{2}+(\sqrt{b}-1)^{2}\geq 0\]

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính: 

52. a) \[\sqrt{52.13}\]
53. b) \[\sqrt{7}.\sqrt{28}\]
54. c) \[\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{2}\]
55. d) \[\sqrt{\sqrt{2}-1}.\sqrt{\sqrt{2}+1}\]

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức:

1. a) \[A=\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}\]
2. b) \[B=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}}\]
3. c) \[C=\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}\]

Bài tập 3: Giải 2 phương trình sau:

1. a) \[\sqrt{x+3}-2\sqrt{x^{2}-9}=0\]
2. b) \[\sqrt{9.(2-3x)^{2}}=6\]

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 26, b) 14, c) \[\sqrt{5}+1\], d) 1
• Bài tập 2: a) \[A=\frac{\sqrt{10}}{2}\], b) \[B=\frac{1}{\sqrt{2}}\], c) C = 1
• Bài tập 3: a) x = 3, b) \[x=\frac{4}{3};x=0\]

Bài viết trên đây là tất tần tật kiến thức trọng điểm về trong chuyên đề mối liên hệ phép nhân và phép khai phương mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Hy vọng rằng bài viết hữu ích và bạn đã có thể nắm vững hướng giải chuẩn của các dạng bài thường gặp rồi nhé!

Bài viết Liên hệ phép nhân và phép khai phương: Định lý và các dạng bài phổ biến đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.

1. Các kiến thức cần nhớ

Trước khi thực hành các bài toán liên quan đến phép cộng số thập phân, các em học sinh cần phải nắm vững một số khái niệm và quy tắc cơ bản. Theo đó, việc hiểu rõ những kiến thức nền tảng này sẽ giúp các em thực hiện phép tính một cách chuẩn xác và hiệu quả hơn. Dưới đây là toàn bộ kiến thức mà bạn cần ghi nhớ:

1.1. Số đối của số thập phân

Tương tự như số nguyên, mỗi số thập phân đều sẽ tồn tại một số đối sao cho tổng của hai số này đúng bằng 0. 

• Định nghĩa: Số đối của số thập phân a được ký hiệu là -a, khi đó ta có: a + (-a) = 0. Như vậy, số đối của số thập phân -a là a hay -(a) = a.
• Ví dụ: Số đối của 2,38 là -2,38 hay số đối của -0,39 là 0,39.

1.2. Quy tắc cộng và trừ số thập phân

Để thực hiện hai phép cộng hay trừ hai số thuộc nhóm số thập phân dương, bạn chỉ cần tiến hành đúng theo trình tự sau:

• Đặt tính: Viết số này ở phía dưới số kia, sao cho các chữ số nằm cùng hàng được đặt thẳng theo cột với nhau, đặc biệt là dấu phẩy (“,”) nhất định phải thẳng cột.
• Thực hiện phép tính: Tiến hành cộng hoặc trừ các chữ số như cách bạn làm với số tự nhiên, bắt đầu từ hàng nhỏ nhất (phải sang trái), đồng thời giữ nguyên vị trí của dấu phẩy.
• Ghi kết quả: Viết kết quả cuối cùng và chú ý đặt dấu phẩy đúng vị trí của nó, cụ thể là nằm thẳng hàng với những dấu phẩy của các số đã đặt tính ở phía trên.

2. Các dạng bài tập phổ biến về phép cộng số thập phân 

Một số dạng bài tập có độ phổ biến cao về chuyên đề này là:

2.1. Cộng hai số thập phân cùng dấu

Có thể nói rằng, đây là một trong những dạng bài có độ phổ biến cao nhất trong chuyên đề toán học này. Thông thường, bạn sẽ gặp phải hai trường hợp: cộng hai số âm, cộng hai số dương. Theo đó, phương pháp giải của từng trường hợp là: 

• Cộng hai số thập phân dương:
  • Bước 1 – Viết phép tính theo cột dọc: Đặt số thứ hai nằm ở ngay dưới số thứ nhất sao cho các hàng đơn vị, hàng phần mười, phần trăm,… đều thẳng cột với nhau. Đặc biệt, dấu phẩy của cả hai số này phải nằm trên cùng một đường thẳng dọc.
  • Bước 2 – Cộng từng hàng: Thực hiện phép cộng từ hàng thập phân nhỏ nhất (tức hàng trong cùng bên phải), sau đó bạn cứ cộng từng cặp chữ số theo hướng từ phải sang trái. Nếu có nhớ, bạn đừng quên cộng thêm như với dạng số tự nhiên nhé.
  • Bước 3 – Ghi lại kết quả và đặt dấu phẩy: Sau hoàn tất bước 2, bạn hãy ghi kết quả ở dòng dưới cùng. Theo đó, dấu phẩy của kết quả nhất định phải nằm thẳng cột với toàn bộ dấu phẩy ở trên nhằm đảm bảo tính chính xác.
• Cộng hai số thập phân âm: Khi đề yêu cầu cộng hai số thập phân âm, bạn chỉ cần tiến hành cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng, sau đó viết thêm một dấu trừ (–) ở ngay trước kết quả.

Ví dụ: Tính: 

1. a) 4,75 + 2,3 = ?
2. b) -5,1, + (-3,4) = ?
3. c) 0,06 + 7,9 = ?
4. d) -2,75 + (-1,25) = ?

Lời giải: 

1. a) 4,75 + 2,3 = ?

Vì đây đều là những số dương, nên ta đặt tính rồi tính: 

\[\begin{array}{r}\phantom{+}4,75\\+2,3\hspace{0,2cm}\\\hline 7,05\end{array}\]

Vậy: 4,75 + 2,3 = 7,05

1. b) -5,1, + (-3,4) = ?

Cả hai số trên đều là số âm, nên ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng: 

\[-5,1+(-3,4)=\left|-5,1\right|+\left|-3,4\right|=5,1+3,4=8,5\]

Sau đó, thêm dấu (-) vào kết quả. 

Vậy -5,1, + (-3,4) = -8,5.

1. c) 0,06 + 7,9 = ?

Vì hai số này đều là số dương, nên ta đặt tính rồi tính: 

\[\begin{array}{r}\phantom{+}0,06\\+7,9\hspace{0,2cm}\\\hline 7,96\end{array}\]

Vậy 0,06 + 7,9 = 7,96. 

1. d) -2,75 + (-1,25) = ?

Cả hai số này đều là số âm, nên ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng: 

\[-2,75+(-1,25)=\left|-2,75\right|+\left|-1,25\right|=2,75+1,25=4,00\]

Sau đó, thêm dấu (-) vào kết quả. 

Vậy -2,75 + (-1,25) = -4,00. 

2.2. Phép cộng số thập phân ngược dấu 

Đây cũng là một trong những dạng bài cơ bản nhất khi nói về phép cộng của số thập phân. Theo đó, khi muốn cộng hai số thập phân ngược dấu với nhau, bạn cần thực hiện một phép trừ giữa hai giá trị tuyệt đối (lấy số lớn trừ cho số nhỏ), sau đó lấy dấu của số mang giá trị tuyệt đối lớn hơn để viết ngay phía trước kết quả.

Ví dụ: Tính: 

1. a) 5,6 + (-2,1) = ?
2. b) -7,8 + 3,2 = ?
3. c) -0,5 + 2,4  = ?
4. d) 1,75 + (-4,3) = ?

Lời giải: 

1. a) 5,6 + (-2,1) = ?

Vì hai số khác dấu, nên ta thực hiện phép trừ giữa 2 giá trị tuyệt đối của chúng: 

\[\left|5,6\right|-\left|-2,1\right|=5,6-2,1=3,5\]

Do giá trị tuyệt đối của 5,6 lớn hơn, nên kết quả mang dấu (+). 

Vậy 5,6 + (-2,1) = 3,5. 

1. b) -7,8 + 3,2 = ?

Ta lấy: \[\left|-7,8\right|-\left|3,2\right|=7,8-3,2=4,6\]

Do giá trị tuyệt đối của -7,8 lớn hơn, nên kết quả mang dấu (-). 

Vậy -7,8 + 3,2 = -4,6. 

1. c) -0,5 + 2,4  = ?

Ta lấy: \[\left|2,4\right|-\left|-0,5\right|=2,4-0,5=1,9\]

Do giá trị tuyệt đối của 2,4 lớn hơn, nên kết quả mang dấu (+). 

Vậy -0,5 + 2,4  = 1,9. 

1. d) 1,75 + (-4,3) = ?

Ta lấy: \[\left|-4,3\right|-\left|1,75\right|=4,5-1,75=2,55\]

Do giá trị tuyệt đối của 4,3 lớn hơn, nên kết quả mang dấu (-). 

Vậy 1,75 + (-4,3) = -2,55.

2.3. Tìm số chưa biết trong một phép cộng số thập phân 

Để giải được dạng toán tìm số hạng còn thiếu trong chuyên đề phép cộng của số thập phân, bạn cần nắm rõ mối quan hệ giữa các thành phần và biết cách vận dụng tốt thao tác trừ để suy ra số chưa biết. Cụ thể:

• Trong một phép cộng, tổng sẽ được tạo thành từ hai số hạng. Nếu đã biết trước tổng và một số hạng, chúng ta hoàn toàn có thể tìm được giá trị của số hạng còn lại bằng cách lấy tổng đó trừ đi số hạng đã biết.
• Trong quá trình thực hiện phép trừ, bạn cần phải tuân thủ nghiêm ngặt theo quy tắc về cách đặt tính cũng như cách trừ hai số thập phân (đặt các dấu phẩy thẳng hàng hay viết thêm chữ số 0 nếu cần thiết để khiến hai số đề cho có cùng số chữ số thập phân).

Như vậy, nếu: 

  Số hạng chưa biết + Số hạng đã biết = Tổng

Thì:

  Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết

Ví dụ: Tìm x, biết: 

1. a) x + 2,5 = 5,1
2. b) 6,3 + x = 10 
3. c) x + 1,08 = 3,02
4. d) 4,5 + x = 5,25

Lời giải: 

1. a) x + 2,5 = 5,1

\[\Rightarrow x=5,1-2,45=2,65\]

Vậy x = 2,65. 

1. b) 6,3 + x = 10 

\[\Rightarrow x=10-6,3=3,70\]

Vậy x = 3,70. 

1. c) x + 1,08 = 3,02

\[\Rightarrow x=3,02-1,08=1,94\]

Vậy x = 1,94. 

1. d) 4,5 + x = 5,25

\[\Rightarrow x=9,75-4,5=5,25\]

Vậy x = 5,25. 

2.4. Bài toán có lời văn

Đối với dạng toán có lời văn liên quan đến phép cộng số thập phân, bạn cần thực hiện theo 5 bước sau để hiểu đúng về đề bài và tìm ra lời giải chuẩn xác:

• Bước 1 – Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ những đại lượng đã cho và yêu cầu cần tìm. Các dữ kiện thường là tiền bạc, cân nặng, độ dài, thời gian,… có chứa phần thập phân.
• Bước 2 – Phân tích mối quan hệ giữa các dữ kiện: Tìm xem những đại lượng này có mối liên hệ cộng gộp như thế nào, ví dụ: “tổng thời gian”, “tổng số tiền”, “tổng độ dài”,…
• Bước 3 – Thiết lập phép tính phù hợp: Sau khi đã xác định rõ các thông tin cũng như mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán, bạn cần diễn giải chúng thành phép tính cộng. 
• Bước 4 – Tiến hành tính toán chính xác: Thực hiện phép tính cộng các số thập phân đúng với quy tắc mà chúng tôi đã đề cập tại phần lý thuyết. 
• Bước 5 – Viết câu trả lời đầy đủ và đúng đơn vị; Kết quả sau khi tính xong cần được diễn đạt thành câu trả lời hoàn chỉnh, đúng với câu hỏi đề ra. Bạn cũng phải chú ý đến đơn vị đo (như kg, km, đồng, mét…) để đảm bảo đáp án có ý nghĩa và chuẩn xác về mặt nội dung.

Ví dụ: Cửa hàng gạo của chú Hùng bán được 13,75 kg gạo vào buổi sáng, sau đó lại bán thêm được 8,6 kg gạo vào buổi chiều. Hỏi trong cả ngày, cửa hàng gạo của chú Hùng đã bán được mấy kilôgam gạo?

Lời giải: 

Tổng số gạo mà cửa hàng của chú Hùng đã bán được là: 13,75 + 8,6 = 22,35 (kg)

Vậy của hàng gạo của chú Hùng bán được 22,35 kg gạo.

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính: 

1. a) 5,67 + 3,45 = ?
2. b) -4,8 + 2,3 = ? 
3. c) -6,75 + (-3,25) = ?
4. d) 9,6 + (-7,15) = ?

Bài tập 2: Tìm x, biết: 

1. a) x + 2,35 = 5,6
2. b) -3,8 + x = 1,9 
3. c) x + (-4,5) = -2,1
4. d) 7,2 + x = 0

Bài tập 3: Nhà An có một cái bình nước 8,75 lít, sau đó mẹ An rót thêm vào 5,4 lít rồi lại lấy ra 3,2 lít. Hỏi bình nước nhà An còn lại mấy lít nước?

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 9,12, b) -2,5, c) -10,00, d) 2,45
• Bài tập 2: a) 3,25, b) 5,7, c) 2,4, d) -7,2
• Bài tập 3: 10,95 lít nước. 

Phép cộng số thập phân là một trong những kiến thức nền tảng của toán học. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã ghi nhớ quy tắc tính toán và tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài thường gặp về chuyên đề này trong bài kiểm tra và thực tế nhé!. 

Bài viết Một số dạng bài tập về phép cộng số thập phân và hướng giải đúng đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Olim.vn.